样本方差的期望值等于总体方差

证明样本方差的期望值＝总体的方差，即E(S2)=DX

设总体为X，抽取n个i.i.d.的样本X1,X2,...,Xn,其样本均值为 Y = (X1+X2+...+Xn)/n

其样本方差为

S =( (Y-X1)^2 + (Y-X2)^2 + ... + (Y-Xn)^2 ) / (n-1) 为了记号方便，我们只看S的分子部分，设为A

则 E A =E( n * Y^2 - 2 * Y * (X1+X2+...+Xn) + (X1^2 + X2^2 +...+ Xn^2)) =E( (X1^2 + X2^2 +...+ Xn^2) - n * Y^2 )

注意 EX1 = EX2 = ... = EXn = EY = EX;

VarX1 = VarX2 = ... = VarXn = VarX = E(X^2) - (EX)^2 VarY = VarX / n (这条不是明显的，但是可以展开后很容易地证出来，而且也算是一个常识性的结论）

所以E A = n(VarX + (EX)^2) - n * (VarY + (EY)^2)

= n(VarX + (EX

证明样本方差的期望值＝总体的方差，即E(S2)=DX

设总体为X，抽取n个i.i.d.的样本X1,X2,...,Xn,其样本均值为 Y = (X1+X2+...+Xn)/n

其样本方差为

S =( (Y-X1)^2 + (Y-X2)^2 + ... + (Y-Xn)^2 ) / (n-1) 为了记号方便，我们只看S的分子部分，设为A

则 E A =E( n * Y^2 - 2 * Y * (X1+X2+...+Xn) + (X1^2 + X2^2 +...+ Xn^2)) =E( (X1^2 + X2^2 +...+ Xn^2) - n * Y^2 )

注意 EX1 = EX2 = ... = EXn = EY = EX;

VarX1 = VarX2 = ... = VarXn = VarX = E(X^2) - (EX)^2 VarY = VarX / n (这条不是明显的，但是可以展开后很容易地证出来，而且也算是一个常识性的结论）

所以E A = n(VarX + (EX)^2) - n * (VarY + (EY)^2)

= n(VarX + (EX

高考数学精品复习资料

2019.5

12.2 总体期望值和方差的估计

●知识梳理

1.平均数的计算方法

（1）如果有n个数据x1，x2，…，xn，那么x=均数，x读作“x拔”.

（2）当一组数据x1，x2，…，xn的各个数值较大时，可将各数据同时减去一个适当的常数a，得到x1′=x1－a，x2′=x2－a，…，xn′=xn－a，那么，x=x? +a.

（3）加权平均数：如果在n个数据中，x1出现f1次，x2出现f2次，…，xk出现fk次（f1+f2+…+fk=n），那么

1（x1+x2+…+xn）叫做这n个数据的平nx1f1?x2f2???xkfk.

n2.方差的计算方法 x=

（1）对于一组数据x1，x2，…，xn，s2=叫做这组数据的方差，而s叫做标准差.

1［（x1－x）2+（x2－x）2+…+（xn－x）2］n1［（x12+x22+…+xn2）－nx2］. n（3）当一组数据x1，x2，…，xn中的各数较大时，可以将各数据减去一个适当的常数a，得到x1′=x1－a，x2′=x2－a，…，xn′=xn－a.

（2）公式s2=

1［（x1′2+x2′2+…+xn′2）－nx?2］

同步练习 g3.1098 离散型随机变量的期望值和方差

1.设服从二项分布B（n，p）的随机变量ξ的期望和方差分别是2.4与1.44，则二项分布的参数n、p的值为

A.n=4，p=0.6 B.n=6，p=0.4

C.n=8，p=0.3 D.n=24，p=0.1

2.一射手对靶射击，直到第一次命中为止每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目ξ的期望为

A.2.44 B.3.376 3.设投掷1颗骰子的点数为ξ，则

A.Eξ=3.5，Dξ=3.5

2

C.2.376

35123516D.2.4

B.Eξ=3.5，Dξ=D.Eξ=3.5，Dξ=

C.Eξ=3.5，Dξ=3.5

4.设导弹发射的事故率为0.01，若发射10次，其出事故的次数为ξ，则下列结论正确的是

A.Eξ=0.1

k

10－k

B.Dξ=0.1

kD.P（ξ=k）=C10·0.99·0.01

C.P（ξ=k）=0.01·0.99

k10－k

5.已知ξ～B（n，p），且Eξ=7，Dξ=6，则p等于 A.

17 B.

16 C.

15 D.

14

6.一牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的

2012高考数学总复习

2012数学总复习之离散型随机变量的期望值和方差知识总结（题目）

一、基本知识概要：

1、 期望的定义：

一般地，若离散型随机变量ξ的分布列为

则称Eξ=x1P1+x2P2+x3P3+ +xnPn+ 为ξ的数学期望或平均数、均值，简称期望。 它反映了:离散型随机变量取值的平均水平。

若η=aξ+b(a、b为常数)，则η也是随机变量，且Eη=aEξ+b。 E(c)= c 特别地，若ξ～B(n，P)，则Eξ=nP

2、 方差、标准差定义：

Dξ=(x1-Eξ)2·P1+(x2-Eξ)2·P2+ +(xn-Eξ)2·Pn+ 称为随机变量ξ的方差。 Dξ的算术平方根D =δξ叫做随机变量的标准差。

随机变量的方差与标准差都反映了:随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度。 且有D(aξ+b)=a2Dξ,可以证明Dξ=Eξ2- (Eξ)2。 若ξ～B(n，p)，则Dξ=npq，其中q=1-p.

3、特别注意：在计算离散型随机变量的期望和方差时，首先要搞清其分布特征及分布列，然后要准确应用公式，特别是充分利用性质解题，能避免繁琐的运算过程，提高运算速度和准确度。 二、例题： 例1、（1）下面说法中正确的是

2012高考数学总复习

2012数学总复习之离散型随机变量的期望值和方差知识总结（题目）

一、基本知识概要：

1、 期望的定义：

一般地，若离散型随机变量ξ的分布列为

则称Eξ=x1P1+x2P2+x3P3+ +xnPn+ 为ξ的数学期望或平均数、均值，简称期望。 它反映了:离散型随机变量取值的平均水平。

若η=aξ+b(a、b为常数)，则η也是随机变量，且Eη=aEξ+b。 E(c)= c 特别地，若ξ～B(n，P)，则Eξ=nP

2、 方差、标准差定义：

Dξ=(x1-Eξ)2·P1+(x2-Eξ)2·P2+ +(xn-Eξ)2·Pn+ 称为随机变量ξ的方差。 Dξ的算术平方根D =δξ叫做随机变量的标准差。

随机变量的方差与标准差都反映了:随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度。 且有D(aξ+b)=a2Dξ,可以证明Dξ=Eξ2- (Eξ)2。 若ξ～B(n，p)，则Dξ=npq，其中q=1-p.

3、特别注意：在计算离散型随机变量的期望和方差时，首先要搞清其分布特征及分布列，然后要准确应用公式，特别是充分利用性质解题，能避免繁琐的运算过程，提高运算速度和准确度。 二、例题： 例1、（1）下面说法中正确的是

常见分布的期望和方差

x n

(0,1)

N()

概率与数理统计重点摘要

1、正态分布的计算：()()()X F x P X x μ

σ-=≤=Φ。

2、随机变量函数的概率密度：X 是服从某种分布的随机变量，求()Y f X =的概率密度：()()[()]'()Y X f y f x h y h y =。（参见P66～72）

3、分布函数(,)(,)x y

F x y f u v dudv -∞-∞=??具有以下基本性质：

⑴、是变量x ，y 的非降函数；

⑵、0(,)1F x y ≤≤，对于任意固定的x ，y 有：(,)(,)0F y F x -∞=-∞=； ⑶、(,)F x y 关于x 右连续，关于y 右连续；

⑷、对于任意的11221212(,),(,),,x y x y x x y y <<　

　，有下述不等式成立： 22122111(,)(,)(,)(,)0F x y F x y F x y F x y --+≥

4、一个重要的分布函数：1(,)(arctan )(arctan )23

x y F x y πππ2=++22的概率密度为：22226(,)(,)(4)(9)f x y F x y x y x y π?==??++ 5、二维随机变量的边缘分布：

边缘概率密度

总体估计方差的计算法国地质采矿研究局.

克劳德等

摘要

、

本文介绍了由法国地质末扩研究局,

开创的一种自动计算,

总体估计方差的方法了比较。

以

及这种方法的应用举例

并与传统计算方法进行

引“”,

言

若数据分布得比较规整均匀比较简单;

,

则计算,

但若数据不是均匀分布的。。

则,

地质统计学有助于计算储量的精确这是地质统计学者们对估计矿床储量。

用人工计算是十分繁琐的

只能用近似方法。

度

来简化影响范围以使计算简单化遗憾的是在实际中数据通常分布是不均匀的例如,

的传统说法

如果数据量大必须分两步进行·

,

则矿床储量的总体估计

矿床在地表打钻孔取样钻孔取样了。

,

同时又在坑道打

:

,

这样

,

数据分布就不可能均勺不少作者都介绍了基于用〔“、

先用克里格法估计盘块 (二维 )或块段(三维 )的品位,

即局部估计;

有一段时间储量级别的方法。

,

·

然后把局部估计综合起来成为矿床的总体估计。

地质统计学法计算精确度十分重要的问题法,。

”

、

1。〕

来划分

由此可见精度计算是一个

在第一步中得。

,

局部估计的方差亦即克里

格方差很容易在解克里格方程组的同时求但第二步就不可能很容易地从局部估计。

本文介绍一种自动计算总体方差的方它比手工方法要精确得多,

而且便宜

,

的方差来计算总体估计的方差由于这样的事实,

概率论课件

第四章 随机变量的数字特征随机变量的概率分布：能完整地描述随机变量的统计规律性。 但在许多情况下，只须知道从不同角度反映随机变量取值特征 的若干个数字就够了，这些数字就称为随机变量的数字特征. 如：评价某地区粮食产量水平——平均产量 评价某批棉花质量——纤维的平均长度、 各纤维长度与平均长度之间的偏离程度

本章将讨论随机变量的 数学期望、方差 协方差及相关系数 方差、协方差 数学期望 方差 协方差 相关系数

概率论课件

4.1 数学期望一、离散型随机变量的数学期望

(mathematical expectation)

某商场计划与五一节在户外搞一次促销 活动，统计资料表明，如果商场内搞促销可获得经 济效益3万元；在商场外搞促销，如果不下雨可获经 济效益12万元，如果下雨则带来经济损失5万元；若 天气预报称当天有雨的概率为40%,则商场如何选择 促销方式？

引例

定义1 设离散型随机变量 X 的分布律为 x1 x2 L xk L X

P则称

E ( X ) = ∑ xk pk (要求此级数绝对收敛)k =1

∞

p1

p2 L pk L

为 X 的数学期望(或均值).

如果级数是条件收敛的，则 它的和与级数中各项的求和 顺序有关.为了避免这种混 乱的局面出现，因

2011理数导学案

第十三章 第一节 排列与组合

执笔：李建军 审核：理数学备考小组

【目标与要求】（1）了解排列与组合的定义；

（2）理解排列与组合数的性质，计算简单的排列与组合数； （3）解决与排列与组合有关的应用题。 【回顾与思考】

1．两点分布：对于一个随机试验，如果它的结果只有两种情况，则可以用随机变量??0，1来描述这个随机试验的结果。如果发生的概率为p，则不发生的概率为1?p，这时，称?服从两点分布，其中p称为__________。其分布列为： 期望E??_______；方差D??________。

kn?kCMCN?M2．超几何分布：P(X?k)?，k?0,1,nCN,m，其中m?___________。

3．二项分布：在n次独立重复试验中，事件A发生的次数X服从二项分布，记为_________。

kkn?kP(X?k)?Cnpq(q?1?p,k?0,1,2，…n)，表示______________________，二项

分布的分布列为：

X 0 1 … … k … … n P 期望为EX?______________；方差为DX?_________________。 4．正态分布：

（1）正态曲线：如果总体密度