线性系统的状态空间分析

第九章 线性系统的状态空间分析法

一、教学目的和要求

通过学习，了解系统状态空间描述常用的基本概念，掌握线性定常系统状态空间表达式的建立方法。 二、重点

状态空间分析的常用概念，根据系统机理建立状态空间表达式方法。 三、教学内容：

以“经典控制的不足”为切入点引进线性系统的状态空间分析与综合。 1、系统数学描述的两种基本方法

一种是外部描述。 一种是内部描述。 对比举例

2、系统描述中常用的基本概念 输入和输出、松弛性、因果性、线性、时不变形 3、系统状态空间描述常用的基本概念

状态和状态变量、状态向量、状态空间、状态轨迹、状态方程、输出方程、状态空间表达式、自制系统、线性系统、线性系统的状态空间表达式、线性定常系统、线性系统的结构图、状态空间分析法。 将概念讲解、举例、对比来加深理解。 4、举例 熟悉对概念理解

5、根据系统机理建立状态空间表达式方法

步骤：

① 确定输入输出向量；

② 根据系统机理（电学、力学等）建立系统方程； ③ 选择状态变量，根据方程建立状态方程；

实验一 线性系统状态空间描述

一、 实验目的

(1) 掌握线性系统的特征值标准型、约当标准型的建立方法。

(2) 掌握线性系统的可控标准型、可观标准型的建立方法。

二、 实验设备

计算机、MATLAB软件。

三、 实验内容

四、 实验步骤

打开计算机，运行MATLAB软件。 将上述内容写入程序编辑窗口并运行。 分析结果，写出实验报告。

第二章 线性系统的状态空间描述

§2-1 状态空间的基本概念

1、状态：系统的状态，是指系统的过去、现在和将来的状况。

（如：一个质点作直线运动，它的状态就是它每个时刻的位置和速度）2、状态变量：能完全表征系统运行状态的最小数目的一组变量。

（如果用最少的n个变量x1(t)， x2(t)，……， xn(t)就能完全描述系统的状态，那么这n个变量就是一组状态变量。）

3、状态向量：设一个系统有n个状态变量，即x1(t)，x2(t)，??，xn(t)，用这n个状态变量作为分量构成的向量x(t)称为该系统的状态向量。记为

x(t)?[x1(t),x2(t),?,xn(t)]T4、状态空间：由n个

状态变量作为坐标轴所构成的n维空间，称为状态空间。 引入了状态和状态空间的概念之后，就可以建立动力学系统的状态空间描述了。从结构的角度讲，一个动力学系统可用图2-1所示的方块图来表示。其中x(t)表征系统的状态变量，u(t)为系统控制量（即输入量），y(t)为系统的输出变量。

图2-1 动力学系统结构示意图

与输入—输出描述不同，状态空间描述把系统动态过程的描述考虑为一个更为细致的过程：输入引起系统状态的变化，而状态和输入则决

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第2章 线性系统的状态空间描述

2.1 状态和状态空间 2.2 线性系统的状态空间描述 2.3 连续变量动态系统按状态空间分类 2.4 由输入输出描述导出状态空间描述 2.5 线性系统的特征结构 2.6 状态方程的约当规范形 2.7 由状态空间描述导出传递函数矩阵 2.8 线性系统在坐标变换下的特性 2.9 组合系统的状态空间描述和传递函数矩阵

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2.1 状态和状态空间

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1、动态系统的两类数学描述

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（1）系统的外部描述（输入 输出描述） ）系统的外部描述（输入-输出描述

特点： 避开表征系统内部的动态过程，反映外部变量间的因果关系。 特点： 避开表征系统内部的动态过程，反映外部变量间的因果关系。 系统作为“黑箱” 系统作为“黑箱” 例如：一个系统是线性定常数的， 例如：一个系统是线性定常数的，且只有一个输出变量和一 个输入变量， 个输入变量，那么其外部描述为如下形式的一个线性 常系数微分方程： 常系数微分方

第五章 线性系统的频域分析法

5-1 什么是系统的频率响应？什么是幅频特性？什么是相频特性？什么是频率特性？ 答 对于稳定的线性系统，当输入信号为正弦信号时，系统的稳态输出仍为同频率的正弦信号，只是幅值和相位发生了改变，如图5-1所示，称这种过程为系统的频率响应。

图5-1 问5-1图

称为系统的幅频特性，它是频率

的函数：

的函数； 称为

称为系统的频率特

系统的相频特性，它是频率

性。

稳定系统的频率特性可通过实验的方法确定。 5-2 频率特性与传递函数的关系是什么？试证明之。 证 若系统的传递函数为s用

代替。证明如下。

，则相应系统的频率特性为

，即将传递函数中的

假设系统传递函数为：

输入 时，

经拉氏反变换，有： 稳态后，则有： 其中：

将

与 写成指数形式：

则： 与输入

比较得：

幅频特性 所以

相频特性

是频率特性函数。

5-3 频率特性的几何表示有几种方法？简述每种表示方法的基本含义。 答 频率特性的几何表示一般有3种方法。

⑴幅相频率特性曲线（奈奎斯特曲线或极坐标图）。它以频率 为参变量

实验3 线性系统的频域分析方法

1、主要内容：自动控制系统频域分析上机实验 2、目的与要求

熟悉 MATLAB 软件在频域分析中的基本应用 熟悉 MATLAB 软件绘制 Bode 图、Nyquist 曲线

由 MATLAB 软件绘制的 Bode 图判别闭环系统的稳定性 3、重点与难点：

MATLAB 软件绘制 Bode 图、Nyquist 曲线及稳定性判断 MATLAB 软件绘制 Bode 图、Nyquist 曲线

一、实验目的

1、利用 MATLAB 绘制系统的频率特性图； 2、根据 Nyquist 图判断系统的稳定性； 3、根据 Bode 图计算系统的稳定裕度。 二、实验任务

利用 MATLAB 绘制系统的频率特性图，是指绘制 Nyquist 图、Bode 图，所用到的函数主要是 nyquist、ngrid、bode 和 margin 等。 1、Nyquist 图的绘制及稳定性判断

nyquist 函数可以计算连续线性定常系统的频率响应，当命令中不包含左端变量时，仅产生 Nyquist图。

命令 nyquist(num,den)将画出下列传递函数的 Nyquist 图：

bmsm?bm?1sm?1??b1s?b0

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§3-3 相平面法相平面法是基于时域的一种图解分析方法。 是状态空间法在二维情况下的应用。 一、相平面的基本概念 二阶时不变系统(可以是线性的，也可以是非线性的)

f ( x, x ) 0 来描述。 x 一般可用常微分方程 式中，设输入信号为零，x 表示系统中的某一个物 ) 是 x 和 x 理量， f ( x , x 的解析函数。 ) 控制系统的任一动态过程可由状态变量 ( x , x 来表示。

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为横轴和纵轴构成的坐标平 1.相平面:以x 和 x 面. 2.相点:相平面上任一点 ) ( x, x

3.相轨迹: 对二阶系统来讲，从某一初始状态出发， 以时间t为参变量，便可画出一条连续变化的相轨迹。

x

M1

x M2

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4.相轨迹特点: ⑴与初始点(状态)密切相关. ⑵可以不直接求出微分方程而获得系统所有 运动状态. 5.相轨迹判断系统稳定性x(x0,x0)

x(x0,x0)

x

x

x

(x,,x)

x

漸進穩定系統

不穩定

持續振蕩

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二、相平面图绘制方法 1.解析法:适用于微分方程简单(二阶)或可分段线 性化. f ( x, x ) 0 x 设二阶系统

(*)

非线性系统的相平面法分析

实验九 非线性系统的相平面法分析

一．实验目的

1．掌握相平面法分析非线性系统；

2．用相平面法分析非线性二阶系统，并绘制相轨迹图；

二．实验内容

1．搭建继电型非线性二阶系统，观测并绘制其相轨迹图；

2．搭建带速度反馈的继电型非线性二阶系统，观测并绘制其相轨迹图；

3．搭建饱和型非线性二阶系统，观测并绘制其相轨迹图。

三．实验步骤

在实验中观测实验结果时，可选用普通示波器，也可选用本实验台上的虚拟示波器。 如果选用虚拟示波器，只要运行ACES程序，选择菜单列表中的相应实验项目，再选择开始实验，就会打开虚拟示波器的界面，点击开始即可使用本实验台上的虚拟示波器CH1、CH2两通道观察被测波形。具体用法参见用户手册中的示波器部分。

1．继电型非线性二阶系统

实验中所用到的功能区域：

阶跃信号、虚拟示波器、实验电路A1、A2、A3、A5、A6。

继电型非线性二阶系统模拟电路如图1-9-1所示

图1-9-1继电型非线性二阶系统模拟电路

（1） 设置阶跃信号源：

A．将阶跃信号区的选择开关拨至“0～5V”；

B．将阶跃信号区的“0～5V”端子与实验电路A1的“IN11”端子相连接；

C．按压阶跃信号区的红色开关按钮就可以在“0～5V”端子产生阶跃信号。

（2） 搭

线性系统的能控性判据分析

摘要：能控性是线性系统的一个基本结构特征，它的出现对于系统控制和系统估计问题的研究具有重要意义。本文主要讨论线性系统的能控性判据。其中，能控性的判据分析有很多种方法，最常用的及时约旦标准型方法。

一：问题的提出

设计一个线性系统，我们总是希望所施加的控制u(t)能完全控制系统的运动状态，而不希望出现失控现象。因此，判断一个系统能控性问题就显得尤为重要。能控性是从状态的控制能力方面来揭示了控制系统的一个基本属性。现代控制理论的许多基本问题，如最优控制和最优估计，都是以能控性为存在条件的。 1. 能控性定义 能控性的直观讨论

从状态空间的角度进行讨论：输入和输出构成系统外部变量,状态为系统内部变量。能控性主要看其状态是否可由输入影响。每一个状态变量的运动都可由输入来影响和控制,由任意的始点到达原点,为能控,反之为不完全能控。具体来说就是指外加控制作用u(t) 对受控系统的状态变量x(t)和输出变量y(t)的支配能力，它回答了u(t)能否使x(t)和y(t)作任意转移的问题。 二：问题的解决

我们利用线性系统的能控性判据来判断其能控性。

设线性定常系统状态方程为：

??Ax?Bu,xx为n维状态向量x(0)?x0,t?

实验七 线性系统的频域分析

一、实验目的

1、掌握绘制控制系统Bode图及使用对数稳定性判据的方法；

2、掌握绘制控制系统Nyquist图及使用Nyquist稳定性判据的方法。 二、实验设备

Pc 机一台，MATLAB 软件。 三、实验内容

1、已知系统的开环传递函数为：

??

G s H s =

??(??+1)(??+5)求：1）绘制当k=10及100时系统的bode图

2）分别求取当k=10及100时的相角裕度及增益裕度； 3）分析系统稳定性，并用时域相应曲线验证。 2、已知某系统的开环传递函数为：

??

G s H s =??

??(??+1)(??+2)求：1）令v=1，分别绘制k=1，2，10时系统的Nyquist图；比较分析系统开环增益k不同时，系统的Nyquist图的差异，并得出结论。

2）令k=1，分别绘制v=1、2、3、4时系统的Nyquist图，比较分析v不同时，系统的Nyquist图的差异，并得出结论。 四、实验报告：

1.k=10时的bode图：

此时相角裕度为25°，增益裕度为-9.58。由此可知系统稳定，时域响应曲线如图：

2.k=100时系统的bode图：

此时相角裕度为-23°，增益裕度为10.5。由此可知系