线性微分方程组解的结构

Review 常系数齐次线性ODE的特征解法x(n)n

+ a1 x

( n 1)

λ + a1λ特征根 重数

n 1

+ L + an 1 x′ + an x = 0

+ L + an 1λ + an = 0.线性无关解 λt

λ (实) λ (实)

1kλt αt

e

e ,te , , t Lαt αt αt

λt

k 1 λt

e

α ± iβ

1k

e cos β t , e sin β t e cos β t , te cos β t ,L , t e cos β t , eα t sin β t , teα t sin β t ,L , t k 1eα t sin β tk 1 α t

α ± iβ

常系数非齐次线性ODE的待定系数法

x ( n ) + a1 x ( n 1) + L + an 1 x′ + an x = f (t ) f (t ) special solution x(t )

q (t )t k eλt , q real polynomial, p (t )e , λ ∈ deg(q ) ≤ deg( p ), p real polynomial, k = multiplicity of λ as an

第五章 线性微分方程组

[教学目标]

1. 理解线性微分方程组解的存在唯一性定理，掌握一阶齐（非齐）线性微分方程组解

的性质与结构，

2. 理解n 阶线性微分方程与一阶线性微分方程组的关系。 3. 掌握非齐次线性微分方程组的常数变易法，

4. 理解常系数齐线性微分方程组基解矩阵的概念，掌握求基解矩阵的方法。 5. 掌握常系数线性微分方程组的Laplce变换法。 [教学中难点]求解常系数非齐次线性微分方程组 [教学方法] 讲授，实践。 [教学时间] 16学时

[教学内容] n 阶线性微分方程与一阶线性微分方程组的关系，一阶线性微分方程组解的存在唯一性定理；齐（非齐）线性微分方程组解的性质与结构，求解非齐次线性微分方程组的常数变易法；常系数齐线性微分方程组的基解矩阵及求基解矩阵的方法；求常系数线性微分方程组的Laplce变换法。 [考核目标]

1.线性微分方程组解的性质与结构。 2.能够求解常系数线性微分方程组。

§5.1 存在唯一性定理

5.1.1记号和定义 考察形如

??a11(t)x1?a12(t)x2???a1n(t)xn?f1(t)?x1?x??a(t)x?a(t)x???a(t)x?f(t)?22112222nn2

习题5.4(P306)

1. 用观察法求下列方程的一个特解.

(1) (x+1)y′′ 2xy′+2y=0

解：由于方程中y及y′的系数有关系：p(x)+xq(x)=0，故y=x为上述方程的一个特解.

(2) xy′′ (1+x)y′+y=0

解：由于方程中y及其各阶导数的系数之和为零，故y=e为上述方程的一个特解.

2. 用常数变易法求方程y′′+y=tanx的通解.

解：方程所对应的齐次方程的特征方程为r+1=0，特征根为r1,2=±i， 故方程所对应的齐次方程的通解为y=C1cosx+C2sinx

设非齐次方程的特解为y0=C1(x)cosx+C2(x)sinx， 22x

′=C1′(x)cosx C1(x)sinx+C2′(x)sinx+C2(x)cosx 则y0

′(x)sinx=0′(x)cosx+C2令C1(1)

′= C1(x)sinx+C2(x)cosx 故y0

′′= C1′(x)sinx C1(x)cosx+C2′(x)cosx C2(x)sinx y0

′(x)sinx+C2′(x)cosx=tanx代入原方程得 C1(2)

sin2x′(x)= ′(x)=sinx， 联立(1)(2)解得C1，C2cosx

sin2x解得C1(x)=∫

第!"卷第"期宝鸡文理学院学报#自然科学版$

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常系数线性微分方程组的一种解法

杨继明

玉溪师范学院数学系A云南玉溪B#C+"**$

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摘

要D给出了常系数齐次线性微分方程组初值问题的一个求解公式A并由此推出常系数齐次线性

差分方程组在给定的初始条件下的一个求解公式E

关键词D常系数F线性微分方程F线性差分方程F标准基解矩阵F矩阵的方幂中图分类号D"HC("G

文献标识码D8

文章编号D"**HI"!B"#!**"$*"I**"+I*+

JKLMNOPQRLSLPTUVWVRVQPTQPOUXMLYPUNLK

ZLNL[UWULOSPVWUQM\VKKUMUWRVQP

习题5.4(P306)

1. 用观察法求下列方程的一个特解.

(1) (x+1)y′′ 2xy′+2y=0

解：由于方程中y及y′的系数有关系：p(x)+xq(x)=0，故y=x为上述方程的一个特解.

(2) xy′′ (1+x)y′+y=0

解：由于方程中y及其各阶导数的系数之和为零，故y=e为上述方程的一个特解.

2. 用常数变易法求方程y′′+y=tanx的通解.

解：方程所对应的齐次方程的特征方程为r+1=0，特征根为r1,2=±i， 故方程所对应的齐次方程的通解为y=C1cosx+C2sinx

设非齐次方程的特解为y0=C1(x)cosx+C2(x)sinx， 22x

′=C1′(x)cosx C1(x)sinx+C2′(x)sinx+C2(x)cosx 则y0

′(x)sinx=0′(x)cosx+C2令C1(1)

′= C1(x)sinx+C2(x)cosx 故y0

′′= C1′(x)sinx C1(x)cosx+C2′(x)cosx C2(x)sinx y0

′(x)sinx+C2′(x)cosx=tanx代入原方程得 C1(2)

sin2x′(x)= ′(x)=sinx， 联立(1)(2)解得C1，C2cosx

sin2x解得C1(x)=∫

Jordan标准型在求解线性微分方程组的应用

姓名：XX远 学号：20092426 班级：2009121

摘要：该应用在于矩阵不能对角化的时候利用Jordan标准型这种最简化的结果来做题。证明关于一般方阵（不能保证对角化）的某些命题，需要用到Jordan标准型，比如用Jordan标准型求解线性微分方程组。

关键字：Jordan标准型，线性微分方程组，特征值

矩阵内容，是大学学习中必须学习的知识点！其广泛的应用性，还有在处理数据上的优越性，矩阵是学习很多知识体系的支柱，在数据结构，自动控制原理，常微分计算等等上都是基础！

矩阵的对角化用处很大，因为对角化后，对矩阵加乘等等运算都可以简单很多，尤其在涉及特征值的方面！但是许多时候矩阵不能对角化。这时候相似变换的最好结果就是Jordan

标准型的形式，因为矩阵的Jordan标准型是最间的！

Jordan标准型的用处就在于矩阵不能对角化的时候利用Jordan标准型这种最简化的结果来做题。证明关于一般方阵（不能保证对角化）的某些命题，需要用到Jordan标准型，

比如用Jordan标准型求解线性微分方程组。

用拉氏变换法解线性微分方程

一 基本定义

若函数f(t)，t为实变量，线积分

∫ f(t)e-st dt (s为复变量)存在，

0∞

则称其为f(t)的拉氏变换，记为F(s)或￡[f(t)]，即F(s)=￡[f(t)]=∫ f(t)e-st dt

0

∞

常称：F(s)→f(t)的象函数；

f(t) →F(s)的原函数。 二 基本思路

用拉氏变换解线性微分方程，可将经典数学中的微积分运算转化成代数运算

三 典型函数的拉氏变换 1、单位阶跃函数

f(t)=1(t)= 1 t≧0 0 t <0

F(s)=￡[f(t)]= ∫ f(t)e-st dt =∫ 1 e-st dt =1/s

0∞

∞ 0

微分方程 拉氏变换 象函数 解代数方程 象原函数 （微分方程解） 拉氏反变换 象函数 代数方程 f(t) 1 0

t

2、单位斜坡函数 f(t)= t 1(t) = t t≥0

0 t<0

-st 2

F(s)=￡[f(t)]= ∫0 t edt =1/s

∞

f(t) t

3、等加速度函数

f(t) = 1/2 t2

2011-12-22

山东大学数学学院08级基地班 信息与计算科学专业 乔珂欣 学号 200800090114

微分方程数值解报告

目 录

一维变系数二点边值问题的中心差分数值解法 ....................................................... 3

1.中心差分格式的建立 ....................................................................................................................... 3 2.算例 ................................................................................................................................................... 5

二维常系数椭圆问题五点中心差分 ....................................................................

2011-12-22

山东大学数学学院08级基地班 信息与计算科学专业 乔珂欣 学号 200800090114

微分方程数值解报告

目 录

一维变系数二点边值问题的中心差分数值解法 ....................................................... 3

1.中心差分格式的建立 ....................................................................................................................... 3 2.算例 ................................................................................................................................................... 5

二维常系数椭圆问题五点中心差分 ....................................................................

论文常系数线性微分方程的解法

常系数线性微分方程的解法

摘 要

本文主要介绍了常系数线性微分方程的解法。由于在讨论常系数线性微分方程的解法时，需要涉及实变量的复值函数及复值数函数问题，所以文章首先给予介绍。然后，本文又通过构造特征方程运用代数运算分情况给出常系数齐次线性微分方程的具体解法，并引出可以化为此方程形式的欧拉方程。有了前面讨论的结果，对于常系数非齐次线性微分方程可以采用常数变易法，这里没有具体介绍，而是介绍具有某些特殊形式的非齐次线性微分方程的解法，即比较系数法和拉普拉斯变换法。

关键词：复值函数与复指数函数，齐次线性微分方程，欧拉方程，非齐次线性微分方程，比较系数法，拉普拉斯变换法

The Methods of Solving Linear Differential Equation with Constant Coefficients

This paper describes the methods of solving linear differential equation with constant coefficients. First of all, the paper below will describe complex-va