根的判别式推导过程

围场卉原初中初三数学导学案N0２2. 编制人：李建利 刘海龙 鲁秀峰 霍志科 孙松峰 审核： 包科组长签字： 时间：2010. 姓名： 层次: 评价区：

一元二次方程的根的判别式练习学案

教学目标：1、了解一元二次方程的根的判别式的产生过程；

2、能运用根的判别式判别方程根的情况，会进行有关的推理论证； 3、会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围；

4、激情投入,阳光展示。

一、导学部分

1、一般地，式子 2、若 则 ，方程有两个不相等的实数根 若，则方程有两个相等的实数根 若，则方程没有实数根。 二、学习新知

例1：不解方程判别下列方程根的情况

1 2x2 3x 4 0 2 16y2 9 24y 3 5 x2 1 7x 0

4 x2 k2 0

例2：求证关于x的方程 m2 1 x2 2mx m2 4 0没有实数根

三、巩固提高 （一）、选择题

1. （2009年台湾）若a、b为方程式x2

4(x 1)=1的两根，且a＞b，则a=（ ）

A．－5 B．－

辅导资料

根的判别式与根与系数的关系

知识点一:

根的判别式：关于x的方程ax2?bx?c?0(a?0)， （1）当b2?4ac?0?方程有 的实数根。 （2）当b2?4ac?0?方程有 的实数根。 （3）当b2?4ac?0?方程有 的实数根。 常见题型：

★利用判别式判断一元二次方程根的情况 1、不解方程，判断下列方程根的情况：

（1）2x2?3x?4?0 （2）3x2?2?26x （3）

2、m为什么值时，关于x的方程2x2?(4m?1)x?2m2?1?0 ， （1）方程有两个不相等的实数根? （2）方程有两个相等的实数根? （3）方程没有实数根?

3、m为什么值时，关于x的方程(m?1)x2?(1?2x)m?2 ， （1）方程有两个不相等的实数根? （2）方程有两个相等的实数根? （3）方程没有实数根?

4、求证：关于x的方程x2?(m?2)x?2m?1?0 没有实数根。

32x?1?222x

辅导资料

5、求证：关于x的方程(k2?1)x2?2kx?k2?4?0 没有实数根。

★★根据方程根的情况，确定

这个专题是一二次方程是的判别式与韦达定理知识要点和练习

韦达定理与根的判别式

知识点：

1、根的判别式b2

4ac

（1）b2

4ac 0 ，方程有两个不相等的实数根； （2）b2 4ac 0，方程有两个相等的实数根； （3）b2 4ac 0，方程没有实数根； 2、韦达定理

已知x1,x2是一元二次方程的两根，则有

xb1 x2

a

x1x2

ca

例1：已知一元二次方程x2

2x m 1 0 （1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？

（2）设x2

1,x2是方程的两个实数根，且满足x1 x1x2 1，求m的值 练习：

1

、方程x2

3 0的根的情况是（ ）

A有两个不等的有理实根 B有两个相等的有理实根 C有两个不等的无理实根 D有两个相等的无理实根 2、已知x2

1,x2是方程2x 3x 4 0的两个根，则（ ） A x331 x2 2 ，x1x2 2 B x1 x2 2 ，x1x2 2 C x1 x32

2

，x1x2 2 D x31 x2

2

，x1x2 2

3

、已知方程x2 2 0，则此方程（ ）

A 无实数根 B

两根之和为 C两根之积为2

D

有一根为2

从教20多年的数学高级教师的精编

根的判别式

【例1】当m取什么值时，关于x的方程x2 2(2m 1)x (2m 2)2 0。

（1）有两个相等实根；（2）有两个不相等的实根； （3）没有实根。

答案：（1）m

34

；（2）m

34

；（3）m

34

【例2】求证：无论m取何值，方程9x2 (m 7)x m 3 0都有两个不相等的实根。 分析：列出△的代数式，证其恒大于零。解略。

【例3】当m为什么值时，关于x的方程(m2 4)x2 2(m 1)x 1 0有实根。

分析：题设中的方程未指明是一元二次方程，还是一元一次方程，所以应分m2 4＝0和m2 4≠0两种情形讨论。

略解：当m2 4＝0即m 2时，2(m 1)≠0，方程为一元一次方程，总有实根；当m2 4≠0即m 2时，方程有根的条件是：

△＝ 2(m 1) 4(m2 4) 8m 20≥0，解得m≥

2

52

52

∴当m≥ 一、填空题：

52

且m 2时，方程有实根。综上所述：当m≥

习题（一）

时，方程有实根。

1、下列方程①x2 1 0；②x2 x 0；③x2 x 1 0；④x2 x 0中，无实根的方程是 2、已知关于x的方程x2 mx 2 0有两个相等的实数根，那么m的值是

一元二次方的应用及根的判别式、韦达定理

一、根的判别式

1.一元二次方程根的判别式的定义：

运用配方法解一元二次方程过程中得到 2224()24b b ac x a a

-+=，显然只有当240b ac -≥时，才能直接开

平方得：2b x a += 也就是说，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠只有当系数a 、b 、c 满足条件240b ac ?=-≥时才有实数根．这里24b ac -叫做一元二次方程根的判别式．

2.判别式与根的关系：

在实数范围内，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况(是否有实数根)由24b ac ?=-确定．

判别式：设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ?=-则

①0?>?方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根1,2x =． ②0?=?方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122b x x a

==-

． ③0?

若?为完全平方式，同时b -2a 的整数倍，则方程的根为整数根．

说明: (1)用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值:上述判定方法也可以反过来使用，当方

程有两

一元二次方程根的判别式

(第1课时)

【目标导航】

通过本课的学习，让学生在知识上了解掌握根的判别式．在能力上在求不解方程能判定一元二次方程根的情况；根据根的情况，探求所需的条件．

【预习引领】

解下列一元二次方程.

(1)x2－1=0 (2)x2 －2x =－1

(3)(x+1)2－24=0 (4)x2 +2x+2=0

问题：(1)为什么会出现无解？

(2) 回顾用配方法解方程ax2+bx+c=0(a ≠ 0)的过程.

【要点梳理】

１．一元二次方程ax2+bx+c=0(a ≠ 0)的根的判别式是2－4ac．

2．判别一元二次方程根的情况：

（1）当b2－4ac＞0时，___________ _____;

（2）当b2－4ac＝0时，__________________;

（3）当b2－4ac＜0时，________ _______．

例1 不解方程，判别下列方程的根的情况：

（1）2x2＋3x－4＝0；

（2）16y2＋9＝24y；

（3）5(x2+1)－7x＝0．

【课堂操练】

不解方程，判别下列方程根的情况：

（1）3x2+4x－2=0；

（2）2y2+5=6y；

（3）4p(p－1)－3＝0；

（4）(x－2)2＋2(x－2)－8＝0；

（5

2

用判别式法法求值域

一、 判别式法

分子、分母只含有一次项的函数，也可用于其它易反解出自变量的函数类型

对于存在反函数且易于求得其反函数的函数，可以利用“原函数的定义域和值域分别为其反函数的值域和定义域”这一性质，先求出其反函数，进而通过求其反函数的定义域的方法求原函数的值域。

二、例题讲解

1、求函数y 2x

x22 4x 7 2x 3的值域。

由于本题的分子、分母均为关于x的二次形式，因此可以考虑使用判别式法，将原函数变形为：xy 2xy 3y 2x 4x 7整理得：(y 2)x 2(y 2)x 3y 7 0当y 2时，上式可以看成关于x的二次方程，该方程的x范围应该满足f(x) x 2x 3 0即x R此时方程有实根即△ 0，△ 2(y 2)] 4(y 2)(3y 7) 0 y [ 222229

2,2]. 注意：判别式法解出值域后一定要将端点值（本题是y 2,y

将y 2,y

2、求函数y 9229292）代回方程检验。 ,2)。 分别代入检验得y 2不符合方程，所以y [ x 1x 2x 2的值域。

2解答：先将此函数化成隐函数的形式得：yx (2y 1)x 2y 1 0，(1)

这是一个关于x的一元二次方程，原函数有定义，等价于此方程有解，即方

判别式与韦达定理

根的判别式和韦达定理是实系数一元二次方程的重要基础知识，利用它们可进一步研究根的性质，也可以将一些表面上看不是一元二次方程的问题转化为一元二次方程来讨论.

1． 判别式的应用

2

例1 已知实数a、b、c、R、P满足条件PR＞1，Pc+2b+Ra=0.求证：一元二次方程ax+2bx+c=0必有实根.

2

证明 △=（2b）-4ac.①若一元二次方程有实根，

必须证△≥0.由已知条件有2b=-（Pc+Ra），代入①，得

2

△ =（Pc+Ra）-4ac

22

=（Pc）+2PcRa+（Ra）-4ac

2

=（Pc-Ra）+4ac（PR-1）.

∵（Pc-Ra）2≥0，又PR＞1，a≠0， （1）当ac≥0时，有△≥0；

2

（2）当ac＜0时，有△=（2b）-4ac＞0.

2

（1）、（2）证明了△≥0，故方程ax+2bx+c=0必有实数根.

例2 k是实数，O是数轴的原点，A是数轴上的点，它的坐标是正数a.P是数轴上另一点,坐

2

标是x,x＜a，且OP=k·PA·OA.

（1） k为何值时，x有两个解x1，x2（设x1＜x2）；

（2） 若k＞1，把x1，x2，0，a按从小到大的顺序排列，并用不等号“＜”连接.

2

解 （1）由已知可得x=k

专题三 一元二次方程根的判别式[学生用书B14]__

(教材P39作业题第5题)

已知一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的系数满足ac<0，判别方程根的情况，并说明理由．

解：Δ＝b2－4ac>0，

所以原方程有两个不相等的实数根．

【思想方法】 一元二次方程根的判别式可以用来判断根的情况，也可以根据一元二次方程根的情况，确定方程中的未知系数．常常有以下的应用．

一 判断一元二次方程根的情况

[2013·福州]下列一元二次方程有两个相等实数根的是 ( C )

A．x2＋3＝0 B．x2＋2x＝0 C．(x＋1)2＝0 D．(x＋3)(x－1)＝0

[2013·潍坊]已知关于x的方程kx2＋(1－k)x－1＝0，下列说法正确

的是

( C )

A．当k＝0时，方程无解 B．当k＝1时，方程有一个实数解

C．当k＝－1时，方程有两个相等的实数解 D．当k≠0时，方程总有两个不相等的实数解

[2013·滨州]对于任意实数k，关于x的方程x2－2(k＋1)x－k2＋2k

－1＝0的根的情况为

( C )

A．有两个相等的实数根 B．没有实数根

C．有两个不相等的实数根 D．无法确定

[2012·孝感]已知关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0.

一元二次方程根的判别式、 根与系数的关系练习题

1、方程kx2?3x?2?0有两个相等的实数根，则

k 。

2、若关于x的方程kx2?4x?3?0有实数根，则k的非负整数值是 。

3、关于x的方程mx2?2?3m?1?x?9m?1?0有

两个实数根，则m的范围是 。

4、已知k>0且方程3kx2?12x?k??1有两个相等的实数根，则k= 。

5、当 k

不小于?14时，方程

?k?2?x2??2k?1?x?k?0根的情况是 。

6

、

如

果

关

于

x

的

方

程

?m?2?x2?2?m?1?x?m?0只有一个实数根，那么

方程mx2??m?2?x??4?m??0的根的情况

是 。

7、如果关于x的方程mx2?2?m?2?x?m?5?0没有实数根，那么关于x的方程?m?5?x2?2?m?2?x?m?0的

实

根

个

数

是 。

8、如果方程2x2?mx?4?0的两根为x1,x2，且

1x?1?2，求实数 m的值。 1x2

9、已知方程x2??2k?1?x?k2?2?0的两实根

的平方和等于11，求k的值。

10、m取什么值时，方程?m?2?x2?2x?1?0有