不定积分的几种解法

浅谈不定积分的几种简单解法

摘要 计算不定积分是微分课程的基本技能之一，本文就不定

积分方法和技巧，先介绍了它的三种基本计算方法，然后就几类典型的不定积分进行说明，并且介绍了几种特殊的积分方法和几类可积函数，最后针对一般类型的题总结出积分的策略，对求解不定积分有了进一步提高和认识。

关键词 积分概念；积分方法：第一类直接积分、第二

类换元积分、第三分部积分、以及特殊函数的积分；

不定积分是考试中常考内容之一，是学习以后知识和其他课程的基础，牢固

掌握不定积分非常重要。 怎样计算不定积分是高等数学教学的难点和重点．不定积分的求解方法技巧性很强，灵活性也比较大，而且对于同一个不定积分可能有多种不同的求解方法．为了开拓学生的思路，培养学生灵活的思维能力，使学生能够更好的理解和使用多种积分方法，达到举一反三、触类旁通的教学效果，在初步掌握不定积分的基本积分方法后，我们不能局限于一题一解，要试图一题多解。为了正确使用各种积分方法求解不定积分，我们必须掌握它的概念和性质以及积分的基本公式，才能够在以后的解题中做题自如，进行同类迁移。

1 不定积分概念与基本公式

1.1 原函数与不定积分

在微积分中，一个函数f 的不定积分，或原函数，或反导数，是一个导数等于f 的函数

浅谈不定积分的几种简单解法

摘要 计算不定积分是微分课程的基本技能之一，本文就不定

积分方法和技巧，先介绍了它的三种基本计算方法，然后就几类典型的不定积分进行说明，并且介绍了几种特殊的积分方法和几类可积函数，最后针对一般类型的题总结出积分的策略，对求解不定积分有了进一步提高和认识。

关键词 积分概念；积分方法：第一类直接积分、第二

类换元积分、第三分部积分、以及特殊函数的积分；

不定积分是考试中常考内容之一，是学习以后知识和其他课程的基础，牢固

掌握不定积分非常重要。 怎样计算不定积分是高等数学教学的难点和重点．不定积分的求解方法技巧性很强，灵活性也比较大，而且对于同一个不定积分可能有多种不同的求解方法．为了开拓学生的思路，培养学生灵活的思维能力，使学生能够更好的理解和使用多种积分方法，达到举一反三、触类旁通的教学效果，在初步掌握不定积分的基本积分方法后，我们不能局限于一题一解，要试图一题多解。为了正确使用各种积分方法求解不定积分，我们必须掌握它的概念和性质以及积分的基本公式，才能够在以后的解题中做题自如，进行同类迁移。

1 不定积分概念与基本公式

1.1 原函数与不定积分

在微积分中，一个函数f 的不定积分，或原函数，或反导数，是一个导数等于f 的函数

不定积分的例题分析及解法

这一章的基本概念是原函数、不定积分、主要的积分法是利用基本积分公式，换元积分法和分部积分法。对于第一换元积分法，要求熟练掌握凑微分法和设中间变量u??(x)，而第二换元积分法重点要求掌握三角函数代换，分部积分法是通过“部分地”凑微分将?ud?转化成??du，这种转化应是朝有利于求积分的方向转化。对于不同的被积函数类型应该有针对性地、灵活地采用有效的积分方法，例如f(x)为有理函数时，通过多项式除法分解成最简分式来积分，f(x)为无理函数时，常可用换元积分法。 应该指出的是：积分运算比起微分运算来，不仅技巧性更强，而且业已证明，有许多初等函数是“积不出来”的，就是说这些函数的原函数不能用初等函数来表示，例如

?sinxxdx；?e?x2dx；?1lnxdx；?dx1?ksinx22（其中0?k?1）等。

这一方面体现了积分运算的困难，另一方面也推动了微积分本身的发展，在第7章我们将看到这类积分的无限形式的表示。

一、疑难分析

（一）关于原函数与不定积分概念的几点说明

（1）原函数与不定积分是两个不同的概念，它们之间有着密切的联系。对于定义在某区间上的函数

f(x)，若存在函数F(x)，使得该区间上每一点x处都有F?(x)

Yz.Liu.2013.09

卷终 公式表注解四

基本不定积分表

序言：

微积分创立之初，牛顿与莱布尼茨分享荣誉。虽其间发生很多在优先权上的争论，但最终依然走向了发展之正轨。在微积分公式体系上，莱布尼茨对之要求甚严，并总结其基本微分表和基本积分表。如今随微积分之发展，公式表逐渐全面，分类亦几乎

覆盖各种不定积分。积分表的编订对于积分运算可以说是必要，亦是数学发展之必要结果。

本表给出常用不定积分的计算公式和运算方法，以及每个积分的简要推演方法，其中引入了除一般之换元法，凑微分法，分部积分法之外，亦引入虚数单位，并使用虚数单位推演某些复杂的不定积分运算。而对于简单的不定积分运算和基本的微分公式

之反用，或均不在此给出推演方法，或仅以推演步骤简要之说明。

本表收录公式16组，151式。

公式一 基本初等函数的不定积分18式：

?1??1x?C,???1;?(1).?xdx????1??ln|x|?C,???1.幂函数

?(2).?axdx?1xa?Clna指数函数

(3).?exdx?ex?C

(4).?logaxdx?xlogax?xlogae?C对数函数三角函数

(5).?lnxdx?xlnx?x?C(6).?sinxdx??cosx?C(7).?

不定积分的典型例题

不定积分的典型例题

x2 1

例1．計算 4

x 1

解法1

x4 1 (x2

2x 1)(x2 2x 1).

而 (x2 2x 1) (x2 2x 1) 2(x2 1) 所以

x2 1111

( x4 12 x2 2x 1 x2 2x 1) 1 [ 2

1

221(x )

22

1d(2x 1)

1

221

(x )

22

1d2x 1)

)

2(

2

2x 1) 1

2

2(

2x 1) 1

2

1

2x 1) 2x 1)] c.

x2 1(x2 2x 1) 2x

22

解法2 x4 1(x 2x 1)(x 2x 1)

dx2x

4 2

x 1x 2x 1

11 2x 1) arctanx2 c.

22 解法3

11

1d(x )2x 1当x 0, 4dx x 1x2 2x2 2xx

2

1

d(x )

1x2 1 c

1222x(x ) 2x lim

x 0

12

x2 1x

22

,

不定积分的典型例题

1x2 1 lim , x 0

22x22由拼接法可有

2

x 1

dx x4 1

1x2 1 22x22

1x2 1 22x22

c,x 0

x 0. c

x 0

x3 2

例2.求 . 22

(x 1)(x 1)解 将被积函数化为简单的部分分式

x3 2ABCx D

不定积分

内容要点

1.(影子法 LIATE) 2.基本的2个？ 一、基本概念与性质

1．原函数与不定积分的概念

2．不定积分的性质

设 ?f?x?dx?F?x??C，其中F?x?为f?x?的一个原函数，C为任意常数。则 （1）

?F??x?dx?F?x??C

?? 或?dF?x??F?x??C

???（2） ??f?x?dx??f?x? 或d??f?x?dx??f?x?dx

（3） （4） ?kf?x?dx?k?f?x?dx ?f?x??g?x???dx??f?x?dx??g?x?dx ??3．原函数的存在性 1）设f?x?在区间I上连续，则f?x?在区间I上原函数一定存在 2）初等函数的原函数不一定是初等函数

?sin?x2?dx，?cos?xxa?12?dx，?sinxxdx，?cosxxdx，?dxlnx，?e?xdx

2二、基本积分公式 1．?xdx?1aa?1?C （a??1，实常数）

2．?dx?lnx?C

x3．?adx?x1lnaxa?C （a?0，a?1）

x?exdx?e?C

4．?cosxdx?sinx?C 5．?sinxdx??cosx?C

6．?secxdx?7．?cscxdx?22?co

不定积分基本公式

第二节 不定积分的基本公式和直接积分法（Basic Formula of Undefined

Integral and Direct Integral）

课 题：1. 不定积分的基本公式 2. 不定积分的直接积分法 课堂类型：讲授 教学目的：熟练掌握不定积分的基本公式，对简单的函数能用直接积分法进行积分。 教学重点：不定积分的基本公式 教学难点: 直接积分法 教 具：多媒体课件 教学方法： 教学内容：

一、不定积分的基本公式

由于不定积分是求导的逆运算，所以由导数的基本公式对应地可以得到不定积分的基本公式。 导数的基本公式 不定积分的基本公式

(C) 0x 1

(x 1)

1 x (ex) ex(ax) axlna1x

(sinx) cosx(cosx) sinx(lnx) (tanx) sec2x(cotx) csc2x(secx) secxtanx(cscx) cscxcotx(arcsinx)

1

(arctanx)

1 x2

(arccosx) 1

(arccotx)

1 x21

(logax)

xlna

0dx C dx x C

x 1

xdx 1

第4章 不定积分

内容概要 名称 不 定 积 分 不 定 积 分 的 概 念 主要内容 设f(x)， x?I，若存在函数F(x)，使得对任意x?I均有 F?(x)?f(x) 或dF(x)?f(x)dx，则称F(x)为f(x)的一个原函数。 f(x)的全部原函数称为f(x)在区间I上的不定积分，记为 ?f(x)dx?F(x)?C 注：（1）若f(x)连续，则必可积；（2）若F(x),G(x)均为f(x)的原函数，则F(x)?G(x)?C。故不定积分的表达式不唯一。 性 质 性质1：d?f(x)dx??f(x)或d??f(x)dx??f(x)dx； ?????dx性质2：F?(x)dx?F(x)?C或dF(x)?F(x)?C； 性质3：[?f(x)??g(x)]dx??计 算 方 法 第一换元 积分法 （凑微分法） 第二类 换元积 分法 ??? ?f(x)dx???g(x)dx，?,?为非零常数。设f(u)的 原函数为F(u)，u??(x)可导，则有换元公式： ?f(?(x))??(x)dx??f(?(x))d?(x)?F(?(x))?C 设x??(t)单调、可导且导数不为零，f[?(t)]??(t)有原

(1)

?xdx2x (2)

3(?x?1x)dx

(3)

（2?x?x2）dx

(4)

?3x4?3x2?1x2x(x?3)dx (5)?dx (6)?dx (7)（?x2-1x+34x3-x4）dx (10)?1x2(1?x2)dx (13)?cot2xdx (16)

?11?cos2xdx (19)?(1?x1?x?1?x1?x)dx（1）

?e3tdt (4)

?135?3xdx (7)

?tan10xsec2xdx (10)

?dxsinxcosx (13)

?xdx 2?3x2(16)?sinxcos3xdx (19) ?dx2x2?1 (22)

?xdxx8?1 x2?1(8)?(31?x2?2)dx

本科生毕业论文设计

不定积分的计算方法及拓展

作者姓名： 指导教师：

所在学院： 数学与信息科学学院 专业（系）： 数学与应用数学 班级（届）： 201X届数学X班

二〇一五年 四月二十四日

1

目 录

中文摘要、关键字 ???????????????????????? 1 1 不定积分的计算方法

???????????????????? 2

1.1 分部积分法 ???????????????????????? 2 1.1.1 分部积分法得基本认识 ????????????????? 2 1.1.2 函数u、v的优选判别 ????????????????? 3 1.2 第一换元积分法

???????????????????? 4

1.2.1 第一换元积分法概念 ????????????????? 4 1.2.2 常用凑微分公式 1.3 第二换元积分法

?????????????????? 4

???????????????????? 5

1.3.1 第二换元积分法概念 ????????????????? 5 1.3.2 第二换元法的常用代换 ???????????????? 2 几种特殊类型函数的积分

5

?????