数论

数论初步

1、六位数2003□□能被99整除，它的最后两位数是。

2、有一个三位数等于它的各位数字和的42倍，这个三位数是 。

3、下面这个199位整数：1001001001 1001 被13除，余数16、一个十位数，如果各位上的数字都不相同，那么就称为“十全数”，例如，3 785 942 160就是一个十全数。现已知一个十全数能被1,2,3， ，18整除，并且它的前四位数是4876，那么这个十全数是------。 17、包含0，1,2,3,4,5,6,7,8,9十个数字的十位数称为“十全数”，

如果某个“十全数”同时满足下列要求： （1）它 能分别被1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12整除。 是多少 ？

4、一个数的20倍减1能被153整除，这样的自然数中最小的是-----。

5、一个三位自然数正好等于它各数位上的数字和的18倍。这个三位自然数是----。

6、三个连续自然数的和能被13整除，且三个数中最大的数被9除余4，那么符合条件的最小的三位数是----，----，----。

7、如果20052005 200501能被11整除，那么N的最小值是-------。

8、有一个六位数

数论（二）

······完全平方数、带余数的除法

1、若四位数是一个完全平方数，则这个四位数是 _________。

2、一个房间里有100盏灯，用自然数1、2、3、4、??、100编号，每盏灯各有

一个开关，开始时，所有的灯都不亮。有100个人轮流进入房间，第一个人进入房间后，将编号为1的倍数的灯的开关按一下，然后离去。第二个人进入房间后，将编号为2的倍数的灯的开关按一下，然后离去；如此下去，直到第100个人进入房间，将编号为100的倍数的灯的开关按一下，然后离去。问：第100个人离开房间后，房间里那些灯还亮着？

3、1×2＋2×3＋3×4＋4×5＋5×6＋6×7＋7×8＋8×9＋9×10＋10×11＋11×12的结果是不是完全平方数？为什么？

4、240乘以一个非零自然数α，或者除以一个非零自然数b，结果都是一个完全平方数，那么α的最小值是 _________。b的最小值是_________。

5、400以内，有奇数个因数（约数）的自然数有哪些？这些自然数中因数（约数）最多的有多少个因数？

6、一个整数，它的一半是一个完全平方数，且它的三分之一是一个完全立方数，则这个整数最小是多少？

7、已知3528a恰是自然数b的平方数，a的最小值是

数论初步

※知识要点 1、奇偶性

奇数±奇数＝偶数 偶数±偶数＝偶数 奇数±偶数＝奇数 偶数±奇数＝奇数

奇数×奇数＝奇数 偶数×偶数＝偶数 奇数×偶数＝偶数 2、数的整除

一般地，如a、b、c为整数，b≠0,a÷b＝c ,即整数a除以整数b(b不等于0)，除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a），记作b|a，否则，称为a不能被b整除，（或b不能整除a）。 如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。 性质： ①如果c|a,c|b,那么c|(a±b)；②如果bc|a,则b|a,c|a ；③如果b|a,c|a ,(b,c)＝1,则bc|a ；④如果c|b,b|a,则c|a. 整除特征： ①能被2整除的数的特征：个位数字只能是0,2,4,6,8 ②能被5整除的数的特征：个位数字只能是0或5 ③能被3（9）整除的数的特征：各个数位上的数字之和能被3（9）整除 ④能被4（25）整除的数的特征：末两位数能被4（25）整除 ⑤能被8（125）整除的数的特征：末三位数能被8（125）整除 ⑥能被11整除的数的特征：这个整数奇数位上的数字之和与偶数位

数论初步

※知识要点 1、奇偶性

奇数±奇数＝偶数 偶数±偶数＝偶数 奇数±偶数＝奇数 偶数±奇数＝奇数

奇数×奇数＝奇数 偶数×偶数＝偶数 奇数×偶数＝偶数 2、数的整除

一般地，如a、b、c为整数，b≠0,a÷b＝c ,即整数a除以整数b(b不等于0)，除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a），记作b|a，否则，称为a不能被b整除，（或b不能整除a）。 如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。 性质： ①如果c|a,c|b,那么c|(a±b)；②如果bc|a,则b|a,c|a ；③如果b|a,c|a ,(b,c)＝1,则bc|a ；④如果c|b,b|a,则c|a. 整除特征： ①能被2整除的数的特征：个位数字只能是0,2,4,6,8 ②能被5整除的数的特征：个位数字只能是0或5 ③能被3（9）整除的数的特征：各个数位上的数字之和能被3（9）整除 ④能被4（25）整除的数的特征：末两位数能被4（25）整除 ⑤能被8（125）整除的数的特征：末三位数能被8（125）整除 ⑥能被11整除的数的特征：这个整数奇数位上的数字之和与偶数位

02013 初等数论

江苏教育学院编

江苏省高等教育自学考试委员会办公室

第一章 整数的可除性

一、自学要求

（一）掌握整除的基本概念，会使用带余数除法和辗转相除法。

（二）掌握最大公因数和最小公倍数的基本理论，会求最大公因数和最小公倍数。

（三）掌握质数的性质和算术基本定理，会用筛选法求不超过给定正整数的质数。

（四）掌握数论函数［x］的概念，会求 N！的标准分解式。

二、考试内容

（一）整除性，带余数除法，辗转相除法。

（二）最大公因数，最小公倍数，质数及其性质，算术基本定理，筛选法。

（三）数论函数［x］，N！的标准分解式。

第二章 不定方程

一、自学要求

（一）掌握二元一次不定方程有解的充要条件，熟练掌握二元一次不定方程的解法。

（二）了解多元一次不定方程有解的充要条件，掌握三元一次不定方程的解法。

（三）了解勾股数，掌握不定方程 x2 + y2 = z2的正整数解的表示方法。

二、考试内容

（一）二元一次不定方程。

（二）多元一次不定方程，三元一次不定方程。

（三）勾股数，不定方程 x2 + y2

数论专题

数论主要分以下几个模块：

1、 数的整除问题 2、 质数合数与分解质因数 3、 约数与倍数 4、 余数问题 5、 奇数与偶数 6、 位值原理 7、 完全平方数 8、 数字谜问题

一、 整除问题

1. 一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除； 一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除； 一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除； 2. 一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除； 一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；

3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除.

4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，

那么这个数能被7、11或13整除.

【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.） 性质1 如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除．即如果c︱a，

c︱b，那么c︱(a±b)．

性质2 如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除．即如果b∣a，

c∣b，那么c∣a．

用同样的方法，我们还可以得出：

性质3 如果数a能被数b与数c的积整除

函数的极值和最值及其应用

摘要：数学应用是数学教学的一个重要的任务。论文将通过函数极值和函

数最值的相关理论、区别、联系及极值最值的求解方法，系统的阐述函数极值最值，这一 重要而且基础的函数性质， 并让大家意识到部分极值最值问题是与实际问题有着 密不可分的关系。然后运用给出的函数极值和最值知识，解决生活实际中的应用问题。函数涉及的实际应用有： 1.极值理论在海事安全、保险业、金融风险管理等领域的应用。 2.最值在商业最大利润、税收额最大、最大期望、最优计划安排等问题中的 应用。在极值和最值的理论学习后，如何运用所学识解决实际问题应得到我们的重视。从而认识到极值最值在数学中的重要性及数学在生活中的必不可少性！

关键词：极值；最值；应用。

引言：作为函数性质的一个重要分支和基本工具，函数极值和最值在数学与其它科学技术领域，诸如数学建模、税收金额、优化问题、概率统计等学科都有广泛的 应用。不仅如此，函数极值理论在航海、保险、价格策划、航空和航天等众多领 域中也是最富表现性和灵活性，并起着不可替代的数学工具的作用。许多实际问 题最终都归结为函数极值或最值问题，生活中遇到的实际问题，可以通过数学建 模的形式，表示为函数形式。而在求解具体问题时往往需

导数的应用

微分学是微积分的重要组成部分，它的基本概念是导数和微分。导数是微积分的初步知识，是研究函数、解决实际问题的有力工具。对此，我们开展了有关”导数的应用”的课题讨论, 主要对导数在函数中的应用进行简单的探讨。

我们知道，函数的性质有单调性、周期性、奇偶性、对称性等，对于函数的研究我们通常借助于它的图像。导数就是对函数的图像与性质的总结与拓展，且是研究函数单调性和求最值的重要工具。导数是当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。在一个函数存在导数时称这个函数可导或者可微分。可导的函数一定连续。不连续的函数一定不可导。导数实质上就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则来源于极限的四则运算法则。所以，在学习了常规解决一些函数问题的方法后，我们探讨了有关对导数的应用，来解决函数问题。

早期导数概念

大约在1629年法国数学家费马研究了作曲线的切线和求函数极值的方法1637年左右他写一篇手稿《求最大值与最小值的方法》。在作切线时他构造了差分f(A+E)-f(A),发现的因子E就是我们所说的导数f'(A)。

导数的定义：

设函数 y = f(x) 在点 x0 的某个邻域内有定义当自变量x 在 x0 处有增量△x

导数的应用

微分学是微积分的重要组成部分，它的基本概念是导数和微分。导数是微积分的初步知识，是研究函数、解决实际问题的有力工具。对此，我们开展了有关”导数的应用”的课题讨论, 主要对导数在函数中的应用进行简单的探讨。

我们知道，函数的性质有单调性、周期性、奇偶性、对称性等，对于函数的研究我们通常借助于它的图像。导数就是对函数的图像与性质的总结与拓展，且是研究函数单调性和求最值的重要工具。导数是当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。在一个函数存在导数时称这个函数可导或者可微分。可导的函数一定连续。不连续的函数一定不可导。导数实质上就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则来源于极限的四则运算法则。所以，在学习了常规解决一些函数问题的方法后，我们探讨了有关对导数的应用，来解决函数问题。

早期导数概念

大约在1629年法国数学家费马研究了作曲线的切线和求函数极值的方法1637年左右他写一篇手稿《求最大值与最小值的方法》。在作切线时他构造了差分f(A+E)-f(A),发现的因子E就是我们所说的导数f'(A)。

导数的定义：

设函数 y = f(x) 在点 x0 的某个邻域内有定义当自变量x 在 x0 处有增量△x

摘要

级数有很多重要的性质，其中敛散性是级数的一个非常重要的性质，敛散性的判别方法也一直是人们研究的热点。通过判别级数的敛散性进一步了解级数的性质。本文讨论了正项级数、交错级数、任意项级数敛散性的判别方法，正项级数、交错级数、任意项级数通项的多变性，决定了判别正项级数、交错级数、任意项级数敛散性的方法会有多种，主要是达朗贝尔判别法、柯西判别法、莱布尼兹判别法、狄利克雷判别法。当然由于通项的特殊性也会有特殊的方法判别。本文通过归纳一些判别正项级数与交错级数敛散性的方法，让人们在学习过程中对级数敛散性的判别能够很好的把握，并掌握这些判别法成立的条件。 Abstract

Series has many important properties. The convergence and divergence is an very important property of series, convergence and divergence of the discriminant method has also been one of the hot. By judging