近世代数答案

1：证明：:实数域R上全体n阶方阵的集合Mn(R)，关于矩阵的加法构成一个交换群。 证：（1）显然，Mn(R)为一个具有“+”的代数系统。 （2）∵矩阵的加法满足结合律，那么有结合律成立。 （3）∵矩阵的加法满足交换律，那么有交换律成立。 （4）零元是零矩阵。?A∈Mn(R),A+0=0+A=A。 （5）?A∈Mn(R),负元是-A。A+(-A)=(-A)+A=0。 ∴（Mn(R),+）构成一个Abel群。

2：证明：实数域R上全体n阶可逆方阵的集合GLn(R)关于矩阵的乘法构成群。这个群称为n阶一般线形群。

证明：显然GLn(R)是个非空集合。

对于任何的A,B∈GLn(R)，令C=AB, 则C=|AB|=|A||B|≠0,所以C∈GLn(R)。

⑴因为举证乘法有结合律，所以结合律成立。 ⑵对任意A∈GLn(R)，AE=EA，所以E是单位元。

⑶任意的A∈GLn(R)，由于∣A∣≠0,∴A的逆矩阵A，满足

?1AA?1?A?1A?E且∴A的逆元是 A?1.所以，GLn(R)关于矩阵的乘法构成群。

3：证明:实数域R上全体n阶正交矩阵的集合On(R)关于矩阵的乘法构成群.这

近世代数习题解答

第二章 群论

1 群论

1. 全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群?

证 不是一个群,因为不适合结合律.

2. 举一个有两个元的群的例子.

证 G?{1,?1} 对于普通乘法来说是一个群.

3. 证明, 我们也可以用条件1,2以及下面的条件

4'. G至少存在一个右单位元e,能让ae?a 对于G的任何元a都成立

5'. 对于G的每一个元a,在G里至少存在一个右逆元a?1,能让 aa?1?e 证 (1) 一个右逆元一定是一个左逆元,意思是由aa?1?e 得a?1a?e 因为由4'G有元a'能使a?1a'?e 所以(a?1a)e?(a?1a)(a?1a')

?[a?1(aa?1)]a'?[a?1e]a'?a?1a'?e 即 a?1a?e

(2) 一个右恒等元e一定也是一个左恒等元,意即 由 ae?a 得 ea?a ea?(aa?14,5来作群的定义:

近世代数复习

一、单项选择题(20分)

1、下面的代数系统（G，*）中，（ ）不是群。

A. G为整数集合，*为加法 B. G为偶数集合，*为加法 C.G为有理数集合，*为加法 D. G为有理数集合，*为乘法 2、设A={所有实数}，A的代数运算a?b=a+2b（ ） A.适合结合律但不适合交换律；B.不适合结合律但适合交换律； C.既适合结合律又适合交换律；D.既不适合结合律又不适合交换律 3、在整数加群Z中，不包含15Z的子群是（ ）。 (A) 3Z (B) 5Z (C) 3Z或5Z （D）13Z 4. 设a,b,c和x都是群G中的元素且xa?bxc,acx?xac，那么

2?1x?（ ）

A. bc?1a?1； B.c?1a?1； C.a?1bc?1； D.b?1ca。

5、设G＝Z，对G规定运算o，下列规定中只有（ ）构成群。 (A) aob=a+b-2 (B) aob=a? b 数的乘法）

6、设H

(B) ab1∈H (C) a1b∈H

－

－

(C) aob=2? a+3?

安徽大学2008—2009学年第一学期 《近世代数》考试试卷（B卷）

一、分析判断题（请判断下列命题对错，并简要说明理由） 1、模n的同余关系是一个等价关系．

2、整数集Z对于普通的数的乘法作成一个群． 3、?x?是Z[x]的一个极大理想．

4、在同态映射下，正规子群的象是正规子群． 5、数域F上的多项式环F[x]是一个欧氏环． 二、计算分析题

1、设两个六次置换：??(134652)，??(1235)(46)计算：??，?2?，????1． 2、求剩余类环Z12的所有可逆元和所有子环． 3、在Z8中计算：([4]x3?[3]x?[2])([5]x2?x?[3]) 三、举例题（对下列的各种情形，请各举一例） 1、环的素理想而非极大理想；

2、环和其一个子环均有单位元，但二者不相等； 3、正规子群的正规子群不是原来群的正规子群． 四、证明题（本题共6小题，每小题10分，共60分） 1、证明在一个有限群中：

1) 阶数大于2的元素的个数一定是偶数；

2) 偶数阶群里阶等于2的元素个数一定是奇数． 2、设H?G，证明：对?a?G,aHa?1?G且aHa?1?H．

????a2b??a,b?数域F3、证明：对集合R????关于普通的矩阵的加法和乘法

练 习 题

第一次作业

1、设A={x| x?R, |x|?5},B={x|x?R, -6?x<0}.求A?B，A?B，A?B，B?A。 2、设A，B是U的子集，规定A+B=(A?B)?(B?A)。证明： (1) A+B=B+A (2) A+?=A (3) A+A=?。

3、求下列集合的所有子集： (1) A={a, b, ?} (2) B={?} (3) C={1}

4、设f：A?B和g：B?C是映射，证明： (1) 如果f和g是单射，则gf是单射 (2) 如果f和g是满射，则gf是满射 (3) 如果gf是单射，则f是单射 (4) 如果gf是满射，则g是满射.

5、对于下面给出的整数集Z到整数集Z的映射f, g ,h: f: x?3x g: x?3x+1 h: x?3x+2 (1) 计算fg, gf, gh, hg, fgh (2) 分别求f, g, h的一个左逆映射 (3) 求f, g, h的一个共同的左逆映射

(4) 求f, g的一个共同的左逆映射，但不是h的左逆映射。 6、设R是实数集合，在R?R上规定二元关系“~”为：

（a, b）~ (c, d)?a+d=b+c

证明“~”是R上的一个等价关系。

7、设A={a, b, c, d, e}, S={{a},{b},{c, d, e}},求A上的一个等价关

近世代数复习

一、单项选择题(20分)

1、下面的代数系统（G，*）中，（ ）不是群。

A. G为整数集合，*为加法 B. G为偶数集合，*为加法 C.G为有理数集合，*为加法 D. G为有理数集合，*为乘法 2、设A={所有实数}，A的代数运算a?b=a+2b（ ） A.适合结合律但不适合交换律；B.不适合结合律但适合交换律； C.既适合结合律又适合交换律；D.既不适合结合律又不适合交换律 3、在整数加群Z中，不包含15Z的子群是（ ）。 (A) 3Z (B) 5Z (C) 3Z或5Z （D）13Z 4. 设a,b,c和x都是群G中的元素且xa?bxc,acx?xac，那么

2?1x?（ ）

A. bc?1a?1； B.c?1a?1； C.a?1bc?1； D.b?1ca。

5、设G＝Z，对G规定运算o，下列规定中只有（ ）构成群。 (A) aob=a+b-2 (B) aob=a? b 数的乘法）

6、设H

(B) ab1∈H (C) a1b∈H

－

－

(C) aob=2? a+3?

练 习 题

第一次作业

1、设A={x| x?R, |x|?5},B={x|x?R, -6?x<0}.求A?B，A?B，A?B，B?A。 2、设A，B是U的子集，规定A+B=(A?B)?(B?A)。证明： (1) A+B=B+A (2) A+?=A (3) A+A=?。

3、求下列集合的所有子集： (1) A={a, b, ?} (2) B={?} (3) C={1}

4、设f：A?B和g：B?C是映射，证明： (1) 如果f和g是单射，则gf是单射 (2) 如果f和g是满射，则gf是满射 (3) 如果gf是单射，则f是单射 (4) 如果gf是满射，则g是满射.

5、对于下面给出的整数集Z到整数集Z的映射f, g ,h: f: x?3x g: x?3x+1 h: x?3x+2 (1) 计算fg, gf, gh, hg, fgh (2) 分别求f, g, h的一个左逆映射 (3) 求f, g, h的一个共同的左逆映射

(4) 求f, g的一个共同的左逆映射，但不是h的左逆映射。 6、设R是实数集合，在R?R上规定二元关系“~”为：

（a, b）~ (c, d)?a+d=b+c

证明“~”是R上的一个等价关系。

7、设A={a, b, c, d, e}, S={{a},{b},{c, d, e}},求A上的一个等价关

《近世代数》复习

一、 群论：基本结构有循环群，对称群与商群。基本内容有：元素的周期，置换的表示，子群，陪集，正规子群，同态（映射），同构（映射），群的类方程，Lagrange定理。基本技术：o(a)=||; o(ab)=o(ba), 特别,在交换群中, o(ab)=[o(a), o(b)]; 置换的周期=非交轮换周期的最小公倍数; 中心为正规子群; |G/N|=|G|/|N|; 所有不同的共轭类做成G的一个划分,故有类方程|G|=Σ[G:C(a)](其中a取自不同的共轭类)=|C(G)| +Σ[G:C(a)](其中a取自不同的非中心元素所在的共轭类即元素个数大于等于2的共轭类); o(a)| |G|; 若H?G,则|H| | |G|; 对称群Sn中奇偶置换各占一半即n!/2; 所有偶置换组成交错群An且是Sn的非平凡的最大的正规子群; Sn中的n-轮换?的中心化子(即能与?交换的所有元素构成的子群)就是它生成的循环子群,由此可知与其共轭的元素共有(n?1)!个.

二、 环论：基本结构有交换环，无零因子环，整环，主理想整环，唯一分解环，多项式环，域与商环。基本内容有：理想，环同态（映射），环同构（映射），不可约元，整环中的因子分解，多项式环中

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一、单项选择题(每小题3分，共12分)

1.设A=R(实数集)，B=R+(正实数集) υ:a→10a+1,?a∈A 则?是从A到B的( )。 A.满射而非单射 B.单射而非满射 C.一一映射 D.既非单射也非满射 2.剩余类加群Z6中，元素［１］的阶是( )。 A.1 B.2 C.3 D.6 3.7阶循环群的生成元个数是( )。 A.1 B.2 C.6 D.7

?a0??4.设R=??那么R关于矩阵的加法和乘法构成环，则这个矩阵环是( )。 ?0b?a、b?Z?，

????A.有单位元的可换环 B.无单位元的可换环 C.无单位元的非可换环 D.有单位元的非可换环 二、填空题(每小题3分，共24分)

1.设集合A含有m个元，则A的子集共有_____个. 2.每一个有限群都和一个_____群同构. 3.设a、b是群G的两个元，则(ab)-2=_____.

4.在3次对称群S3中与元(1 2 3)不可交换的元有_____个. 5.剩余类环Zm是无零因子环

第一章

集合A 的一个分类决定A的元间的一个等价关系； 集合A元间的一个等价关系~决定A的一个分类。

第二章

群的定义

a. 设G是一个非空集合，“?”是其上一个二元运算，若满足

1.“?”满足结合律；2.{G，?}中有单位元；3.{G，?}每个元都与逆元 则称{G，?}是一个群，简称G是一个群。

b. 若G是 一个有乘法的有限非空集合，且满足消去律。 群的性质

1.单位元唯一； 2.逆元唯一；

3.若G是群，则对G中的任意元a、b,方程ax = b和xa = b都有唯一的解 4.若G是群，则对任意G中的两个元素a、b, 有(ab)-1=b-1a-1

?1?1?1?1?1?a,a,...,a,?G?(aa...a)?aa...a12m12mmm?12a1 注：可以推广到无限：

5.单位元是群中唯一的等幂元素（满足x2 = x的元叫等幂元）

证：令x是等幂元，∴x=ex=(x-1x)x=x-1(xx)=x-1x=e。

6.群满足左右消去律。

推论：若G是有限群，则其运算表中的每一行（列）都是G中元的一个排列，而且不同行（列）的排列不同。

7.若群G的元a的阶是n（有限），则ak = e n|k。 8.群中的任意元素a和他的逆元a-1具有