不定积分的几种解法
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浅谈不定积分的几种简单解法.doc
浅谈不定积分的几种简单解法
摘要 计算不定积分是微分课程的基本技能之一,本文就不定
积分方法和技巧,先介绍了它的三种基本计算方法,然后就几类典型的不定积分进行说明,并且介绍了几种特殊的积分方法和几类可积函数,最后针对一般类型的题总结出积分的策略,对求解不定积分有了进一步提高和认识。
关键词 积分概念;积分方法:第一类直接积分、第二
类换元积分、第三分部积分、以及特殊函数的积分;
不定积分是考试中常考内容之一,是学习以后知识和其他课程的基础,牢固
掌握不定积分非常重要。 怎样计算不定积分是高等数学教学的难点和重点.不定积分的求解方法技巧性很强,灵活性也比较大,而且对于同一个不定积分可能有多种不同的求解方法.为了开拓学生的思路,培养学生灵活的思维能力,使学生能够更好的理解和使用多种积分方法,达到举一反三、触类旁通的教学效果,在初步掌握不定积分的基本积分方法后,我们不能局限于一题一解,要试图一题多解。为了正确使用各种积分方法求解不定积分,我们必须掌握它的概念和性质以及积分的基本公式,才能够在以后的解题中做题自如,进行同类迁移。
1 不定积分概念与基本公式
1.1 原函数与不定积分
在微积分中,一个函数f 的不定积分,或原函数,或反导数,是一个导数等于f 的函数
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浅谈不定积分的几种简单解法
摘要 计算不定积分是微分课程的基本技能之一,本文就不定
积分方法和技巧,先介绍了它的三种基本计算方法,然后就几类典型的不定积分进行说明,并且介绍了几种特殊的积分方法和几类可积函数,最后针对一般类型的题总结出积分的策略,对求解不定积分有了进一步提高和认识。
关键词 积分概念;积分方法:第一类直接积分、第二
类换元积分、第三分部积分、以及特殊函数的积分;
不定积分是考试中常考内容之一,是学习以后知识和其他课程的基础,牢固
掌握不定积分非常重要。 怎样计算不定积分是高等数学教学的难点和重点.不定积分的求解方法技巧性很强,灵活性也比较大,而且对于同一个不定积分可能有多种不同的求解方法.为了开拓学生的思路,培养学生灵活的思维能力,使学生能够更好的理解和使用多种积分方法,达到举一反三、触类旁通的教学效果,在初步掌握不定积分的基本积分方法后,我们不能局限于一题一解,要试图一题多解。为了正确使用各种积分方法求解不定积分,我们必须掌握它的概念和性质以及积分的基本公式,才能够在以后的解题中做题自如,进行同类迁移。
1 不定积分概念与基本公式
1.1 原函数与不定积分
在微积分中,一个函数f 的不定积分,或原函数,或反导数,是一个导数等于f 的函数
不定积分的例题分析及解法
不定积分的例题分析及解法
这一章的基本概念是原函数、不定积分、主要的积分法是利用基本积分公式,换元积分法和分部积分法。对于第一换元积分法,要求熟练掌握凑微分法和设中间变量u??(x),而第二换元积分法重点要求掌握三角函数代换,分部积分法是通过“部分地”凑微分将?ud?转化成??du,这种转化应是朝有利于求积分的方向转化。对于不同的被积函数类型应该有针对性地、灵活地采用有效的积分方法,例如f(x)为有理函数时,通过多项式除法分解成最简分式来积分,f(x)为无理函数时,常可用换元积分法。 应该指出的是:积分运算比起微分运算来,不仅技巧性更强,而且业已证明,有许多初等函数是“积不出来”的,就是说这些函数的原函数不能用初等函数来表示,例如
?sinxxdx;?e?x2dx;?1lnxdx;?dx1?ksinx22(其中0?k?1)等。
这一方面体现了积分运算的困难,另一方面也推动了微积分本身的发展,在第7章我们将看到这类积分的无限形式的表示。
一、疑难分析
(一)关于原函数与不定积分概念的几点说明
(1)原函数与不定积分是两个不同的概念,它们之间有着密切的联系。对于定义在某区间上的函数
f(x),若存在函数F(x),使得该区间上每一点x处都有F?(x)
不定积分表
Yz.Liu.2013.09
卷终 公式表注解四
基本不定积分表
序言:
微积分创立之初,牛顿与莱布尼茨分享荣誉。虽其间发生很多在优先权上的争论,但最终依然走向了发展之正轨。在微积分公式体系上,莱布尼茨对之要求甚严,并总结其基本微分表和基本积分表。如今随微积分之发展,公式表逐渐全面,分类亦几乎
覆盖各种不定积分。积分表的编订对于积分运算可以说是必要,亦是数学发展之必要结果。
本表给出常用不定积分的计算公式和运算方法,以及每个积分的简要推演方法,其中引入了除一般之换元法,凑微分法,分部积分法之外,亦引入虚数单位,并使用虚数单位推演某些复杂的不定积分运算。而对于简单的不定积分运算和基本的微分公式
之反用,或均不在此给出推演方法,或仅以推演步骤简要之说明。
本表收录公式16组,151式。
公式一 基本初等函数的不定积分18式:
?1??1x?C,???1;?(1).?xdx????1??ln|x|?C,???1.幂函数
?(2).?axdx?1xa?Clna指数函数
(3).?exdx?ex?C
(4).?logaxdx?xlogax?xlogae?C对数函数三角函数
(5).?lnxdx?xlnx?x?C(6).?sinxdx??cosx?C(7).?
不定积分的典型例题
不定积分的典型例题
不定积分的典型例题
x2 1
例1.計算 4
x 1
解法1
x4 1 (x2
2x 1)(x2 2x 1).
而 (x2 2x 1) (x2 2x 1) 2(x2 1) 所以
x2 1111
( x4 12 x2 2x 1 x2 2x 1) 1 [ 2
1
221(x )
22
1d(2x 1)
1
221
(x )
22
1d2x 1)
)
2(
2
2x 1) 1
2
2(
2x 1) 1
2
1
2x 1) 2x 1)] c.
x2 1(x2 2x 1) 2x
22
解法2 x4 1(x 2x 1)(x 2x 1)
dx2x
4 2
x 1x 2x 1
11 2x 1) arctanx2 c.
22 解法3
11
1d(x )2x 1当x 0, 4dx x 1x2 2x2 2xx
2
1
d(x )
1x2 1 c
1222x(x ) 2x lim
x 0
12
x2 1x
22
,
不定积分的典型例题
1x2 1 lim , x 0
22x22由拼接法可有
2
x 1
dx x4 1
1x2 1 22x22
1x2 1 22x22
c,x 0
x 0. c
x 0
x3 2
例2.求 . 22
(x 1)(x 1)解 将被积函数化为简单的部分分式
x3 2ABCx D
不定积分培优讲义
不定积分
内容要点
1.(影子法 LIATE) 2.基本的2个? 一、基本概念与性质
1.原函数与不定积分的概念
2.不定积分的性质
设 ?f?x?dx?F?x??C,其中F?x?为f?x?的一个原函数,C为任意常数。则 (1)
?F??x?dx?F?x??C
?? 或?dF?x??F?x??C
???(2) ??f?x?dx??f?x? 或d??f?x?dx??f?x?dx
(3) (4) ?kf?x?dx?k?f?x?dx ?f?x??g?x???dx??f?x?dx??g?x?dx ??3.原函数的存在性 1)设f?x?在区间I上连续,则f?x?在区间I上原函数一定存在 2)初等函数的原函数不一定是初等函数
?sin?x2?dx,?cos?xxa?12?dx,?sinxxdx,?cosxxdx,?dxlnx,?e?xdx
2二、基本积分公式 1.?xdx?1aa?1?C (a??1,实常数)
2.?dx?lnx?C
x3.?adx?x1lnaxa?C (a?0,a?1)
x?exdx?e?C
4.?cosxdx?sinx?C 5.?sinxdx??cosx?C
6.?secxdx?7.?cscxdx?22?co
不定积分基本公式
不定积分基本公式
第二节 不定积分的基本公式和直接积分法(Basic Formula of Undefined
Integral and Direct Integral)
课 题:1. 不定积分的基本公式 2. 不定积分的直接积分法 课堂类型:讲授 教学目的:熟练掌握不定积分的基本公式,对简单的函数能用直接积分法进行积分。 教学重点:不定积分的基本公式 教学难点: 直接积分法 教 具:多媒体课件 教学方法: 教学内容:
一、不定积分的基本公式
由于不定积分是求导的逆运算,所以由导数的基本公式对应地可以得到不定积分的基本公式。 导数的基本公式 不定积分的基本公式
(C) 0x 1
(x 1)
1 x (ex) ex(ax) axlna1x
(sinx) cosx(cosx) sinx(lnx) (tanx) sec2x(cotx) csc2x(secx) secxtanx(cscx) cscxcotx(arcsinx)
1
(arctanx)
1 x2
(arccosx) 1
(arccotx)
1 x21
(logax)
xlna
0dx C dx x C
x 1
xdx 1
不定积分例题及答案
第4章 不定积分
内容概要 名称 不 定 积 分 不 定 积 分 的 概 念 主要内容 设f(x), x?I,若存在函数F(x),使得对任意x?I均有 F?(x)?f(x) 或dF(x)?f(x)dx,则称F(x)为f(x)的一个原函数。 f(x)的全部原函数称为f(x)在区间I上的不定积分,记为 ?f(x)dx?F(x)?C 注:(1)若f(x)连续,则必可积;(2)若F(x),G(x)均为f(x)的原函数,则F(x)?G(x)?C。故不定积分的表达式不唯一。 性 质 性质1:d?f(x)dx??f(x)或d??f(x)dx??f(x)dx; ?????dx性质2:F?(x)dx?F(x)?C或dF(x)?F(x)?C; 性质3:[?f(x)??g(x)]dx??计 算 方 法 第一换元 积分法 (凑微分法) 第二类 换元积 分法 ??? ?f(x)dx???g(x)dx,?,?为非零常数。设f(u)的 原函数为F(u),u??(x)可导,则有换元公式: ?f(?(x))??(x)dx??f(?(x))d?(x)?F(?(x))?C 设x??(t)单调、可导且导数不为零,f[?(t)]??(t)有原
不定积分练习与答案
(1)
?xdx2x (2)
3(?x?1x)dx
(3)
(2?x?x2)dx
(4)
?3x4?3x2?1x2x(x?3)dx (5)?dx (6)?dx (7)(?x2-1x+34x3-x4)dx (10)?1x2(1?x2)dx (13)?cot2xdx (16)
?11?cos2xdx (19)?(1?x1?x?1?x1?x)dx(1)
?e3tdt (4)
?135?3xdx (7)
?tan10xsec2xdx (10)
?dxsinxcosx (13)
?xdx 2?3x2(16)?sinxcos3xdx (19) ?dx2x2?1 (22)
?xdxx8?1 x2?1(8)?(31?x2?2)dx
不定积分毕业论文
本科生毕业论文设计
不定积分的计算方法及拓展
作者姓名: 指导教师:
所在学院: 数学与信息科学学院 专业(系): 数学与应用数学 班级(届): 201X届数学X班
二〇一五年 四月二十四日
1
目 录
中文摘要、关键字 ???????????????????????? 1 1 不定积分的计算方法
???????????????????? 2
1.1 分部积分法 ???????????????????????? 2 1.1.1 分部积分法得基本认识 ????????????????? 2 1.1.2 函数u、v的优选判别 ????????????????? 3 1.2 第一换元积分法
???????????????????? 4
1.2.1 第一换元积分法概念 ????????????????? 4 1.2.2 常用凑微分公式 1.3 第二换元积分法
?????????????????? 4
???????????????????? 5
1.3.1 第二换元积分法概念 ????????????????? 5 1.3.2 第二换元法的常用代换 ???????????????? 2 几种特殊类型函数的积分
5
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