点集拓扑学考试题及答案

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下为点集拓扑学考试的辨析题和证明题，解答是本人自己写的，可能有错误或者不足，希望对大家的考试有帮助。

二、辨析题（每题5分，共25分，正确的说明理由，错误的给出反例）

1、拓扑空间中有限集没有聚点。 答：这个说法是错误的。

反例：X??a,b,c? ，规定拓扑 ???X,?,?a??，则当

A??a?时，b和c都是A的聚点。因为b和c的领域只有X一个，它包含a，a不是A的聚点，因为A\\?a???。 2、欧式直线E1是紧致空间。 答：这个说法是错误的。

反例：对E1而言，有开覆盖?????n,n?|n?Z??，而对于该开覆盖没有有限子覆盖。

3、如果乘积空间X?Y道路连通，则X和Y都是道路连通空间。

答：这个说法是正确的。

证明：对于投射有P1?X?Y??X，P2?X?Y??Y，由投射是连续的，又知X?Y是道路连通，从而像也是道路连通空间，所以X和Y都是道路连通空间。 4、单位闭区间I与S不同胚。 答：这个说法是正确的。

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下面用反证法证明，反设I与S同胚，则

??1???1??1?f|2\\??:2\\???S1\\?f???也是同胚映射，I?2??2???2??11?1?\\??不连通，则 ?2?1S与不同胚。

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点集拓扑学

合肥工业大学数学学院

预备知识

1.点集拓扑的定义

《点集拓扑学》课程是一门现代数学基础课程，属数学与应用数学专业的理论课。是数学与应用数学专业的主干课。点集拓扑学（Point Set Topology），有时也被称为一般拓扑学（General Topology），是数学的拓扑学的一个分支。它研究拓扑空间以及定义在其上的数学构造的基本性质。这一分支起源于以下几个领域：对实数轴上点集的细致研究，流形的概念，度量空间的概念，以及早期的泛函分析。它的表述形式大概在1940年左右就已经成文化了。通过这种可以为所有数学分支适用的表述形式，点集拓扑学基本上抓住了所有的对连续性的直观认识。

2.点集拓扑的起源

点集拓扑学产生于19世纪。G.康托尔建立了集合论，定义了欧几里得空间中的开集、闭集、导集等概念，获得了欧几里得空间拓扑结构的重要结果。1906年M.-R.弗雷歇把康托尔的集合论与函数空间的研究统一起来，建立了广义分析，可看为拓扑空间理论建立的开始。

3.一些参考书籍

（1）《拓扑空间论》，高国士，科学出版社，2000年7月第一版 （2）《基础拓扑讲义》，尤承业，北京大学出版社，1997年11月第一版 （3）《一版拓扑学讲义》

三．判断（每题4分，判断1分，理由3分）

1、．从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( ) 答案:√ 理由：设X是离散空间，Y是拓扑空间，的任何一个子集都是开集，从而

f:X?Y是连续映射，因为对任意A?Y，都有

1f?（A)?X,由于X中

f?1(A)是?中的开集，所以f:X?Y是连续的.

2、设T 1,T 2是集合X的两个拓扑，则T 1?T 2不一定是集合X的拓扑( )答案:× 理由：因为（1）T 1,T 2是X的拓扑，故X,??T1，X,??T２，从而X,??T 1?T 2；

（２）对任意的A,B?T1?T２，则有A,B?T1且A,B?T２，由于T1, T2是X的拓扑，故

A?B?T1且A?B?T2，从而A?B? T1?T２；

（３）对任意的T??T1?T2，则T??T1,T??T2，由于T1, T2是X的拓扑，从而?U?T’U?T1,

?U?T’U?T2,故?U?T’U? T1?T２；

综上有T1?T２也是X的拓扑．

3、从拓扑空间X到平庸空间Y的任何映射都是连续映射（ ）答案:√

理由：设f:X?Y是任一满足条件的映射，由于Y是平庸空间，它中的开集只有Y,?,易知它们在f下的原象分别是X,?,均为X中的

点集拓扑学

合肥工业大学数学学院

预备知识

1.点集拓扑的定义

《点集拓扑学》课程是一门现代数学基础课程，属数学与应用数学专业的理论课。是数学与应用数学专业的主干课。点集拓扑学（Point Set Topology），有时也被称为一般拓扑学（General Topology），是数学的拓扑学的一个分支。它研究拓扑空间以及定义在其上的数学构造的基本性质。这一分支起源于以下几个领域：对实数轴上点集的细致研究，流形的概念，度量空间的概念，以及早期的泛函分析。它的表述形式大概在1940年左右就已经成文化了。通过这种可以为所有数学分支适用的表述形式，点集拓扑学基本上抓住了所有的对连续性的直观认识。

2.点集拓扑的起源

点集拓扑学产生于19世纪。G.康托尔建立了集合论，定义了欧几里得空间中的开集、闭集、导集等概念，获得了欧几里得空间拓扑结构的重要结果。1906年M.-R.弗雷歇把康托尔的集合论与函数空间的研究统一起来，建立了广义分析，可看为拓扑空间理论建立的开始。

3.一些参考书籍

（1）《拓扑空间论》，高国士，科学出版社，2000年7月第一版 （2）《基础拓扑讲义》，尤承业，北京大学出版社，1997年11月第一版 （3）《一版拓扑学讲义》

第4章 连通性重要知识点

本章讨论拓扑空间的几种拓扑不变性质，包括连通性，局部连通性和弧连通性，并且涉及某些简单的应用．这些拓扑不变性质的研究也使我们能够区别一些互不同胚的空间． §4．1

连通空间

本节重点: 掌握连通与不连通的定义.

掌握如何证明一个集合的连通与否?

掌握连通性的拓扑不变性、有限可积性、可商性。

我们先通过直观的方式考察一个例子．在实数空间R中的两个区间（0，l）和［1，2），尽管它们互不相交，但它们的并（0，1）U［l，2）＝（0，2）却是一个“整体”；而另外两个区间（0，1）和（1，2），它们的并（0，1）U（1，2）是明显的两个“部分”．产生上述不同情形的原因在于，对于前一种情形，区间（0，l）有一个凝聚点1在［1，2）中；而对于后一种情形，两个区间中的任何一个都没有凝聚点在另一个中．我们通过以下的定义，用术语来区别这两种情形．

定义4．1．1设A和B是拓扑空间X中的两个子集．如果 (A?B)?(B?A)?? 则称子集A和B是隔离的．

明显地，定义中的条件等价于A?B?? 和 B?A?? 同时成立，也就是说，A与B无交并且其中的任何一

《点集拓扑》复习题

一、概念叙述

1、拓扑空间 2、邻域、邻域系 3、集合A的凝聚点 4、闭包 5、基 子基 6、子空间 7、（有限）积空间 8、隔离子集 9、连通集 10、连通集 11、连通分支 12、局部连通空间 13、A1空间 14、A2空间 15、可分空间 16、Lindeloff空间 17、Ti空间（i?1,2,3,4） 18、正则空间 19、正规空间 20、紧致空间 21、可数紧空间 22、列紧空间 23、序列紧空间 24、局部紧空间 二、判断题

1、有限集不可能有聚点 （ ）

2、拓扑空间X的子集A是闭集的充要条件是A?A （ ） 3、如果A?B??，则A?B?A?B （ ）

4、设Y是拓扑空间X的子空间，A是Y的子集，则A在Y中的导集是A在X中的导集与Y的交。 （ ） ５、若f:X?Y是同胚映射，则f?X??Y （ ） ６、离散空间中任意子集的导集都是空集 （ ）

第 1 页７、拓扑空间中每个连通分支都是既开集又是闭集 （ ） ８、度量

第1章 绪论

拓扑学起初叫形势分析学，是赖布尼茨1679年提出的名词．随后波兰学派和苏联学派分别对拓扑空间的基本性质，（如分离性，紧性，连通性等）做了系统的研究．1847年利斯廷提出拓扑学的概念，这是拓扑学发展的萌芽阶段．

拓扑学发展到今天，在理论上已经十分明显分成了两个分支．一个分支是偏重与代数方法来研究的，叫做代数拓扑学．另一个分支是偏重于用分析的方法来研究的，叫做点集拓扑学．其中点集拓扑学是现代数学的重要分支,它是研究空间结构及空间图形在连续形变下保持不变的性质。在本篇文章中主要针对点集拓扑中的可数性与分离性相关理论进行探讨．在第2章中主要针对第一第二可数性公理，Lindeloff空间和可分空间相互蕴涵关系，以及各空间是否存在遗传性，有限可积性，拓扑不变性等性质做了研究．在第3章中主要针对T0、T1、T2、正则、正规、T3、T4、完全正规和完全正则空间的相互蕴涵关系，以及各空间是否存在遗传性，有限可积性，拓扑不变性等拓扑性质做了研究．通过文章中对拓扑空间中这些问题的探讨，对我们了解拓扑空间中关于可数性与分离性公理的性质以及各空间的相互蕴涵关系有一定的帮助．

第2章 可数性公理

2.1 第一第二可数性公理

ⅰ 可数性公理的相关定义

第3章 子空间（有限）,积空间，商空间

在这一章中我们介绍通过已知的拓扑空间构造新的拓扑空间的三种惯用的办法．为了避免过早涉及某些逻辑上的难点，在§3.2中我们只讨论有限个拓扑空间的积空间，而将一般情形的研究留待以后去作．

§3.1 子空间

本节重点：掌握度量子空间、拓扑空间子空间的概念，子空间的拓扑与大空间拓扑之间的关系以及子空间的闭集、邻域、基、导集、闭包与大空间相应子集之间的关系及表示法． 讨论拓扑空间的子空间目的在于对于拓扑空间中的一个给定的子集，按某种“自然的方式”赋予它一个拓扑使之成为一个拓扑空间，以便将它作为一个独立的对象进行考察．所谓“自然的方式”应当是什么样的方式？为回答这个问题，我们还是先从度量空间做起，以便得到必要的启发．

考虑一个度量空间和它的一个子集．欲将这个子集看作一个度量空间，必须要为它的每一对点规定距离．由于这个子集中的每一对点也是度量空间中的一对点，因而把它们作为子集中的点的距离就规定为它们作为度量空间中的点的距离当然是十分自然的．我们把上述想法归纳成定义：

定义3.1.1 设（X，ρ）是一个度量空间，Y是X的一个子集.因此，Y×Y然

：Y×Y→R是Y的一个度量（请自行验证）．我们称Y的度量

练习（第二章）参考答案： 一.判断题(每小题2分)

1.集合X的一个拓扑有不只一个基,一个基也可以生成若干个拓扑( × ) 2.拓扑空间中任两点的距离是无意义的.( √ )

3.实数集合中的开集,只能是开区间,或若干个开区间的并.( × ) 4.T1、T2是X的两个拓扑，则T1UT2是一个拓扑.( × ) 5.平庸空间中任一个序列均收敛，且收敛于任一个点。（ √ ） 6.从（X，T1）到（X，T2）的恒同映射必是连续的。（ × ） 7．从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( √ ) 8．设T 1,T 2是集合X的两个拓扑，则T 1?T 2不一定是集合X的拓扑( 9.从拓扑空间X到平庸空间Y的任何映射都是连续映射（ √ ）10.设A为离散拓扑空间X的任意子集，则d?A??? （ √ ）

11.设A为平庸空间X（X多于一点）的一个单点集，则d?A??? （ 12.设A为平庸空间X的任何一个多于两点的子集，则d?A??X （ 二．填空题：(每空格3分) 1、X=Z+,T={Z1,Z2,…Zn…},其中

Zn={n,n+1,n+2,…},

则包含3的所有开集为 Z1,Z2,Z3

包含3的所有闭集为 Z,Z///14,Z5

点集拓扑学练习题参考答案(第5章)

一、单项选择题

1、实数空间R( )

① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理 ③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对

答案：③

2、整数集Z作为实数空间R的子空间（ ）

① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理 ③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对

答案：③

3、有理数集Q作为实数空间R的子空间（ ）

① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理 ③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对

答案：③

4、无理数集作为实数空间R的子空间（ ）

① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理 ③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对

答案：③

5. 实数集合R的可数补空间是

(1)A1空间(2)T2空间(3)可分空间(4)Lindeloff空间答案：(4)

6、2维欧氏间空间R2（ ）

① 仅满足第一可数性公理