二面角平面角的找法

二面角及其平面角

二面角及其平面角

一、教学目标

1、知识与技能

（1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”的概念； （2）使学生理会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用。 2、过程与方法

（1）通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程； （2）类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法。 3、情态与价值

（1）通过揭示概念的形成、发展和应用过程，提高逻辑思维能力，渗透等价转化思想； （2）通过图形结构分析，掌握作图方法，提高空间想象能力；

（3）通过本节教学由水坝、防止山体滑坡，用石块修筑护坡斜面到二面角，体现由具体到抽象思想。 二、教学重点、难点。

重点：二面角的平面角； 难点：如何求作二面角的平面角。

三.学法与教学用具

1、学法：（1）实物观察，类比归纳，语言表达；

(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距. 2、教学用具:电脑、二面角模型（两块硬纸板）、投影机.

四.教学设想

【创设情境、揭示课题】

问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？

问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？

以上问题让学生自由发言，教师再作小结，并顺势抛出问题：

三垂线法作二面角的平面角的技巧

求二面角的大小是考试中经常出现的问题，而用三垂线法作二面角的平面角是求二面角大小的一个重要方法，许多同学在解题过程中由于没有有效地利用三垂线定理(或逆定理)作出二面角的平面角，使得解题受阻．

我们把用三垂线定理(或逆定理)作二面角的平面角的方法称为三垂线法，其作图模型为：

如图1，在二面角α—l 一β中，过平面α内一点A 作AO ⊥平面β，垂足为O ，过点O 作OB ⊥l 于B (过A 点作AB ⊥于B )，连结AB (或OB )，由三垂线定理(或逆定理)知AB ⊥l (或OB ⊥l )，则∠ABO 为二面角。α—l —β的平面角．

作图过程中，作出了两条垂线AO 与OB (或AB )，后连结AB 两点(或OB 两点)，这一过程可简记为“两垂一连”，其中AO 为“第一垂线”．“第一垂线”能否顺利找到或恰当作出是用三垂线法作二面角的平面角的关键，在具体解题过程中要注意以下几点：

1．善于利用图中已有的“第一垂线”

例1 已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠BCA =90°，AC =BC ，A 1在底面ABC 的射影恰为AC 的中点M ，又知AA 1与底面ABC 所成的角为60°．

(1)求证：BC ⊥平面AA 1C

2 2

数学通讯一——2 O 1 1年第 7、 8期 (上半月)

辅教导学

法向量截面法求解二面角史 嘉(安徽省毫州市第一中学， 2 3 6 8 0 0 )

坐标向量法是解答立体几何问题的通性通

法，它大大降低了传统解法中“一作二证三计算” 的解题技巧，节省了思维，尤其是用法向量求解二面角，不论二面角的开口方向、大小如何，不管两半平面的“形状”怎样，无论二面角有棱没棱，更是“所向披靡” . 教学实践和高考阅卷表明，使用向量法求出两半平面法向量夹角的余弦值后，将遇到的一个

问题却一直困扰着不少考生，那就是判断两法向量的夹角与该二面角的平面角到底是相等还是互补.比如， 2 0 1 0年安徽省理科数学立体几何解答题的第 ( 1 l I )问是求二面角的大小，在阅卷过程中笔者作了粗略地统计，超过八成的考生选择坐标向 量法求解，其中近四成的考生计算出了其余弦值， 最后，只因判断错了其平面角的大小而没能得满分，着实可惜 . 贵刊的文 I - 1 - 1介绍一法：在二面角的棱上任取一

\/

/法向量截面围~

图 1

面角 0— 7 c一< m, n>,下图中一< m, n> .此判断过

程和截面图可在草稿纸上完成，熟练后甚至可以 不画出，答题时以“经

2 2

数学通讯一——2 O 1 1年第 7、 8期 (上半月)

辅教导学

法向量截面法求解二面角史 嘉(安徽省毫州市第一中学， 2 3 6 8 0 0 )

坐标向量法是解答立体几何问题的通性通

法，它大大降低了传统解法中“一作二证三计算” 的解题技巧，节省了思维，尤其是用法向量求解二面角，不论二面角的开口方向、大小如何，不管两半平面的“形状”怎样，无论二面角有棱没棱，更是“所向披靡” . 教学实践和高考阅卷表明，使用向量法求出两半平面法向量夹角的余弦值后，将遇到的一个

问题却一直困扰着不少考生，那就是判断两法向量的夹角与该二面角的平面角到底是相等还是互补.比如， 2 0 1 0年安徽省理科数学立体几何解答题的第 ( 1 l I )问是求二面角的大小，在阅卷过程中笔者作了粗略地统计，超过八成的考生选择坐标向 量法求解，其中近四成的考生计算出了其余弦值， 最后，只因判断错了其平面角的大小而没能得满分，着实可惜 . 贵刊的文 I - 1 - 1介绍一法：在二面角的棱上任取一

\/

/法向量截面围~

图 1

面角 0— 7 c一< m, n>,下图中一< m, n> .此判断过

程和截面图可在草稿纸上完成，熟练后甚至可以 不画出，答题时以“经

二面角（1）

主备教师：

课题 教 学 目 标 教学重点 教学难点 教法与学法 教学用具 9.7.2二面角（1） 课型 新授课 1.掌握二面角的定义 2．掌握定义法、三垂线定理法、向量法求二面角平面角 求二面角的平面角 三垂线定理法求二面角的平面角 启发，探究 多媒体 教 学 过 程 教 师 活 动 学生活动 分， 1 是否用多 是 媒体 补 充 巩固练习 如图，PA是平面α的斜线，∠BAC在平面α内，且满足∠BAC＝90°，又∠PAB＝∠PAC＝60°，求PA和平面α所成的角。 想一想：角 P 两个面组成的图形？ 一、半平面及二面角的定义 1、半平面：平面内的一条直线，把这个平面分成两部A α 每 一部分都叫做半平面。 B C 2、二面角：从一条直线引出的两个半平面所组成 的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱， 这两个半平面叫做二面角的面。 面 半平面l?半平面 棱 面 ? l3、二面角的表

立体几何中的角度问题

一、 异面直线所成的角

1、如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是矩形，PA?底面ABCD，E是PC的中点，已知AB?2，AD?22，PA?2，求： （1）三角形PCD的面积；

（2）异面直线BC与AE所成的角的大小。

2、如图６，已知正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为２，点Ｅ是正方形BCC1B1的中心，点Ｆ、Ｇ分别是棱C1D1,AA设点E1,G1分别是点Ｅ，Ｇ在平面DCC1D1内的正投影． 1的中点．（１）求以Ｅ为顶点，以四边形FGAE在平面DCC1D1内的正投影为底面边界的棱锥的体积； （２）证明：直线FG1?平面FEE1； （３）求异面直线E1G1与EA所成角的正弦值

1

二、直线与平面所成夹角

1、如图，在四棱锥P?ABCD中，底面为直角梯形，AD//BC，

A?AD?AB?BC2?BAD?90，PA? 底面ABCD，且P，M、N分别为PC、PB的中点。 求CD与平面ADMN所成的角的正弦值。

2、长方体ABCD-A1B1C1D1 , AB=3 ,BC=2, A1A= 4 ，求AB与面 AB1C1D 所成的角的正弦值。

三、二面角与二面角的平面角问题

高考数学专题突破——空间几何

课题1：平行、垂直的证法定理

一、平行问题的证明方法 平行问题证明的基本思路：平面平行?线面平行?线线平行. 1、线线平行的证明方法： ①利用平面几何中的定理：三角形（或梯形）的中位线与底边平行； 平行四边形的对边平行； 利用比例、……； ②三线平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行； ③线面平行的性质定理：如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面和这个平面相交，则这条直线和交线平行； ④面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行； ⑤线面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。 2、线面平行的证明方法： ①线面平行的定义：直线与平面没有公共点； ②线面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行； ③面面平行的性质定理：两个平面平行，其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面。 3、面面平行的证明方法： ①面面平行的定义：两平面没有公共点； ②面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相

高考数学专题突破——空间几何

课题1：平行、垂直的证法定理

一、平行问题的证明方法 平行问题证明的基本思路：平面平行?线面平行?线线平行. 1、线线平行的证明方法： ①利用平面几何中的定理：三角形（或梯形）的中位线与底边平行； 平行四边形的对边平行； 利用比例、……； ②三线平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行； ③线面平行的性质定理：如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面和这个平面相交，则这条直线和交线平行； ④面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行； ⑤线面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。 2、线面平行的证明方法： ①线面平行的定义：直线与平面没有公共点； ②线面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行； ③面面平行的性质定理：两个平面平行，其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面。 3、面面平行的证明方法： ①面面平行的定义：两平面没有公共点； ②面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相

立体几何（几何法）—线面角

例1（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

如图，四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为菱形，PA?底面

PABCD，AC?22，PA?2，E是PC上的一点，PE?2EC。

（Ⅰ）证明：PC?平面BED；

（Ⅱ）设二面角A?PB?C为90，求PD与平面PBC所成角的大小。

【答案】解：方法一：(1)证明：因为底面ABCD为菱形，所

C?EBAD以BD⊥AC，又PA⊥底面ABCD，所以PC⊥BD.

设AC∩BD＝F，连结EF.因为AC＝22， PA＝2，PE＝2EC，故

23

PC＝23，EC＝3，FC＝2， PCAC

从而FC＝6，EC＝6.

PCAC

因为FC＝EC，∠FCE＝∠PCA，所以 △FCE∽△PCA，∠FEC＝∠PAC＝90°， 由此知PC⊥EF.

PC与平面BED内两条相交直线BD，EF都垂直，所以PC⊥平面BED. (2)在平面PAB内过点A作AG⊥PB，G为垂足． 因为二面角A－PB－C为90°，所以平面PAB⊥平面PBC. 又平面PAB∩平面PBC＝PB， 故AG⊥平面PBC，AG⊥BC.

BC与平面PAB内两条相交直线PA，AG都垂直，故BC⊥平面PAB，于是BC⊥AB，所

广东2013年高考(理科)数学立体几何（二面角）专题汇编

1.在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形，,AB

CD

60,DAB ∠=FC ⊥平面,ABCD AE BD ⊥，CB CD CF ==．

（1）求证BD ⊥平面AED ； （2）求二面角F BD C --的余弦值．

2.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA 丄平面ABCD ，AC 丄AD ，AB 丄BC ，45BAC ?∠=， ==2PA AD ，=1AC .

(Ⅰ)证明：PC 丄AD ；

(Ⅱ）求二面角A PC D --的正弦值；

(Ⅲ）设E 为棱PA 上的点，满足异面直线BE 与CD 所成的角为0

30，求AE 的长.

3.如图所示的长方体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，

O 为AC 与BD 的交点，12BB =，M 是线段11B D 的中点．

（1）求证：//BM 平面1D AC ； （2）求证：1D O ⊥平面1AB C ； （3）求二面角1B AB C --的大小．

4.如图，棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ，P A =AD =2，BD =22

. （Ⅰ）求证：BD ⊥平面P AC ；（4分） （Ⅱ）求二面角P