圆的综合问题

第九讲 直线和圆问题 一、直线与圆

（一）直线和圆的位置关系及其特点

1.直线和圆相交：直线和圆有两个公共点. 2.直线和圆相切：直线和圆有一个公共点. 3.直线和圆相离：直线和圆没有公共点. （二）直线和圆的位置关系的判断

几何法：利用圆心O(a,b)到直线Ax?By?C?0的距离d?Aa?Bb?CA?B22与半径r的大

小来判断.

代数法：联立直线与圆的方程组成方程组，消去其中一个未知量，得到关于另外一个未知量的一元二次方程，通过根的判别式??b?4ac来判断.

直线与圆的 位置关系 相交 相切 相离 2图形 圆心到直线的距离d ??b?4ac 2（三）相交弦长 1.定义：当直线和圆相交时，我们把两个交点的距离叫做相交弦长. 2.求相交弦长的两种方法 几何法：如图，半径r，弦心距d，弦长l的一半构成直角三角形，满足勾股定理：__________.

代数法：若直线y?kx?b与圆有两个交点A(x1,y1)、B(x2,y2)，则弦长公式AB=_______________________________________________．

或___________________

以圆为载体的动点问题

所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质

1．在直角坐标平面内，O为原点，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，4），直线CM∥x轴（如图所示）．点B与点A关于原点对称，直线y＝x＋b（b为常数）经过点B，且与直线CM相交于点D，联结OD． （1）求b的值和点D的坐标；

（2）设点P在x轴的正半轴上，若△POD是等腰三角形，求点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，如果以PD为半径的圆P与圆O外切，求圆O的半径．

2．如图，已知射线DE与x轴和y轴分别交于点D（3，0）和点E（0，4），动点C从点M（5，0）出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向左作匀速运动，与此同时，动点P从点D出发，也以1个单位长度/秒的速度沿射线DE的方向作匀速运动．设运动时间为t秒． （1）请用含t的代数式分别表示出点C与点P的坐标；

1

（2）以点C为圆心、t个单位长度为半径的⊙C与x轴交于A、B两点（点A在点B

2

的左侧），连接PA、PB．

二次函数与圆综合动 点问题 1．在直角坐标平面内，O为原点，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，4），直线CM∥x轴（如图所示）．点B与点A关于原点对称，直线y＝x＋b（b为常数）经过点B，且与直线CM相交于点D，联结OD． （1）求b的值和点D的坐标；

（2）设点P在x轴的正半轴上，若△POD是等腰三角形，求点P的坐标；

y

y＝x＋b

D M 4 C

3 2 1

A B

x ?1 O 1

2．如图，射线OA⊥射线OB，半径r＝2cm的动圆M与OB相切于点Q（圆M与OA?没有公共点），P是OA上的动点，且PM＝3cm，设OP＝xcm，OQ＝ycm． （1）求x、y所满足的关系式，并写出x的取值范围． （2）当△MOP为等腰三角形时，求相应的x的值． B

M Q

O P A

3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A(－1，0)，B(4，0)，C(0，－4)，⊙M是△ABC的外接圆，M为圆心． （1）求抛物线的解析式； （2）求阴影部分的面积；

（3）在x轴的正半轴上有一点P，作PQ⊥x轴交BC于Q，设PQ＝k，△CP

课题：与圆有关的轨迹问题

2010届高三数学调研测试(二)解答题中出现这样一道题目： 18.在等腰?ABC中，已知AB?AC,且点B(?1,0)。点D(2,0)为

AC中点。

l y E A F B O D x （1）求点C的轨迹方程

（2）已知直线l:x?y?4?0,求边BC在直线l上的射影EF长的最大值。

文科班大部分学生对第一小题中的轨迹问题一筹莫展，结合

C 2010年江苏高考考试说明我们可以了解到直线和圆的知识是解析几何中的重中之重，虽然考纲中必做题部分对轨迹方程并没有明确要求，但在样卷的解答题中依然出现了轨迹方程问题，我们还是不能掉以轻心，今天我们利用一节课的时间来研究一下解析几何中简单的一些求轨迹的问题，特别是与圆有关的轨迹问题。 一．回忆解析几何中常见的轨迹:

(1)在平面内,到两定点的距离相等的点的轨迹是连接两定点的线段的垂直平分线. (2)平面内到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线. (3)平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心的圆.

(4)平面内到定点的距离与到定直线（定点不在此定直线上）的距离之比等于常数的点的轨迹

是圆锥曲线.当常数大于1时表示双曲线;当常数等于1时,表示抛物线;当常数大于0而小于1

拔高专题 圆中的最值问题

一、基本模型构建 常见模型 图(1) 图（2） 思考 图（1）两点之间线段 最短 ； 图（2）垂线段 最短 。 .在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的 对称 点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点． 二、拔高精讲精练 探究点一：点与圆上的点的距离的最值问题

例1：如图，A点是⊙O上直径MN所分的半圆的一个三等分点，B点是弧AN的中点，P点是MN上一动点，⊙O的半径为3，求AP+BP的最小值。

解：作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，连接OA′，AA′． ∵点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点， ∴∠A′ON=∠AON=60°，PA=PA′，∵点B是弧AN的中点，

∴∠BON=30°，∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=90°，又∵OA=OA′=3， ∴A′B=32．∵两点之间线段最短，∴PA+PB=PA′+PB=A′B=32．

【教师总结】解决此题的关键是确定点P的位置．根据轴对称和两点之间线段最短的知识，把两条线段的和转化为一条

第15题 圆的计算

1.如图，⊙O的半径为2，P为⊙O内一点，OP=1，过P点的弦与劣弧AB组成一个弓形，则此弓形面积的最小值为（ ） A .

4?8?2?4?-3 D. -3 ?3 B.?3 C. 3333

2.如图，AB为⊙O的直径，定长弦CD在⊙O上滑动（点C、D不与A、B重合），CE⊥AB于E，N是CE的中点，M是CD上一点，且DM=3CM，若AB=10，则MN的长度的最小值为 ．

3.如图，线段AB=4，C为线段AB上的一个动点，以AC、BC为边作等边△ACD和等边△BCE，⊙O外接于△CDE，则⊙O半径的最小值为 ．

ｏｏ

4.如图，△ABC内接于半径为2 的⊙O，∠ABC=45，∠ACB=60，点D为弧AB的中点，M、N分别是线段CD、AC上的动点，则MA+AN的值的最小值是（ ） A .

33 B. 26 C. 22 D. 2?3

5.如图，正方形ABCD中，AB=8，O为AB的中点，P为正方形ABCD外一

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圆综合复习

一、本章知识框架

二、本章重点 1．圆的定义：

2．判定一个点P是否在⊙O上． 3．与圆有关的角 (1)圆心角 (2)圆周角 圆周角的性质：

①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半．

②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等． ③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角．

④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． ⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角． (3)弦切角： 4．圆的性质：

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在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等．

轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴． 垂径定理及推论：

(1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． (2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． (3)弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧．

(4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦． (5)平行弦夹的弧相等．

5．三角形的内心、外心、重心、

圆综解题技巧

中考解读：

圆的综合是中考数学必考题，一般在第24或25题，分值5分 圆综一般有两小题

Ⅰ.第一小题占2分，一般需要证明切线或角的关系和线段关系

一般需要导角证明，求证相切的关系其实是导90°角，求证平行关系其实也是通过导角的关系来判定平行，这类问题通常都要用到圆的常见辅助线来解决； Ⅱ. 第二小题占3分，一般考查求线段的长度

主要应用圆的基本性质，同时结合相似、勾股定理以及锐角三角函数等知识。这一问是考生容易丢分的，是此题的难点，需要掌握核心方法和技巧。 2012-2016年北京中考圆综合知识点考查对比 第一问 第二问 2012 切线的证明 求线段长 2013 证角等 求线段长 2014 证线段等 求线段长 2015 证明等边 求线段长 2016 证明平行 求面积

解决圆综问题常用到的定理： （1）弧、弦、圆心角定理

弧、弦、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 推论1：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等． 推论2：在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．

（2）圆周角定理

圆周角定理：一条弧

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圆综合复习

一、本章知识框架

二、本章重点 1．圆的定义：

2．判定一个点P是否在⊙O上． 3．与圆有关的角 (1)圆心角 (2)圆周角 圆周角的性质：

①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半．

②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等． ③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角．

④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． ⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角． (3)弦切角： 4．圆的性质：

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在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等．

轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴． 垂径定理及推论：

(1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． (2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． (3)弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧．

(4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦． (5)平行弦夹的弧相等．

5．三角形的内心、外心、重心、

圆的综合练习

1、如图，△ABC内接于半圆，AB为直径，过点A 作直线MN，若∠MAC＝∠ABC。 （1） 求证：MN是半圆的切线。

（2） 设D是弧AC的中点，连结BD交AC于G，过D作DE⊥AB于E，交AC于F，

求证：FD＝FG。

（3） 若△DFG的面积为4.5,且DG＝3,GC＝4,试求△BCG的面积。

1

2、如图已知直线L：y?3x?3，它与x轴、y轴的交点分别为A、B两点。 4（1）求点A、点B的坐标。

（2）设F为x轴上一动点，用尺规作图作出⊙P，使⊙P经过点B且与x轴相切于点F（不写作法，

保留作图痕迹）。

（3）设（2）中所作的⊙P的圆心坐标为P（x，y），求y关于x的函数关系式。

（4）是否存在这样的⊙P，既与x轴相切又与直线L相切 于点B，若存在，求出圆心P的坐标，若不存在，请说明 理由。

2

3、如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC?PC，?COB?2?PCB． （1）求证：PC是⊙O的切线； （2）求证：BC?1AB； 2（3）点M是?AB的中点，CM交AB于点N，若AB?4，求MN?MC的值．

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A O N B

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