毕达哥拉斯定理的证明图

毕达哥拉斯定理的证明

侯昕彤 南京大学匡亚明学院

摘 要：

欧几里德的毕达哥拉斯定理证明。包括其中涉及的4条定义，5条公设，4条公理，25个命题证明，以及主证明（欧几里德《几何原本》第一卷命题47）。

关 键 词：毕达哥拉斯定理 几何原本 欧几里德

毕达哥拉斯定理：一个直角三角形斜边的平方，等于其两个直角边的平方和。

欲证明该定理，首先给出下列定义，公设以及公理： ? 定义：

【定义1】当一条直线和另一条直横的直线交成的邻角彼此相等时，这些角的每一个被叫做直角。

【定义2】圆是由一条线包围成的平面图形，其内有一点与这条线上的点连接成的所有线段都相等。

【定义3】在四边形中，四边相等且四个角是直角的，叫做正方形。

【定义4】平行直线是在同一平面内的直线，向两个方向无限延长，在不论那个方向它们都不相交。 ? 公设：

【共设1】由任意一点到另外任意一点可以画直线. 【共设2】一条有限直线可以继续延长.

【共设3】以任意点为心及任意的距离可以画圆。 【共设4】凡直角都彼此相等。

【共设5】同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角的和小于二自角的和，则这二直线经无限延长后在这一侧相交 ? 公理：

【公理1】等于同量的量彼此相等。 【

毕达哥拉斯定理的证明

侯昕彤 南京大学匡亚明学院

摘 要：

欧几里德的毕达哥拉斯定理证明。包括其中涉及的4条定义，5条公设，4条公理，25个命题证明，以及主证明（欧几里德《几何原本》第一卷命题47）。

关 键 词：毕达哥拉斯定理 几何原本 欧几里德

毕达哥拉斯定理：一个直角三角形斜边的平方，等于其两个直角边的平方和。

欲证明该定理，首先给出下列定义，公设以及公理： ? 定义：

【定义1】当一条直线和另一条直横的直线交成的邻角彼此相等时，这些角的每一个被叫做直角。

【定义2】圆是由一条线包围成的平面图形，其内有一点与这条线上的点连接成的所有线段都相等。

【定义3】在四边形中，四边相等且四个角是直角的，叫做正方形。

【定义4】平行直线是在同一平面内的直线，向两个方向无限延长，在不论那个方向它们都不相交。 ? 公设：

【共设1】由任意一点到另外任意一点可以画直线. 【共设2】一条有限直线可以继续延长.

【共设3】以任意点为心及任意的距离可以画圆。 【共设4】凡直角都彼此相等。

【共设5】同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角的和小于二自角的和，则这二直线经无限延长后在这一侧相交 ? 公理：

【公理1】等于同量的量彼此相等。 【

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关于毕达哥拉斯定理的证明

专业：××××× 姓名：×× 指导老师：××

摘要：对于几何原本中毕达哥拉斯定理的证明过程，欧几里得以定义，公设，公理的方

式进行推理，现将所有涉及毕达哥拉斯定理的证明命题提出。

关键词：毕达哥拉斯定理，定义，公设，公理。

正文：

定义：1. 点是没有部分的东西

2.线只有长度而没有宽带 3.一线的两端是点

4.直线是它上面的点一样地平放着的线 5.面只有长度和宽带 6.面的边缘是线

7.平面是它上面的线一样地平放着 8. 平面角是在一平面内但不在一条直线上的两条相交线相互的倾斜度. 9. 当包含角的两条线都是直线时，这个角叫做直线角. 10. 当一条直线和另一条直线交成邻角彼此相等时，这些角每一个被叫

做直角，而且称这一条直线垂直于另一条直线。

11. 大于直角的角称为钝角。 12. 小于直角的角称为锐角 13. 边界是物体的边缘

14. 图形是一个边界或者几个边界所围成的

15. 圆：由一条线包围着的平面图形，其内有一点与这条线上任何一个

点所连成的线段都相等。

毕达哥拉斯公式和柏拉图(Plato) 公式都是基础性的勾股数组的通解公式,费尔马大定理是一个正确的定理。

论毕达哥拉斯定理和费尔马大定理的美妙证明

沙寅岳

（ 浙江大学 宁波理工学院 东灵工程技术中心 ）

（中国浙江省宁波市鄞州区横溪镇桃园新村路下9号105室，邮编：315131）

E-mail: shayinyue@http://www.77cn.com.cn 摘 要： 本文采用公式展开和消项的方法，轻而易举地给出了勾股定理（毕达哥拉斯定理）的通解公式，进而给出了二组勾股定理的基本数组，这些数组在勾股定理中具有基础性的地位。 关键词：勾股定理，毕达哥拉斯定理，费尔马大定理，互质数，正整数解。

中图分类号：O156.1

1.勾股定理的研究历史

对于如何求得勾股方程x2 y2 z2的正整数解（即勾股数组），古今中外的数学家们进行了大量探索并给出了各具特色的数学公式．它们分别是：

2毕达哥拉斯公式：x 2n 1，y 2n2 2n，z 2n 2n 1（其中n 1,n N）．

2柏拉图(Plato) 公式：x 2m，y m2 1，z m 1（其中m 2,m N）．

欧几里得(Euclid) 公式：x

并且m,n为完全平方数)． mn ，y 12(m n)， z 12(m

毕达哥拉斯公式和柏拉图(Plato) 公式都是基础性的勾股数组的通解公式,费尔马大定理是一个正确的定理。

论毕达哥拉斯定理和费尔马大定理的美妙证明

沙寅岳

（ 浙江大学 宁波理工学院 东灵工程技术中心 ）

（中国浙江省宁波市鄞州区横溪镇桃园新村路下9号105室，邮编：315131）

E-mail: shayinyue@http://www.77cn.com.cn 摘 要： 本文采用公式展开和消项的方法，轻而易举地给出了勾股定理（毕达哥拉斯定理）的通解公式，进而给出了二组勾股定理的基本数组，这些数组在勾股定理中具有基础性的地位。 关键词：勾股定理，毕达哥拉斯定理，费尔马大定理，互质数，正整数解。

中图分类号：O156.1

1.勾股定理的研究历史

对于如何求得勾股方程x2 y2 z2的正整数解（即勾股数组），古今中外的数学家们进行了大量探索并给出了各具特色的数学公式．它们分别是：

2毕达哥拉斯公式：x 2n 1，y 2n2 2n，z 2n 2n 1（其中n 1,n N）．

2柏拉图(Plato) 公式：x 2m，y m2 1，z m 1（其中m 2,m N）．

欧几里得(Euclid) 公式：x

并且m,n为完全平方数)． mn ，y 12(m n)， z 12(m

篇一：简述毕达哥拉斯定理的起源

几何学中，有着无数定理，毕达哥拉斯定理是其中最诱人的一个。毕达哥拉斯定理的历史最悠久、证明方法最多、应用最广泛，它是人类科学发现中的一条基本定理，对科技进步起了不可估量的作用。中世纪德国数学家、天文学家开普勒称赞说：“几何学中有两件瑰宝，一是毕达哥拉斯定理，一是黄金分割律。” 在我国，把直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方这一特性叫做勾股定理或勾股弦定理，又称毕达哥拉斯定理或毕氏定理（Pythagoras Theorem）。数学公式中常写作a2+b2=c2

“勾三股四弦五”是我们现在耳熟能详的“勾股定理”中的一个特例，它早在西汉的数学著作《周髀算经》中就已经出现，遗憾的是我们的祖先没有从这一特例中发现普遍意义，而拱手将这一定理的发现权及冠名权让给了古希腊著名数学家和哲学家毕达哥拉斯。他第一个用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。因而这条定理在西方以他的名字命名，被称为“毕达哥拉斯定理”。

大约在公元前572年，毕达哥拉斯出生在爱琴海的萨摩斯岛。自幼聪明好学，曾在名师门下学习几何学、自然科学和哲学，后来因对东方的向往，游历了巴比伦、印度和埃及，吸收了阿拉伯文明和印度文明，大约在公元前550年才返回

篇一：毕达哥拉斯学派

毕达哥拉斯学派

毕达哥拉斯学派亦称“南意大利学派”

，是一个集政治、学术、宗教三位于一体的组织。古希腊哲学家毕达哥拉 毕达哥拉斯学派斯所创立。产生于公元前6世纪末，公元前5世纪被迫解散，其成员大多是数学家、天文学家、音乐家。它是西方美学史上最早探讨美的本质的学派。

发展起源：

毕达哥拉斯曾旅居埃及，后来又到各地漫游，很可能还曾去过印度。在他的游历生活中，他受到当地文化的影响，了解到许多神秘的宗教仪式，还熟悉了它们与数的知识及几何规则之间的联系。旅行结束后，他才返回家乡撒摩斯岛。由于政治的原因。他后来迁往位于南意大利的希腊港口克罗内居住。在这里创办了一个研究哲学、数学和自然科学的团体，后来便发展成为一个有秘密仪式和严格戒律的宗教性学派组织。毕氏学派认为，对几何形式和数字关系的沉思能达到精神上的解脱，而音乐却被看作是净化灵魂从而达到解脱的手段。 发展过程：

有许多关于毕达哥拉斯的神奇传说。如，他在同一时间会出现在两个不同的地方，被不同的人看到；还有传说，当他过河时，河神站起身来向他问候：“你好啊，毕达哥拉斯”；还有人说，他的一条腿肚子是金子做的。毕达哥拉斯相信人的灵魂可以转生，有人为了嘲弄他的宗教教义而传言，一次当他看到一只狗正遭人打时

1

无税收条件下的MM定理 1.1 假设条件

假设1：无摩擦市场假设

? 不考虑税收；

? 公司发行证券无交易成本和交易费用，投资者不必为买卖证券支付任何费用； ? 无关联交易存在；

? 不管举债多少，公司和个人均无破产风险；

? 产品市场是有效的：市场参与者是绝对理性和自私的；市场机制是完全且完备的；

不存在自然垄断、外部性、信息不对称、公共物品等市场失灵状况；不存在帕累托改善；等等；

? 资本市场强有效：即任何人利用企业内部信息都无法套利，没有无风险套利机会； ? 投资者可以以企业借贷资金利率相同的利率借入或贷出任意数量的资金。

假设2：一致预期假设

? 所有的投资者都是绝对理性的，均能得到有关宏观、行业、企业的所有信息，并且

对其进行完全理性的前瞻性分析，因此大家对证券价格预期都是相同的，且投资者对组合的预期收益率和风险都按照马克维兹的投资组合理论衡量。

1.2 MM定理第一命题及其推论

MM定理第一命题：

有财务杠杆企业的市场价值和无财务杠杆企业的市场价值相等。

第一命题的含义：

即公司的市场价值（即债权的市场价值+股权的市场价值，不含政府的税收价值）与公司的资本结构无关，而只与其盈利水平有关。这说明未来具有完全相同的盈利能

篇一：勾股定理16种证明方法

勾股定理的证明（看前5个就可以了）

【证法1】（课本的证明）

做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.

从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即

11

a2?b2?4?ab?c2?4?ab

22， 整理得 a2?b2?c2.

【证法2】（邹元治证明）

以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积

1ab

等于2. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、

C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上.

∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF.

∵ ∠AEH + ∠AHE = 90o, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90o. ∴ ∠HEF = 180o―90o= 90o.

∴ 四边形EFGH是一个边长为c的 正方形. 它的面积等于c2.

∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA.

∵ ∠HGD + ∠GHD = 90o, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90o. 又∵ ∠GHE = 90o,

∴ ∠D

篇一：正弦定理的几种证明

正弦定理的几种证明

内蒙古赤峰建筑工程学校 迟冰 邮编（024400）

正弦定理是解决斜三角形问题及其应用问题（测量）的重要定理，而证明它们的方法很多，展开的思维空间很大，研究它们的证明，有利于培养学生的探索精神，体验数学的探索活动过程，也有利于教师根据不同的教学质量要求和学次，进行适当的选择。

正弦定理的内容：

在?ABC中的三边和三角分别是

a

sinA=b

sinB=c

sinC:a,b,c和A,B,C则：

一向量法

证明：在?ABC中做单位向量

i?AB?i?(AC?CB)

|sinA?|i||CB|sinCi

⊥AC,，则：?c

sinC

a

sinA?

:bsinBa

sinA?b

sinB?c

sinC 同理可证：即正弦定理可证

证明：在?ABC中做高线CD,

则在Rt?ADC和Rt?BDC中

CD=bsinA,

CD=asinB

即bsinA=asinB

a

sinA=b

sinB,同理可证：ac

sinA=sinC,

即正弦定理可证

三外接圆法

证明：做

?ABC的外接圆O,过点C连接圆心与圆交于点设圆的半径为R

∴?CAD为Rt?,且b?RsinD,且a∠D?∠B

∴b?2RsinB,即b

sinB?2R

同理:ac

sinA?2R,sinC?2R

∴ac

sinA?b

si