高中直线与圆的方程例题

《直线和圆的方程》

一． 单选题：（每小题5分，共50分）

1、已知A（x1,y1）、B（x2，y2）两点的连线平行y轴，则|AB|=（ ）

A、|x1-x2| B、|y1-y2| C、 x2-x1 D、 y2-y1

2、方程（x-2）2+(y+1)2=1表示的曲线关于点T（-3，2）的对称曲线方程是：

（ ）

A、 (x+8)2+(y-5)2=1 B、(x-7)2+(y+4)2=2

C、 (x+3)2+(y-2)2=1 D、(x+4)2+(y+3)2=2

3、已知三点A（－2,－1）、B（x，2）、C（1，0）共线，则x为：

（ ）

A、7 B、-5 C、3 D、-1

4、方程x2+y2-x+y+m=0表示圆则m的取值范围是 ( ) A、 m≤2 B、 m<2 C、 m< D、 m ≤

5、过直线x+y-2=0和直线x-2y+1=0的交点，且垂直于第二直线的直线方程为 （ ）

.. 高中数学必修2知识点——直线与方程

一、直线与方程

（1）直线的倾斜角

定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值围是0°≤α＜180°

（2）直线的斜率

①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用

k 表示。即0tan (90)k αα=≠。斜率反映直线与x 轴的倾斜程度。

当[) 90,0∈α时，0≥k ； 当() 180

,90∈时，0

212x x x x y y k ≠--= 注意下面四点：(1)当21x x =时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；

(2)k 与P 1、P 2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；

(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

例.如右图，直线l 1的倾斜角=30°，直线l 1⊥l 2，求直线l 1和l 2的斜率. 解：k 1=tan30°=

33∵l 1⊥l 2∴k 1·k 2=—1 ∴k 2=—3 例：直线053=-+y x 的倾斜角是( )

A.120°

B.150°

C.60°

D.30°

（3）直线方程

①点斜式：)(

直线、圆方程 综合练习

1 直线与圆的方程练习二

一、选择题：

1、方程x 2+y 2+ax +2ay +2a 2+a -1=0表示圆，则a 的取值范围是 ( )

A.（-∞,-2）

B.(32-,2)

C.(-2,0)

D.(-2,3

2) 2、圆(x -3)2+(y -4)2=1关于直线x +y =0对称的圆的方程为( )

A.(x +3)2+(y -4)2=1

B.(x +4)2+(y +3)2=1

C.(x +4)2+(y -3)2=1

D.(x -3)2+(y -4)2=1

3、直线x +2y +1=0被圆(x -2)2+(y -1)2=25所截得的弦长等于 ( ) A.52 B. 53 C. 54 D. 35

4、.直线3y x =绕原点逆时针旋转090，再向右平移１个单位，所得到的直线为( ) （Ａ）113y x =-+ （Ｂ）1133y x =-+ （Ｃ）33y x =- （Ｄ）113

y x =+ 5、若直线3x +4y +k =0与圆x 2+y 2-6x +5=0相切,则k 的值等于( )

A.1或-19

B.10或-10

C.-1或-19

D.-1或19

6、(2006四川高考)已知两定点

直线、圆方程 综合练习

1 直线与圆的方程练习二

一、选择题：

1、方程x 2+y 2+ax +2ay +2a 2+a -1=0表示圆，则a 的取值范围是 ( )

A.（-∞,-2）

B.(32-,2)

C.(-2,0)

D.(-2,3

2) 2、圆(x -3)2+(y -4)2=1关于直线x +y =0对称的圆的方程为( )

A.(x +3)2+(y -4)2=1

B.(x +4)2+(y +3)2=1

C.(x +4)2+(y -3)2=1

D.(x -3)2+(y -4)2=1

3、直线x +2y +1=0被圆(x -2)2+(y -1)2=25所截得的弦长等于 ( ) A.52 B. 53 C. 54 D. 35

4、.直线3y x =绕原点逆时针旋转090，再向右平移１个单位，所得到的直线为( ) （Ａ）113y x =-+ （Ｂ）1133y x =-+ （Ｃ）33y x =- （Ｄ）113

y x =+ 5、若直线3x +4y +k =0与圆x 2+y 2-6x +5=0相切,则k 的值等于( )

A.1或-19

B.10或-10

C.-1或-19

D.-1或19

6、(2006四川高考)已知两定点

直线与圆方程知识总结

一、坐标法 1．点和坐标

建立了平面直角坐标系后，坐标平面上的点和一对有序实数(x，y)建立了一一对应的关系． 2．两点间的距离公式

设两点的坐标为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则两点间的距离

|P1P2|=(x2?x1)2?(y2?y1)2

特殊位置的两点间的距离，可用坐标差的绝对值表示： (1)当x1=x2时(两点在y轴上或两点连线平行于y轴)，则 |P1P2|=|y2－y1|

(2)当y1=y2时(两点在x轴上或两点连线平行于x轴)，则 |P1P2|=|x2－x1|

3．线段的定比分点

(1)定义：设P点把有向线段P1P2分成P1P和PP2两部分，那么有向线段P1P和PP2的数量的比，就是P点分P1P2所成的比，通常用λ表示，即λ=P1P，点P叫做分线段P1P2为定比λ的定比分点．PP2

当P点内分P1P2时，λ＞0；当P点外分P1P2时，λ＜0．

(2)公式：分P1(x1，y2)和P2(x2，y2)连线所成的比为λ的分点坐标是

?x1?λx2x??1?λ?(λ≠?1)?y?λy2?y?1?1?λ?

特殊情况，当P是P1P2的中点时，λ=1，得线段P1P2的中点坐标

公式

x1?x2?x???2??y?y

423直线与圆的方程的应用

423直线与圆的方程的应用

例4。如图是某圆拱桥的一孔圆拱示意图.该圆 如图是某圆拱桥的一孔圆拱示意图. 拱跨度AB=20m,拱高OP=4m,在建造时每隔4 AB=20m,拱高OP=4m,在建造时每隔 拱跨度AB=20m,拱高OP=4m,在建造时每隔4 需要用一个支柱支撑，求支柱A m需要用一个支柱支撑，求支柱A2P2 的长度 (精确到0.01m). 精确到0.01m) 0.01m

423直线与圆的方程的应用

例4、图中是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图， 图中是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图， 该圆拱跨度AB 20m,拱高OP=4m AB= OP=4m, 该圆拱跨度AB=20m,拱高OP=4m,在建 造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱A 4m需用一个支柱支撑 造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2 的长度(精确到0.01 0.01) 的长度(精确到0.01) y

x

思考:(用坐标法) 思考:(用坐标法) :(用坐标法1.圆心和半径能直接求出吗？ 1.圆心和半径能直接求出吗？ 圆心和半径能直接求出吗 2.怎样求出圆的方程 怎样求出圆的方程？ 2.怎样求出圆的方程？ 3.怎样求出支柱 怎样求出支柱A 的长度？ 3.怎样求出支柱A

高中数学圆的方程典型例题

类型一：圆的方程

例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系．

例2 求半径为4，与圆042422=---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程． 例3 求经过点)5,0(A ，且与直线02=-y x 和02=+y x 都相切的圆的方程．

例4、 设圆满足：(1)截y 轴所得弦长为2；(2)被x 轴分成两段弧，其弧长的比为1:3，在满足条件

(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线02=-y x l ：的距离最小的圆的方程．

类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程

例5 已知圆422=+y x O ：，求过点()42，P 与圆O 相切的切线．

例 6 两圆0111221=++++F y E x D y x C ：与0222222=++++F y E x D y x C ：相交于A 、B 两点，求它们的公共弦AB 所在直线的方程．

例7、过圆122=+y x 外一点)3,2(M ，作这个圆的两条切线MA 、MB ，切点分别是A 、B ，求直线AB 的方程。

练习：

1．求过点(3,1)M ，且与圆22(1)4x y -+=相切的直线l 的方程．

2、过坐标

高中数学圆的方程典型例题

类型一：圆的方程

例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系．

例2 求半径为4，与圆042422=---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程． 例3 求经过点)5,0(A ，且与直线02=-y x 和02=+y x 都相切的圆的方程．

例4、 设圆满足：(1)截y 轴所得弦长为2；(2)被x 轴分成两段弧，其弧长的比为1:3，在满足条件

(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线02=-y x l ：的距离最小的圆的方程．

类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程

例5 已知圆422=+y x O ：，求过点()42，P 与圆O 相切的切线．

例 6 两圆0111221=++++F y E x D y x C ：与0222222=++++F y E x D y x C ：相交于A 、B 两点，求它们的公共弦AB 所在直线的方程．

例7、过圆122=+y x 外一点)3,2(M ，作这个圆的两条切线MA 、MB ，切点分别是A 、B ，求直线AB 的方程。

练习：

1．求过点(3,1)M ，且与圆22(1)4x y -+=相切的直线l 的方程．

2、过坐标

高二数学 第3讲 直线与圆综合

1.已知圆C：x+y+2x-3=0．

（1）求圆的圆心C的坐标和半径长；

（2）直线l经过坐标原点且不与y轴重合，l与圆C相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，求证：为定值；

（3）斜率为1的直线m与圆C相交于D、E两点，求直线m的方程，使△CDE的面积最大．

2.已知点G（5，4），圆C1：（x-1）2+（x-4）2=25，过点G的动直线l与圆C1相交于E、F两点，线段EF的中点为C．

（1）求点C的轨迹C2的方程；

（2）若过点A（1，0）的直线l1与C2相交于P、Q两点，线段PQ的中点为M；又l1与l2：x+2y+2=0的交点为N，求证|AM|?|AN|为定值．

2

2

11?x1x23.已知点C（1，0），点A，B是⊙O：x2+y2=9上任意两个不同的点，且满足AC?BC?0，设M为弦AB的中点．求点M的轨迹T的方程；

4.已知平面直角坐标系上一动点P(x,y)到点A(?2,0)的距离是点P到点B(1,0)的距离的2倍。 （1）求点P的轨迹方程；

（2）若点P与点Q关于点(2,1)对称，点C(3,0)，求|QA|?|QC|的

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第三章 直线与方程 3.1 直线的倾斜角与斜率 3.1．1 倾斜角与斜率

【知识点归纳】 1.直线的倾斜角： 2.直线的斜率： 3.直线的斜率公式：

【典型例题】

题型 一 求直线的倾斜角

例 1 已知直线l的斜率的绝对值等于3，则直线的倾斜角为（ ）.

A. 60° B. 30° C. 60°或120° D. 30°或150°

变式训练：

设直线l过原点，其倾斜角为?，将直线l绕原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则l1的倾斜角为（ ）。

A. ??45? B. ??135? C. 135???

D. 当0°≤α＜135°时为??45?，当135°≤α＜180°时，为??135? 题型 二 求直线的斜率

例 2如图所示菱形ABCD中∠BAD=60°，求菱形ABCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率.

变式训练： 已知过两点A(m2?2,m2?3), B(3?m2?m,2m)的直线l的倾斜角为45°，求实数m的值.

题型 三 直线的倾斜角与斜率的关系

例3右图中的直线l1、l2、l3的斜率分别为k1