变化率问题与导数的概念讲义

变化率问题与导数的概念

变化率问题 与导数的概念

变化率问题与导数的概念

问题1.气球平均膨胀率.吹气球时,会发现:随着气球内空气容量的 增加,气球的半径增加得越来越慢,能从数 学的角度解释这一现象吗?解:可知:V(r)= πr3 即：r(V)=3

3V 4

当空气容量V从0增加1L时，半径增加了 r(1)-r(0)= 0.62

r (1) r (0) 气球平均膨胀率： 0.62 1 0

变化率问题与导数的概念

问题1.气球平均膨胀率.当空气容量V从1加2L时，半径增加了 r(2)-r(1)= 0.16

r (2) r (1) 气球平均膨胀率： 0.16 2 1可以看出，随着气球体积变大，它的平均 膨胀率变小.

思考：当空气容量从V1增加到V2 时,气 球的平均膨胀率是多少呢?

变化率问题与导数的概念

问题2.平均速度.物体自由落体的运动方程是: 1 S(t)= gt2,2

求1s到2s时的平均速度.

3 解： S2-S1= g=14.7 2t2-t1= 1

S (2) S (1) V = 14.7 2 1

变化率问题与导数的概念

问题2.平均速度.思考：求t1s到t2s时的平均速度. V =

S (t2 ) S (t1 ) t2 t1

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考点10 变化率与导数、导数的计算

一、选择题

1.（2012·陕西高考理科·Ｔ7）设函数f(x)?xex，则（ ） (A) x?1为f(x)的极大值点 (B) x?1为f(x)的极小值点 (C) x??1为f(x)的极大值点 (D) x??1为f(x)的极小值点

【解题指南】先根据导数的乘法法则求导，然后由导数等于0求出极值点，再根据导数的正、负判断函数的单调性，判断极值点是极大值点还是极小值点.

xxxxf(x)?xe?ex(x?1)()x?(xe)?e?xe【解析】选D.∵，∴f?，令f?(x)?0，则x??1，

当x??1时，

f?(x)?0；当x??1时，f?(x)?0，所以x??1为f(x)的极小值点.

二、填空题

2.（2012·新课标全国高考文科·Ｔ13）曲线y=x(3lnx+1)在点（1,1）处的切线方程为________

【解题指南】通过求导得切线斜率，一点一斜率可确定切线方程，最后将方程化为一般式。

x?4【解析】y??3l

导数 的概念

教学要求：通过导数的图形变换理解导数的几何意义就是曲线在该点的切线的斜率，理解导

数的概念并会运用概念求导数。

教学重点：导数的概念并会运用概念求导数，导数的几何意义的运用。 教学难点：导数的几何意义的理解 教学过程：

一、复习准备：

1、 提问：利用导数的定义求导步骤？（学生回答）

2、 提问：f (x0)表示函数在x0的瞬时变化率，导数f (x0)的几何意义是什么？ 二、讲授新课： 1. 教学：

1、当点pn(xn,yn)(n 1,2,3,4 )沿着曲线向点P接近时，割线ppn的变化趋势是什么？ 割线ppn的斜率与切线PT的斜线K有什么关系？

得：k f (x0) lim

f(x x) f(x0)

x

x 0

此时，割线ppn的斜率kPP

n

y x

无限趋近于

切线PT的斜率k，也就是说，当 x趋向于0时，割线的ppn斜率kPP

n

y x

的极限为k.

小结：函数y f(x)在点x0的导数的几何意义就是曲线y f(x)在点p(x0,y0)处的切线的斜率，也就是说，曲线y f(x)在点p(x0,y0)处的切线斜率是f (x0)，切线的方程为

y y0 f (x0)(x x0)

二、例题分析

例1：.求函数y x2 1在－1,0，1处导数。

分析：先求导，然

第1讲 变化率与导数、导数的运算

【2013年高考会这样考】

1．利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程． 2．考查导数的有关计算，尤其是简单的函数求导． 【复习指南】

本讲复习时，应充分利用具体实际情景，理解导数的意义及几何意义，应能灵活运用导数公式及导数运算法则进行某些函数求导.

基础梳理

1．函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率 函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为

fx2－fx1. x2－x1

Δy若Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则平均变化率可表示为. Δx2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 (1)定义

Δy→0 ＝ 称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率liΔxm

Δx→0 liΔxm

fx0＋Δx－fx0为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|xΔxΔy→0 . ＝x0，即f′(x0)＝liΔxm

Δx(2)几何意义

函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处切线的斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 3．函数f(x)的导函数 →0 称函数f′(x)＝liΔxm

fx＋Δx－fx为f(x)的导

变化率与导数、导数的计算

一、选择题

1.（2013·大纲版全国卷高考理科·Ｔ9）若函数f(x)?x2?ax?1在(1,??)x2是增函数，则a的取值范围是（ ）

A.?-1，0? B.?-1，?? C.?0，3? D.?3，+?? 【解题指南】先求出f(x)的导函数f?(x)，利用x?(,??)时f?(x)?0确定a的取值范围.

11，因为在x?(,??)上为增函数，f(x)2x2111即当x?(,??)时，f?(x)?0.即2x?a?2?0，则a?2?2x，令

2xx11而g(x)在x?(,??)上为减函数，所以g(x)max?3，故a?3. g(x)?2?2x，

2x12【解析】选D.f?(x)?2x?a?二、填空题

2.（2013·江西高考理科·Ｔ13）设函数f(x)在（0，+∞）内可导，且f(ex)=x+ex，则f?(1)=__________.

【解题指南】先求出函数f（x）的解析式，进而可求f?(1). 【解析】设t?ex，则x?ntl【答案】2

3.（2013·江西高考文科·Ｔ11）若曲线y?x??1（α∈R）在点（1，2）处的切线经过坐标原点，则α=

【解题指南】根据导数

人教A版选修2-2第一章《导数及其应用》第1节 变化率与导数

1.1.1 变化率问题

冯敏（监利一中） 教学目标 知识目标

1.了解微积分在数学发展中的作用，感受数学家的智慧和精神。

2.经历从生活中的变化率问题抽象概括出函数平均变化率概念的过程，体会从特殊到一般的数学思想，体现了数学知识来源于生活，又服务于生活。

3.通过函数平均变化率几何意义的教学，让学生体会数形结合的思想。 4.通过例题的解析，让学生进一步理解函数平均变化率的概念。 能力目标：1.通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力；

2.通过对实际问题的探究使学生体会类比、从特殊到一般的数学思想。 情感目标： 感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程,体会数学的博大精深以及学习数学的意义。 教学重点

1.平均变化率的概念的归纳得出；

2.理解平均变化率的概念，体会平均变化率的几何意义，会计算函数在某个区间上的平均变化率；

3.感受数学模型在刻画客观

人教A版选修2-2第一章《导数及其应用》第1节 变化率与导数

1.1.1 变化率问题

冯敏（监利一中） 教学目标 知识目标

1.了解微积分在数学发展中的作用，感受数学家的智慧和精神。

2.经历从生活中的变化率问题抽象概括出函数平均变化率概念的过程，体会从特殊到一般的数学思想，体现了数学知识来源于生活，又服务于生活。

3.通过函数平均变化率几何意义的教学，让学生体会数形结合的思想。 4.通过例题的解析，让学生进一步理解函数平均变化率的概念。 能力目标：1.通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力；

2.通过对实际问题的探究使学生体会类比、从特殊到一般的数学思想。 情感目标： 感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程,体会数学的博大精深以及学习数学的意义。 教学重点

1.平均变化率的概念的归纳得出；

2.理解平均变化率的概念，体会平均变化率的几何意义，会计算函数在某个区间上的平均变化率；

3.感受数学模型在刻画客观

高二数学选修1－1《变化率与导数》练习卷

知识点：

1、 若某个问题中的函数关系用()f x 表示，问题中的变化率用式子

()()

2121

f x f x x x --

f

x ?=

?表示，则式子()()2121

f x f x x x --称为函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率． 2、函数()f x 在0x x =处的瞬时变化率是()()210

021lim

lim

x x f x f x f

x x x

?→?→-?=-?，则称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作()0f x '或0

x x y ='，即()()()

0000

lim x f x x f x f x x

?→+?-'=?．

3、函数()y f x =在点0x 处的导数的几何意义是曲线()y f x =在点()()00,x f x P 处的切线的斜率．曲线()y f x =在点()()00,x f x P 处的切线的斜率是()0f x '，切线的方程为

()()()000y f x f x x x '-=-．若函数在0x 处的导数不存在，则说明斜率不存在，切线的方程为0x x =．

4、若当x 变化时，()f x '是x 的函数，则称它

中南大学,高等数学,微积分,课件

中南大学,高等数学,微积分,课件

一、隐函数的导数定义:由方程所确定的函数 y y( x )称为隐函数 .y f ( x ) 形式称为显函数F ( x, y) 0 y f (x)

.

隐函数的显化

问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?

隐函数求导法则:用复合函数求导法则直接对方程两边求导.

中南大学,高等数学,微积分,课件

例1 求由方程y 的导数

xy e ex

y

0 所确定的隐函数

dy dx

,

dy dxx 0

.

解

方程两边对

x 求导 ,x

y x

dy dx

ee

e yy

y

dy dx

0

解得 dy dx

dy dx

x

x eex

,

由原方程知

x 0, y 0,

x 0

yy x 0 y 0

x e

1.

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例2 设曲线 C 的方程为 x 3 y 3 3 xy , 求过 C 上3 3 点 ( , )的切线方程 2 2 线通过原点 .x 求导 ,3 x 3 y y 3 y 3 xy 2 2

, 并证明曲线

C 在该点的法

解

方程两边对

y

3 3 ( , ) 2 2

y x2

2

y x

(

3 3 , ) 2 2

1.

所求切线方程为 y 法线

宁夏育才中学

马晓英

0

关于《变化率问题》的说课稿

关于《变化率问题》的说课稿

宁夏育才中学 马晓英

教材：普通高中数学课程标准实验教科书（人教A版）选修2-2 P2-P4 课题：1.1.1变化率问题 课时： 1课时

下面,我将分别从教材分析和教学过程设计两方面对本课进行说明。

一、教材分析 1、教材及学情分析

微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段。导数概念是微积分的核心概念之一，它有着极其丰富的实际背景和广泛的应用。

本节课的学习内容是“变化率问题”，是普通高中数学课程标准实验教科书（人教A版）选修2-2第一章《导数及其应用》第一课时，内容较平淡、单薄，教学中很难“出新、出奇、出彩”，但本节课的作用举足轻重，是学习导数，进入微积分的“敲门砖”。如何在教学中构建生动的情境，让学生在探索中求知、在思考中求智、在品味中求美，使课堂充满灵动、精彩，是对教师的悟性和能力的考验。

高中二年级的学生正值身心快速发展的时期，他们思维活跃，乐于探索，敢于探究，但逻辑思维能力尚属经验型。关于“变化率问题”，学生有着一定的感知基础，比如吹气球的生活经