数学立体几何知识点总结

立体几何

空间几何体的三视图和直观图

1 三视图：正视图：从前往后 侧视图：从左往右 俯视图：从上往下

2 画三视图的原则： 长对正、高平齐、宽相等

3直观图：斜二测画法（角度等于45度或者135度）

4斜二测画法的步骤：（1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；（2）.平行于y轴的线长度变半，平行于x轴的线长度不变；（3）.画法要写好。

空间几何体的表面积与体积

（一 ）空间几何体的表面积：1棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和

2 圆柱的表面积 S 2 rl 2 r3 圆锥的表面积：S2 rl r2

222S rl r Rl R4 圆台的表面积 5 球的表面积S 4 R

6扇形的面积公式S扇形n R21 lr（其中l表示弧长，r表示半径） 3602

注：圆锥的侧面展开图的弧长等于地面圆的周长

（二）空间几何体的体积

1柱体的体积 V S底 h 2锥体的体积 V 1S底 h 3

13台体的体积

V S上 3

平面的基本性质 43 S下) h 4球体的体积V R 3

公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面

高考立体几何知识点总结

一 、空间几何体 （一） 空间几何体的类型

1 多面体：由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的

面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。

2 旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中，这条直线称为旋转体的轴。

（二） 几种空间几何体的结构特征 1 、棱柱的结构特征

1.1 棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 1.2 棱柱的分类

图1-1 棱柱

底面是四边形

底面是平行四边形

侧棱垂直于底面

棱柱

底面是矩形

四棱柱

底面是正方形

平行六面体

棱长都相等

直平行

六面体长方体正四棱柱正方体 性质：

Ⅰ、侧面都是平行四边形，且各侧棱互相平行且相等； Ⅱ、两底面是全等多边形且互相平行； Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等；

1.3 棱柱的面积和体积公式

S直棱柱侧 ch（c是底周长，h是高）S直棱柱表面 = c·h+ 2S底 V棱柱 = S底 ·h

2 、棱锥的结构特征

2.1 棱锥的定义

（1） 棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角

【知识络构建】

【重点知识整合】 1．空间几何体的三视图

(1)正视图：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图； (2)侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图； (3)俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图． 几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图． 2．斜二测画水平放置的平面图形的基本步骤

(1)建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的Ox，Oy，建立直角坐标系；

(2)画出斜坐标系，在画直观图的纸上(平面上)画出对应的Ox′，Oy′，使∠x′Oy′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平平面；

(3)画对应图形，在已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中画成平行于x′轴，且长度保持不变；在已知图形中平行于y轴的线段，在直观图中画成平行于y′轴，且长度变为原来的一半；

(4)擦去辅助线，图画好后，要擦去x轴、y轴及为画图添加的辅助线(虚线)． 3.体积与表面积公式:

(1)柱体的体积公式:V柱?Sh;锥体的体积公式: V锥?台体的体积公式: V棱台?1Sh; 341h(S?SS??S?);球的体积公式: V球??r3.

332 (2)球的表面积公式: S球?4?R.

【高频考点突破

【知识络构建】

【重点知识整合】 1．空间几何体的三视图

(1)正视图：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图； (2)侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图； (3)俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图． 几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图． 2．斜二测画水平放置的平面图形的基本步骤

(1)建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的Ox，Oy，建立直角坐标系；

(2)画出斜坐标系，在画直观图的纸上(平面上)画出对应的Ox′，Oy′，使∠x′Oy′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平平面；

(3)画对应图形，在已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中画成平行于x′轴，且长度保持不变；在已知图形中平行于y轴的线段，在直观图中画成平行于y′轴，且长度变为原来的一半；

(4)擦去辅助线，图画好后，要擦去x轴、y轴及为画图添加的辅助线(虚线)． 3.体积与表面积公式:

(1)柱体的体积公式:V柱?Sh;锥体的体积公式: V锥?台体的体积公式: V棱台?1Sh; 341h(S?SS??S?);球的体积公式: V球??r3.

332 (2)球的表面积公式: S球?4?R.

【高频考点突破

一对一授课教案

学员姓名： 年级： 所授科目：

上课时间： 年 月 日 时 分至 时 分共 小时

老师签名 教学主题 上次作业检查 本次上课表现 本次作业 空间向量与立体几何 学生签名

一．知识要点。

1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。 （2）向量具有平移不变性 2. 空间向量的运算。

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。

????运算律：⑴加法交换律：a?b?b?a

??????⑵加法结合律：(a?b)?c?a?(b?c)

????⑶数乘分配律：?(a?b)??a??b

? ????????????????????????????????OB?OA?AB?a?b;BA?OA?OB?a?b;OP??a(??R)

???b，记作a//b。

运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3

3

高中数学 必修2知识点

第一章 空间几何体

1.1柱、锥、台、球的结构特征(略)

棱柱：

棱锥：

棱台：

圆柱：

圆锥：

圆台：

球：

1.2空间几何体的三视图和直观图

1 三视图：

正视图：从前往后 侧视图：从左往右 俯视图：从上往下

2 画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等

3直观图：斜二测画法

4斜二测画法的步骤：

（1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；

（2）.平行于y 轴的线长度变半，平行于x ，z 轴的线长度不变；

（3）.画法要写好。

5 用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图

1.3 空间几何体的表面积与体积

（一 ）空间几何体的表面积

1棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和

2 圆柱的表面积

3 圆锥的表面积2S

rl r ππ=+ 4 圆台的表面积22S rl r Rl R ππππ=+++ 5 球的表面积24S R π=

6扇形的面积公式213602n R S lr π==扇形

（其中l 表示弧长，r 表示半径） （二）空间几何体的体积

1柱体的体积 V S h =?底 2锥体的体积 13

V S h =?底 3台体的体积

1)3V S S

正华高考数学精品题库

理科数学高考必考知识点训练题（立体几何）

一、选择题

1 ．（2013年高考新课标1（理））如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放

在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为

（ ） A ．35003cm π B ．38663cm π C ．313723cm π D ．320483

cm π 【答案】A

2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））设,m n 是两条不同的直线,,αβ

是两个不同的平面,下列命题中正确的是

（ ）[来

源:学优高考网]

A ．若αβ⊥,m α?,n β?,则m n ⊥

B ．若//αβ,m α?,n β?,则//m n

C ．若m n ⊥,m α?,n β?,则αβ⊥

D ．若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥

【答案】D 3 ．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）若两个球的表面积之比为1:4,则这两个球的体积之比为

（ ） A ．1:2

B ．1:4

C ．1:8

D ．1:16

【答案】C 4 ．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））

高考总复习主干知识三：立体几何

主干知识三：立体几何知识点归纳

一．直线和平面的三种位置关系： 1. 线面平行

l方法一：用线线平行实现。

l//m??m????l//? l????方法二：用面面平行实现。

α符号表示：

αlAβl2. 线面相交

?//????l//? l???方法三：用平面法向量实现。

符号表示：

若n为平面?的一个法向量，n?l且

lαnl3. 线在面内

ααl??,则l//?。

符号表示：

3. 面面平行：

方法一：用线线平行实现。

二．平行关系： 1. 线线平行：

方法一：用线面平行实现。

l?l//l'??l????l//m ????m??

l//???m//m'????//?l,m??且相交?αl',m'??且相交??

方法二：用线面平行实现。

βl'm'ml?ml//?方法二：用面面平行实现。

lβγαm?//???????l??l//m ????m??? ?m//???//??l,m??且相交??

方法三：用向量方法：

两个平面的法向量共线

三．垂直关系： 1. 线面垂直：

方法一：用线线垂直实现。

βml α方法三：用线面垂直实现。

具体解析必修二

第一章 空间几何体

一、常见几何体的定义

能说出棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球的定义和性质。

二、常见几何体的面积、体积公式

1.圆柱：侧面积S侧 cl 2 rl （其中c是底面周长，r是底面半径，l是圆柱的母线，也是高）

表面积S表 S侧 S底 2 rl 2 r2 2 r(r l)

V柱体 sh r2h

12.圆锥：侧面积S侧 cl rl （其中c是底面周长，r是底面半径，l是圆锥的母线） 2

表面积S表 S侧 S底 rl r2 r(r l) 11 V椎体 sh r2h 33

(2 r 2 R)l3.圆台：侧面积S侧 (r R)l （其中r、R是上下底面半径，l是圆台的母线）2

表面积S表 S侧 S底 (r R)l r2 R2 (rl Rl r2 R2) 1 V台体 (S' S'S S)h （其中S'、S是上下底面面积，h是圆台的高） 3

44.球：表面积S表 4 R2，体积V球 R3 3

三、直观图：会用斜二侧画法画出平面图形的直观图。

画法步骤：①在原图中画一个直角坐标系，在新图中画一个夹角为45°的坐标系； ②与x轴平行的线段仍然与x轴平行，长度不变；

与y

空间向量与立体几何

【知识要点】

1．空间向量及其运算： (1)空间向量的线性运算：

①空间向量的加法、减法和数乘向量运算：平面向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则拓广到空间依然成立．

②空间向量的线性运算的运算律： 加法交换律：a＋b＝b＋a；

加法结合律：(a＋b＋c)＝a＋(b＋c)；

分配律：(??＋??)a＝??a＋??a；??(a＋b)＝??a＋??b． (2)空间向量的基本定理：

①共线(平行)向量定理：对空间两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数??，使得a∥??b．

②共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，则向量c与向量a，b共面的充要条件是存在惟一一对实数??，??，使得c＝??a＋??b．

③空间向量分解定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在惟一的有序实数组??1，??2，??3，使得p＝??1a＋??2b＋??3c．

(3)空间向量的数量积运算：

①空间向量的数量积的定义：a·b＝|a｜|b｜cos〈a，b〉； ②空间向量的数量积的性质：

a·e＝|a｜cos＜a，e＞；a⊥b?a·b＝0； |a|2＝a·a；|a·b|≤|a｜|b｜． ③空间向量的数量积的运算律： (??a