2013清华大学保送生数学试题

。。

交通大学2000年保送生数学试题

一、选择题(本题共15分，每小题3分．在每小题给出的4个选项中，只有一项正确，把所选项

的字母填在括号内)

1．若今天是星期二，则31998天之后是 ( ) A．星期四 B．星期三 C．星期二 D．星期一

2．用13个字母A，A，A，C，E，H，I，I，M，M，N，T，T作拼字游戏，若字母的各种排列是随机的，恰好组成“MATHEMATICIAN”一词的概率是 ( )

A．

48

13!

1 8

B．

216

13!

C．

1728

13!

D．

8

3．方程cos2x sin2x+sinx＝m+1有实数解，则实数m的取值范围是 A．m

B．m > 3

C．m > 1

D． 34．若一项数为偶数2m的等比数列的中间两项正好是方程x2+px+q＝0的积是 ( ) A．pm B．p2m C．qm q2m 5．设f ’(x0)＝2，则lim

h 0

f(x

0 h) f(x0 h)

h

C． 4

D．4

( )

A． 2 B．2

二、填空题（本题共24分，每小题3分） 1．设f(x)1，则2

1

f(2x)dx ．

1 )的最小值是__________． cos2x

3．

__________． 4a)b

5．

6．都有100项，它

。。

交通大学2000年保送生数学试题

一、选择题(本题共15分，每小题3分．在每小题给出的4个选项中，只有一项正确，把所选项

的字母填在括号内)

1．若今天是星期二，则31998天之后是 ( ) A．星期四 B．星期三 C．星期二 D．星期一

2．用13个字母A，A，A，C，E，H，I，I，M，M，N，T，T作拼字游戏，若字母的各种排列是随机的，恰好组成“MATHEMATICIAN”一词的概率是 ( )

A．

48

13!

1 8

B．

216

13!

C．

1728

13!

D．

8

3．方程cos2x sin2x+sinx＝m+1有实数解，则实数m的取值范围是 A．m

B．m > 3

C．m > 1

D． 34．若一项数为偶数2m的等比数列的中间两项正好是方程x2+px+q＝0的积是 ( ) A．pm B．p2m C．qm q2m 5．设f ’(x0)＝2，则lim

h 0

f(x

0 h) f(x0 h)

h

C． 4

D．4

( )

A． 2 B．2

二、填空题（本题共24分，每小题3分） 1．设f(x)1，则2

1

f(2x)dx ．

1 )的最小值是__________． cos2x

3．

__________． 4a)b

5．

6．都有100项，它

２０１１年北京大学保送生考试数学试题赏析

王　毅

（）湖南省长沙市长郡中学，４１０００２

过双曲线上一点Ｐ的切线平　　第一题　求证：分∠Ｆ其中ＦＰＦ２，Ｆ２为焦点．１１，

２２

证明　不妨设双曲线的方程为２－２＝１，ａｂ

２２２ｃ＝ａ＋ｂ．

（）若点Ｐ在ｘ轴上，则切线方程为ｘ＝±ａ，１

结论显然成立；

（）若点Ｐ不在ｘ轴上，，设Ｐ（由对称２ｘｙ０，０）

，，性，不妨设ｘ则ＰＦ１＝ｅｘ０＋ａ，ｙ０＞００＞０

０过点Ｐ的切线的方程为Ｆ２＝ｅｘ０－ａ，　Ｐ２－ａ０

．２＝１ｂ

，）设切线与ｘ轴的交点为Ｑ，则得Ｑ０，

ｘ０

２

ｃ＋２

Ｆ１Ｑｘｃｘ０ａｅｘ０ａ０∴＝２＝２＝Ｆ２Ｑｅｘ０－ａｃｘ０－ａ

ｃ－

ｘ０

１，＝ＰＦ２

又由三角形内角平分线定理逆定理知，ＰＱ平

２

同理可证：ＬＤ∽△ＣＡＢ，∴．＝△Ｃ

ＣＤＢＣ

又ＡＤ为∠ＢＡＣ的角平分线，∴ＢＤ＝ＣＤ．∴Ｃ２＝ＡＣ·ＡＢ，＝ＢＡＣＢＣ故△ＡＢＣ的三边成等比．点评　此题△Ａ称为△ＡＢＣ中的点Ｌ，ＢＣ的“，∠Ｌ，勃罗卡点”称为ＢＣ＝∠ＬＣＡ＝∠ＬＡＢ＝θ“，勃罗卡角”三角形的勃罗卡角有一个非常美妙的

留给同学们自己性质：ｃｏｔｏｔＡ＋ｃｏｔＢ＋ｃｏｔＣ（θ＝ｃ　　　

，事实上，利用这条性质，该题亦可得到证明．证明）

证明　设△Ａ面

2006年清华大学自主招生数学试题

1．求最小正整数n，使得I (

2

1123

n

i)为纯虚数，并求出I．

2．已知a、b为非负数，M a4 b4,a b 1，求M的最值．

sin 、cos 为等差数列，sin 、sin 、cos 为等比数列，求3．已知sin 、

cos2

12cos2

的值．

4．求由正整数组成的集合S，使S中的元素之和等于元素之积．

5．随机取多少个整数，才能有0.9以上的概率使得这些数中至少有一个偶数． 6．y x上一点P(非原点)，在P 处引切线交x、y轴于Q、R，求

2

PQPR

．

7．已知f(x)满足：对实数a、b有f(a b) af(b) bf(a)，且f(x) 1，求证f(x)恒为零．

(可用以下结论：若limg(x) 0,f(x) M，M为一常数，那么

x

lim(f(x) g(x)) 0)

x

8．在所有定周长的空间四边形ABCD中，求对角线AC和BD的最大值，并证明．

2006年清华大学自主招生数学试题解答

1解答：

，

362

而纯虚数的幅角为k ，因此

2I的幅角 为arctg

n=3, I (

2

1)

3

9

2解答：

a b (a b) 2ab ((a b) 2ab) 2ab令t ab

4

4

2

2

2

2

2

2

2

2

2

(1)

2013年清华大学夏令营数学试题解答

山东省济宁一中 贾广素 2013年12月24日整理

1.设a,b,c?R，使得方程x?ax?bx?c?0有3个实根. 证明：如果?2?a?b?c?0，则至少存在一个根在区间[0,2]中.

证明：假设该方程的三个实根x1、x2、x3不在区间[0,3]中，

32?x1?x2?x3??a,?由韦达定理，得?x1x2?x2x3?x3x1?b,

?xxx??c.?123从而a?b?c?x1x2?x2x3?x3x1?x1x2x3?(x1?x2?x3) ?(1?x1)(1?x2)(1?x3)?1?[?2,0]，

从而?1?(1?x1)(1?x2)(1?x3)?1，即|(1?x1)(1?x2)(1?x3)|?1. 由假设，知xi?0或xi?2，得|1?xi|?1（i?1,2,3）， 所以|(1?x1)(1?x2)(1?x3)|?1.矛盾！

所以假设不成立，故至少存在一个根在区间[0,2]中.

422.已知x?19?99是函数f(x)?x?bx?c的一个零点，b,c为整数，则b?c的值是

多少？

42解法一：将x?

2013年清华大学夏令营数学试题解答

山东省济宁一中 贾广素 2013年12月24日整理

1.设a,b,c?R，使得方程x?ax?bx?c?0有3个实根. 证明：如果?2?a?b?c?0，则至少存在一个根在区间[0,2]中.

证明：假设该方程的三个实根x1、x2、x3不在区间[0,3]中，

32?x1?x2?x3??a,?由韦达定理，得?x1x2?x2x3?x3x1?b,

?xxx??c.?123从而a?b?c?x1x2?x2x3?x3x1?x1x2x3?(x1?x2?x3) ?(1?x1)(1?x2)(1?x3)?1?[?2,0]，

从而?1?(1?x1)(1?x2)(1?x3)?1，即|(1?x1)(1?x2)(1?x3)|?1. 由假设，知xi?0或xi?2，得|1?xi|?1（i?1,2,3）， 所以|(1?x1)(1?x2)(1?x3)|?1.矛盾！

所以假设不成立，故至少存在一个根在区间[0,2]中.

422.已知x?19?99是函数f(x)?x?bx?c的一个零点，b,c为整数，则b?c的值是

多少？

42解法一：将x?

2019高校保送生保送程序指南

保送生保送程序

一、高校合理编制招收保送生计划，并纳入国家核定的本校当年招生总计划内。

二、招收保送生的高校应根据教育部、国家体育总局等部(局)的相关规定，结合本校实际，制订保送生招生简章，并通过本校网站向社会公布。

三、中学生学科奥林匹克竞赛国家集训队成员和省级优秀学生，由本人向所在中学申请并经中学审核公示。

各外国语中学应根据相关推荐办法及教育部确定的推荐限额，公开选拔本校符合推荐保送要求的学生。

以上三类考生名单，将在教育部阳光高考信息平台实行公示。 符合保送条件的退役运动员，可向国家体育总局申请，并由国家体育总局实行资格审核后向相关高校推荐。

符合保送条件的公安英烈子女，可向烈士生前所在单位或英烈现工作单位提出书面申请，逐级报至省(区、市)公安厅(局)政治部审核。 符合保送条件的考生要参加其户口所在地省级招办统一组织的高考报名。

四、高校要对本校拟录取的保送生实行文化测试及相关考核。 招收外国语中学推荐保送生的高校要组织本校外国语言文学类专业保送生文化测试及相关考核。符合保送生条件的公安英烈子女要参加公安部统一组织的考试。

五、高校要

初三优秀生考试数学试卷

一、选择题（每小题5分，共20分）

1．已知x?m是方程2x2?3x?1?0的根，则代数式2(2m?1)?3m的值是 （ ）

229A．1 B．2 C．3?17 D．3?17 2．已知直线y?kx?a与抛物线y??x2?bx?c交点是A（1，m）和B（-3，n），那么不等式

x2?(k?b)x?a?c?0的解是 （ ）

A．x>1 B．x<-3 C．-3-3

3．如图△ABC中，∠BAC=Rt∠，D在CB延长线上，∠DAB=∠C，DB=4，BC=5，则AB的长是 （ ） A．3 B．4 C．1513 D．1013 13134．如图，AD是△ABC的高，AB=15，AC=8，AD=6，则△ABC的外接圆半径 （ ）

A．4 B．5 C．6

科学试卷

（考试时间120分钟，满分150分）

本卷可能用到的相对原子质量：C-12，H-1，O-16，S-32，N-14，Cl-35.5，Mg-24，Fe-56，Na-23，Al-27，K-39，Zn-65，Cu-64，Ag-108，Ba-137。

一、选择题（每小题3分，共10小题，共30分。每小题只有一个正确选项） ．．．．．．．．1、剪下一段旺盛生长的枝条，若进行以下两种不同的处理：①马上使它完全充分地燃烧；②将它在暗箱中保鲜2小时后取出，再完全充分地燃烧。试回答，这两种处理中，产生的热量及二氧化碳质量的关系正确的是 ( )

(A)燃烧时生成的二氧化碳质量相等 (B)燃烧时放出的热量相等

(C)两种处理中，产生的二氧化碳总质量相等 (D)两种处理中，放出的总热量相等 2、如图，为得知空气中氧气的大致体积分数，用一只干冷的烧杯，沿水面罩住漂浮在水面燃烧的蜡烛。烧杯壁上很快出现小水珠，烧杯底变成黑色(即产生烟炱)。不一会儿，蜡烛自动熄灭，杯内水位上升。待冷却后，发现上升部分水的体积约占烧杯容积的1/5，关于该实验的说法错误的是 ( )

(A)现象的发生跟大气压强及气体

2013年杭州中考重高提前自主招收保送生

方法

2013年杭州市区省一级重点普通高中提前自主招收保送生相关政策已出，今年保送生比例仍为40%，5月4日上午将进行综合能力考核。更多信息请点击>> 有关区教育局、有关直属学校：

为全面推进素质教育，促进初中学校均衡发展，引导学生全面发展和健康成长，根据《杭州市教育局关于2013年杭州市区各类高中招生工作的意见》的有关要求，现就做好2013年杭州市区省一级重点普通高中提前自主招收保送生工作的有关事项通知如下，请认真执行。

根据杭州市教育局有关文件规定，2013年，杭州高级中学、杭州第二中学滨江校区、杭州第四中学下沙校区、杭州师范大学附属中学、杭州第十四中学凤起校区、浙江大学附属中学、杭州学军中学、杭州市长河高级中学等学校按各学校今年招生计划数的40%确定；杭州第二中学东河校区、杭州第四中学吴山校区、杭州第十四中学康桥校区按各校区今年招生计划数的30%确定。现将上述学校2013年保送生招生名额公布如下。

招生学校 招生总计划数 提前自主招生数 保送 比例 保送生 名额 杭

州高级中学 576名 0 40% 230名 杭州第二中学 滨江