实变函数与泛函分析郭懋正答案

实变函数与泛函分析概要

第一章 集合 基本要求：

1、 理解集合的包含、子集、相等的概念和包含的性质。

2、 掌握集合的并集、交集、差集、余集的概念及其运算性质。 3、 会求已知集合的并、交、差、余集。 4、 了解对等的概念及性质。 5、 掌握可数集合的概念和性质。 6、 会判断己知集合是否是可数集。

7、 理解基数、不可数集合、连续基数的概念。 8、了解半序集和Zorn引理。

第二章 点集 基本要求：

1、 理解n维欧氏空间中的邻域、区间、开区间、闭区间、体积的概念。

2、 掌握内点、聚点的概念、理解外点、界点、孤立点的概念。掌握聚点的性质。 3、 掌握开核、导集、闭区间的概念及其性质。 4、 会求己知集合的开集和导集。

5、 掌握开核、闭集、完备集的概念及其性质，掌握一批例子。 6、 会判断一个集合是非是开（闭）集，完备集。 7、 了解Peano曲线概念。

主要知识点：一、基本结论：

1、 聚点性质§2 中T1聚点原则：

P0是E的聚点? P0的任一邻域内，至少含有一个属于E而异于P0的点?存在E中互异的点列{Pn}，使Pn →P0 （n→∞）

2、 开集、导集、闭集的性质§2 中T2、T3

··－－

T2：设A?

实变函数与泛函分析初步 试卷

(课程代码02012)

专业________班级_______姓名 学号

题号 一 二 三 四 五 总分

得分 注 意 事 项

1、本试卷共6页。

2、考生答题时必须准确填写专业、班级、学号等栏目，字迹要清楚、工整。

得 分 一.单项选择题（3分×5=15分）

1．设M,N是两集合，则 M?(M?N)=（ ） (A) M (B) N (C) M?N (D) ?

2. 下列说法不正确的是( )

E中无穷多个点，则PE的聚点 (A) P0的任一领域内都有0是E中异于PE的聚点 (B) P0的任一领域内至少有一个0的点，则P0是E的聚点 (C) 存在E中点列?Pn?，使Pn?P0，则P0是

(D) 内点必是聚点

3. 下列断言( )是正确的。

（A）任意个开集的交是开集；(B) 任意个闭集的交是闭集； (C) 任意个闭集的并是闭集；(D) 以上都不对； 4. 下列断言中( )是错误的。

（A）零测集是可测集； （B）可数个零测集的并

第十一章 线性算子的谱

1． 设X?C[0,1],(Ax)(t)?tx(t),x?X。证明?(A)?[0,1]，且其中没有特征值。 证明 当??[0,1]时，常值函数1不在?I?A的值域中，因此?I?A不是满射，这样

???(A)。

反之若??[0,1]，定义算子R?:R??1x(t)。则由于??[0,1]，且 ??tR?x?maxa?t?b11x(t)?x ??td(?,[0,1])因此R?是C[0，1]中有界线性算子。

易验证R?(?I?A)?(?I?A)R??I，所以???(A)。 总之?(A)?[0,1]，

若Af??f，则对任意t??，tf(t)??f(t)，可推得f(t)?0。由于f(t)?C[0,1]，必有f(t)?0，所以A无特征值。证毕。

2． 设X?C[0,2?],(Ax)(t)?ex(t),x?X.，证明

it?(A)?{???1}。

证明 对任意eit0it,(eit0I?A)x(t)?(eit0?eit)x(t)。因为常值函数1不在eI?A的值

0it域中，因此e0??(A)。这样{???1}??(A)。

反之，若

??1，定义R?:(R?x)(t)?1x(t)。类似第1题可证R?是有界线性算

??eit子，且R?

习题1.1

1．证明下列集合等式．

(1) A??B\\C???A?B?\\?A?C?； (2) ?A?B?\\C??A\\C???B\\C?； (3) A\\?B\\C???A\\B???A?C?． 证明 (1) A?(B\\C)?A?(B?C)

c ?(A?B?Ac)?(A?B?Cc) ?(A?B)?(A?C)c

?(A?B)\\(A?C) .

(2) (A?B)\\C?(A?B)?C

c?(A?Cc)?(B?Cc)

=(A\\C)?(A\\C).

(3) A\\(B\\C)?A\\(B?C) ?A?(B?C)

ccc?A?(Bc?C) ?(A?Bc)?(A?C)

?(A\\B)?(A?C).

2．证明下列命题．

(1) ?A\\B??B?A的充分必要条件是：B?A； (2) ?A?B?\\B?A的充分必要条件是：A?B??； (3) ?A\\B??B??A?B?\\B的充分必要条件是：B??．

证明 (1) (A\\B)?B?(A?B)?B?(A?B)?(B?B)?A?B?A的充要条 是：B?A.

(2) (A?B)\\B?(A?B)?B?(A?B)?(B?B)?A?B

c必

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X是Banach空间，X0

是X的闭子空间，映射 :X X/X0，定义为

其中[x]表 :x [x] x X，

示含x的商类. 求证 是开映射.

证法1 用开映射定理, 只需证明 满射. 事实上,

[x] X X0,任取x [x],则有x X, x=[x].

证法2 不用开映射定理. 教材p94, 定理 2.3.8 的证明中的 (1)为了证T是开映射，必须且仅须 >0, s.t.

TB( ,1) U( , ) . 取 =1.并设

B( ,1) X中的开单位球;

1

U ,1) X X0中的开单位球.

下面证明U( ,1)= B( ,1).

x B( ,1) x<1 [x] x<1 x=[x] U( ,1) B( ,1) U( ,1)反之,

[x] U( ,1) [x]<1 x [x],使得

x<1 x B( ,1),[x]= x. U( ,1) B( ,1)

2.3.2设X,Y是Banach空间. U L(X,Y)，设方程

考

试卷三（参考答案及评分标准）

生一、一 单项选择题（3分×5=15分）

答11、设An?[,2?(?1)n],n?1,2,?，则（ B ）

n(A) limAn?[0,1] （B）limAn?(0,1]

n??n??(C) limAn?(0,3] （D）limAn?(0,3)

n??n??题2、设E是?0,1?上有理点全体，则下列各式不成立的是（ D ） （A）E?[0,1] (B) E?? (C) E=[0，1] (D) mE?1

'o不3、下列说法不正确的是（ C ）

(A) 若A?B，则m*A?m*B （B） 有限个或可数个零测度集之和集仍 为零测度集 (C) 可测集的任何子集都可测 （D）凡开集、闭集皆可测 4、设{En}是一列可测集，E1?E2???En??，且mE1???，则有（ A ）

得??????（A）m??En??limmEn (B) m??En??limmEn

?n?1?n???n?1?n????? （C）m??En??limmEn;（D）以上都不对

?n?1?n??超5、设f(x)是[a,b]上绝对连续函数，则下面不成立的是（ B

考安庆师范学院第 学年度第 学期 《实变函数》试卷一 生专业_________班级________ 姓名 学号 答题号 得分 一 二 三 四 五 总分 题注 意 事 项 1、本试卷共6页。 2、考生答题时必须准确填写专业、班级、学号等栏目，字迹要清楚、工整。

得 分 不 一、单项选择题（3分×5=15分） 1、1、下列各式正确的是（ ） （A）limAn???Ak; （B）limAn???Ak; ????得n??n?1k?n??n??n?1k?n?（C）limAn???Ak; （D）limAn???Ak; n??n?1k?nn??n?1k?n?2、设P为Cantor集，则下列各式不成立的是（ ） 超（A）P? c (B) mP?0 (C) P?P (D) P?P '?3、下列说法不正确的是（ ） (A) 凡外侧度为零的集合都可测（B）可测集的任何子集都可测 (C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D）波雷耳集都可测 此4、设?fn(x)?是E上的a.e.有限的可测函数列,则下面不成立的是(

泛函分析习题答案

第二章 度量空间

作业题答案提示 1、

试问在R上，??x,y???x?y?2能定义度量吗？

答：不能，因为三角不等式不成立。如取则有??x,y??4,而??x,z??1，??z,x??1 2、

试证明：（1）??x,y??x?y;(2)??x,y??12

x?y1?x?y在R上都定

义了度量。

证：（1）仅证明三角不等式。注意到

11??x?y?x?z?z?y??x?z2?z?y2???2

故有x?y?x?z?z?y

121212 （2）仅证明三角不等式 易证函数??x?? 所

a?1?a?b??b?1?x在R?上是单调增加的， 1?x以

a?a?有

?b1?b??a?b????a?b?,

b从而有

a1ab 令?x,y,z?R,令a?z?x,b?y?z 即

2-1

y?x1?y?x?z?x1?z?x?y?z1?y?z

泛函分析习题答案

4.试证明在C?a,b?上，?(x,y)??ax(t)?y(t)dt(2.3.12)

1b定义了度量。

证：（1）?(x,y)?0?x(t)?y(t)?0（因为x,y是连续函数） ?(x,y)?0及?

实变函数试题

一，填空题

??1. 设An??,2?,

?n?1n?1,2?,

An????????????????. 则limn??2. ?a,b?????,???,因为存在两个集合之间的一一映射为

??????????

1??cos,x?0y??2x3. 设E是R中函数的图形上的点所组成的

??0,????????x?0??E????????????????????????E集合，则，????????????????????????. n4. 若集合E?R满足E??E, 则E为???????????????????????集.

5. 若??,??是直线上开集G的一个构成区间, 则??,??满足:

????????????????????????????????????????, ????????????????????????????????????????.

6. 设E使闭区间?a,b?中的全体无理数集, 则

mE?????????????????.

?7. 若mE??fn(x)?f(x)??0, 则说?fn(x)?在E上????????????????.

nn8. 设E?R, x0?R,若???????????????????????

考安庆师范学院第 学年度第 学期 《实变函数》试卷一 生专业_________班级________ 姓名 学号 答题号 得分 一 二 三 四 五 总分 题注 意 事 项 1、本试卷共6页。 2、考生答题时必须准确填写专业、班级、学号等栏目，字迹要清楚、工整。

得 分 不 一、单项选择题（3分×5=15分） 1、1、下列各式正确的是（ ） （A）limAn???Ak; （B）limAn???Ak; ????得n??n?1k?n??n??n?1k?n?（C）limAn???Ak; （D）limAn???Ak; n??n?1k?nn??n?1k?n?2、设P为Cantor集，则下列各式不成立的是（ ） 超（A）P? c (B) mP?0 (C) P?P (D) P?P '?3、下列说法不正确的是（ ） (A) 凡外侧度为零的集合都可测（B）可测集的任何子集都可测 (C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D）波雷耳集都可测 此4、设?fn(x)?是E上的a.e.有限的可测函数列,则下面不成立的是(