1.1探索勾股定理ppt

1.1探索勾股定理

教材

义务教育课程标准实验教科书（北师大版）八年级数学上册第一章第1节P2~ P6。

勾股定理揭示了直角三角形三边之间的一种美妙关系，将形与数密切联系起来，在数学的发展和现实世界中有着广泛的作用。本节是直角三角形相关知识的延续，同时也是学生认识无理数的基础，充分体现了数学知识承前启后的紧密相关性、连续性。此外，历史上勾股定理的发现反映了人类杰出的智慧，其中蕴涵着丰富的科学与人文价值。教学目标

1、知识与技能目标：掌握直角三角形三边之间的数量关系，学会用符号表示。学生在经历用数格子与割补等办法探索勾股定理的过程中，体会数形结合的思想，体验从特殊到一般的逻辑推理过程。

2、能力目标：通过分层训练，使学生学会熟练运用勾股定理进行简单的计算，在解决实际问题中掌握勾股定理的应用技能。

3、情感目标：通过数学史上对勾股定理的介绍，激发学生学数学，爱数学，做数学的情感。使学生从经历定理探索的过程中，感受数学之美，探究之趣。 教学重点、难点

重点：用面积法探索勾股定理，理解并掌握勾股定理。

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难点：计算以斜边为边长的大正方形C面积及割补思想的理解与应用。 教学方法

八年级上 数学 第一章 勾股定理 编号002

课题 1.1（2）探索勾股定理 课型 周次 主备人 张娟 审核人 王贤成 课时 1 上课时间 授课老师 新授课 第1周 学习小组 组内编号 姓名 组内评价 教师评价 【课标要求】运用勾股定理解决简单实际问题

【学习目标】1.掌握勾股定理及其验证，并能应用勾股定理解决一些实际问题.

2.在上节课对具体的直角三角形探索发现了勾股定理的基础上，经历勾股定理的验证过程，体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想.

3.在勾股定理的验证活动中，培养探究能力和合作精神；通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，增强爱国情感，并通过应用勾股定理解决实际问题，培养应用数学的意识. 【重点】用面积法验证勾股定理，应用勾股定理解决简单的实际问题 【难点】勾股定理的验证

【学习方法】主动探究，小组合作 【教学过程】 （一）课前预习

仔细阅读课本的P5 图1—5图1—6并回答：

1、 将所有三角形和正方形的面积用a.b.c的关系式表示出来；

八年级上 数学 第一章 勾股定理 编号002

课题 1.1（2）探索勾股定理 课型 周次 主备人 张娟 审核人 王贤成 课时 1 上课时间 授课老师 新授课 第1周 学习小组 组内编号 姓名 组内评价 教师评价 【课标要求】运用勾股定理解决简单实际问题

【学习目标】1.掌握勾股定理及其验证，并能应用勾股定理解决一些实际问题.

2.在上节课对具体的直角三角形探索发现了勾股定理的基础上，经历勾股定理的验证过程，体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想.

3.在勾股定理的验证活动中，培养探究能力和合作精神；通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，增强爱国情感，并通过应用勾股定理解决实际问题，培养应用数学的意识. 【重点】用面积法验证勾股定理，应用勾股定理解决简单的实际问题 【难点】勾股定理的验证

【学习方法】主动探究，小组合作 【教学过程】 （一）课前预习

仔细阅读课本的P5 图1—5图1—6并回答：

1、 将所有三角形和正方形的面积用a.b.c的关系式表示出来；

探索勾股定理

填空题

31．（2009?滕州市一模）若直角三角形ABC有两边长分别为5cm，12cm，则第三边长为 cm．

32．（2007?徐汇区二模）如图，有两个全等的直角三角形，它们的边长分别为3和4，把这两个直角三角形拼成一个三角形或一个四边形，在这些图形中，周长最小值是 ．

33．（2009秋?鼓楼区期中）图中字母A所在的正方形的面积是 ．

(33) (34)

34．如图，分别以直角三角形三边向外作三个半圆，若S1=30，S2=40，则S3= ．

35．（2007秋?泗水县期中）课堂上，老师给同学们出了一道题：“有一直角三角形的两边长分别为6cm和8cm，你们知道第三边的长度吗”刘飞立刻回答；“第三边是10cm．”你认为第三边应该是 cm．

36．两边长分别为3和5的直角三角形的第三边长为 ．

37．若一个直角三角形两边长为12和5，第三边为x，则x= ．

2

38．（2007秋?招远市期末）在△ABC中，AB=13cm，AC=15cm，高AD=12cm，则BC= ．

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第1章《勾股定理》易错题集（02）：1.1 探索勾

篇一：1.1探索勾股定理

1.1探索勾股定理 （1）

一．学习目标：

1.体验勾股定理的探索过程，由特例猜想勾股定理，再由特例验证勾股定理．

2.会利用勾股定理解释生活中的简单现象．

3.学生充分观察、归纳、猜想、探索勾股定理的过程中，发展推理能力，体

会数形结合思想；发展归纳、概括和有条理地表达活动过程及结论的能力．

二．学习重难点：探索和验证勾股定理；在方格纸上通过计算面积的方法探索勾

股定理．

三．自主学习：

（1）分别作出两直角边为3cm ，4cm和6cm ，8cm和5cm ，12cm的直角三角

形，测量它们的第三条边，看看三边长的平方之间有什么样的关系？与同伴交流。

（2）如图1，直角三角形三边的平方分别是多少，他们满足上面猜想的数量

关系吗？你是如何计算的？与同伴交流。

图1图2

（3）对于图2中的直角三角形，是否还满足这样的关系？你又是

如何计算的？

（4）如果直角三角形的两直角边分别为1.6个单位长度和2.4个单位长度，上

面所猜想的数量关系还成立吗？说明你的理由。

（5）你能得到什么结论？请用数学符号将它表示出来。

四．能力生成：

1.在Rt△ABC中，∠C=90°,AB=c,BC=a,AC=b.

(1)已知a=8,b=15,求c；

3（2）已知b=,c=1,求a； 5

2.7探索勾股定理(一)

勾

股

你听说过：“勾广三，股 修四，弦隅五”的说法吗？

在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分 称为“勾”,下半部分称为“股”。我国古代学者把直 角三角形较短的直角边称为“勾”,较长的直角边称为 “股”,斜边称为“弦”.据《周髀算经》记载，西周 开国时期(约公元前1000多年)有个叫商高的人对周公 说，把一根直尺折成直角，两端连接得一直角三角形。 如果钩是3,股是4,那么弦是5,这就是商高发现的 “勾股定理”。因此在中国，勾股定理又称“商高定 理”,在西方国家，勾股定理又称“毕达哥定理”。但 毕达哥发现这一定理的时间要比商高迟得多，可见我国 古代人民对人类贡献的杰出。

(1)观察图1-1 CA 正方形B的面积是 B图1-1

正方形A的面积是 4 个单位面积。

9 个单位面积。正方形C的面积是

13 个单位面积。(图中每个小方格代表一个单位面积)

你是怎样得到正方形c 的面积。

A

C

(2)在图1-2中，正方形 A,B,C中.它们的面积各 是多少？(3)你能发现图1-1中三 个正方形A,B,C的面积 之间有什么关系吗？图12中呢？

B图1-2

CA

B图1-1

SA+SB=SC

即：两条直角边上的正方形面积之和等于 斜边上的正方形的面积

A

a

勾股定理的证明： 勾股定理的证明：

c

ab

1 (a + b) = c + 4 × ab 22 2

S梯形

1 1 2 1 = (a + b)(a + b) c + 2 × ab = 2 2 2

伽菲尔德——美 伽菲尔德——美国 —— 第 20 任总统

应用3 应用3 x x 6 10 8-x 4 x 8-x 5 8-x 5

将直角边BC沿直线 将直角边BC沿直线BD 沿直线BD ED折叠 使它A,B重 折叠, 沿ED折叠,使它A,B重 折叠,使它落在斜边AB上 折叠,使它落在斜边AB上，合,求CD的长。 CD的长 的长。 且与BE重合 CD的长 重合, 的长。 且与BE重合,求CD的长。 应用4 应用4:将直角三角形的直角边都扩大到原来 则斜边扩大到原来的几倍？ 的5倍，则斜边扩大到原来的几倍？

勾股定理： 勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 两直角边的平方和等于斜边的平方。 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

勾股定理( 2.6 勾股定理(2)勾股定理逆定理： 勾股定理逆定理： 两边的平方和等于第三边的平方, 如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方 如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方, 那么这个三角形是

北师大版八年级上册数学 第一章 探究勾股定理专项练习

探索勾股定理(01) 1．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，若CD⊥AB，DE

⊥BC

垂足分

别是D

、E．则图中全等的三角形共有（ ）

2．如图，在边长为4的等边三角形ABC中，AD是BC

边上的高，点E，F是AD上的两点，则图中阴影部分的面积是（ ）

4．如图，点A是5×5网格图形中的一个格点（小正方形的顶点），图中每个小

正方形的边长为1，以A为其中的一个顶点，面积等于5/2的格点等腰直角三角形（三角形的三个顶点都是格点）的个数是（ ）

5．如图，在把易拉罐中

的水

倒入

一

个圆

水杯的过程中，若水杯中的水在点P与易拉罐刚好接触，则此时水杯中的水深为（ ）

6．如图，将圆桶中的水倒入一个直径为40cm

，高为55cm的圆口容器中，圆桶放置的角度与水平线的夹角为45度．若使容器中的水面与圆桶相接触，则容器中水的深度至少应为

（ ）

7．如图，△ABC中，有一点P在AC上移动．若AB=AC=5，BC=6，则AP+BP+CP的最小值为（ ）

8

．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，若以点C为圆心，CB长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则

AC

课题：“勾股定理”第一课时

内容：教材分析、教学过程设计、设计说明 一、 教材分析

（一）教材所处的地位

这节课是九年制义务教育课程标准实验教科书八年级第一章第一节探索勾股定理第一课时，勾股定理是几何中几个重要定理之一，它揭示的是直角三角形中三边的数量关系。它在数学的发展中起过重要的作用，在现时世界中也有着广泛的作用。学生通过对勾股定理的学习，可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。 （二）根据课程标准，本课的教学目标是： 1、 能说出勾股定理的内容。

2、 会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用。

3、 在探索勾股定理的过程中，让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学思想，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法。

4、 通过介绍勾股定理在中国古代的研究，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想，激励学生发奋学习。

（三）本课的教学重点：探索勾股定理

本课的教学难点：以直角三角形为边的正方形面积的计算。 二、教法与学法分析： 教法分析：针对初二年级学生的知识结构和心理特征，本节课可选择引导探索法，由浅入深，由特殊到一般地提出问题。引导学生自主探索，合作交流，这种教学理念反映了时代精神，有利于提高学生的思维能力，能有效地激发学生

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第一章 勾股定理

参考例题

［例1］如下图所示，△ABC 中，AB =15 cm ，AC =24 cm ，∠A =60°，求BC 的长.

分析：△ABC 是一般三角形，若要求出BC 的长，只能将BC 置于一个直角三角形中. 解：过点C 作CD ⊥AB 于点D

在Rt △ACD 中，∠A =60°

∠ACD =90°－60°=30°

AD =

2

1AC =12(cm) CD 2=AC 2－AD 2=242－122=432，

DB =AB －AD =15－12=3.

在Rt △BCD 中，

BC 2=DB 2+CD 2=32+432=441

BC =21 cm.

评注：本题不是直角三角形，而要解答它必须构造出直角三角形，用勾股定理来解. ［例2］如下图，A 、B 两点都与平面镜相距4米，且A 、B 两点相距6米，一束光线由A 射向平面镜反射之后恰巧经过B 点. 求B 点到入射点的距离.

分析：此题要用到勾股定理，全等三角形，轴对称及物理上的光的反射的知识.

解：作出B 点关于CD 的对称点B ′，连结AB ′，交CD 于点O ，则O 点就是光的入射点.

因为B ′D =DB .

所以B ′D =AC .

∠B ′DO =∠OCA =90°，

∠B ′=∠CAO