插值误差计算

插值及其误差 x sin x cos x tan x 1.567 0.999 992 8 0.003 796 3 263.411 25 1.568 0.999 996 1 0.002 796 3 357.611 06 1.569 0.999 998 4 0.001 796 3 556.690 98 1.570 0.999 999 7 0.000 796 3 1255.765 59 用表中的数据和任一插值公式求： （1）用tan x表格直接计算tan 1.569 5。

（2）用sin 1.569 5和cos 1.569 5来计算tan 1.569 5。并讨论这两个结果中误差变化的原因。

插值：求过已知有限个数据点的近似函数。 1 插值方法

下面介绍几种基本的、常用的插值：拉格朗日多项式插值、牛顿插值、分段线性插

值、Hermite 插值和三次样条插值。 1.1 拉格朗日多项式插值 1.1.1 插值多项式

用多项式作为研究插值的工具，称为代数插值。其基本问题是：已知函数

f?x?在区间?a,b?上n?1个不同点x0,x1,yi?f?xi??i?0,1,,xn处的函数值

,n?，求一个至多n次多项式 ?anxn（1）

?n?x??a0

插值法计算实际利率

插 值 法 计 算 实 际 利 率

“插值法”计算实际利率。在08年考题中涉及到了实际利率的计算，其原理是根据比例关系建立一个方程，然后，解方程计算得出所要求的数据。

例如：假设与A1对应的数据是B1，与A2对应的数据是B2，现在已知与A对应的数据是B，A介于A1和A2之间，即下对应关系：

A1 B1

A(?) B

A2 B2

则可以按照（A1-A)/(A1-A2)=(B1-B)/(B1-B2)计算 得出A的数值，其中A1、A2、B1、B2、B都是已知数据。根本不必记忆教材中的公式，也没有任何规定必须B1＞B2 验证如下： 根据：（A1-A)/(A1-A2)=(B1-B)/(B1-B2)可知：

（A1-A)＝(B1-B)/(B1-B2)×（A1- A2）

A＝A1－(B1-B)/(B1-B2)×（A1-A2）＝A1＋(B1-B)/(B1- B2)×（A2-A1） 考生需理解和掌握相应的计算。

例如：

某人向银行存入5000元，在利率为多少时才能保证在未来10年中每年末收到750元？ 5000/750=6.667 或 750*m=5000

查年金现值表，期数为10，利率i=8%时，系数为6.710；利率

误差线是通常用于统计或科学数据，显示潜在的误差或相对于系列中每个数据标志的不确定程度。误差线可以用标准差（平均偏差）或标准误差，一般通用的是这两个，如果是发英文文章，在caption 中加以上bars donate S.D.（标准差）or S.E.(标准误差），中文文章可以不用说明。二两种误差区别做误差线的话，标准差（std. deviation）和标准误（std.error）都可以，两者的侧重点不一样，一般用标准差（std. deviation）。

1、为数据系列添加误差线

单击需要为其添加误差线的数据系列。

在“格式”菜单上，单击“数据系列”命令。

在“误差线X”选项卡或“误差线Y”选项卡上，选择所需的选项。

2、修改误差线设置

对于任何一条误差线所做的更改，将影响与之相关的数据系列的所有误差线。

单击需要修改其误差线的数据系列。

在“格式”菜单上，单击“数据系列”命令。

根据需要，单击“误差线Y”选项卡或“误差线X”选项卡。

如果要选择不同类型的误差线，单击“显示方式”选项框中所需的类型。

如果要修改进行误差计算的方法，请在“误差量”选项框中选择所需方法。要修改自定义误差量，单击“自定义”选项按钮，在“+”

和“-”编辑框中，指定将要用作误差量数值的工作表区域

误差线是通常用于统计或科学数据，显示潜在的误差或相对于系列中每个数据标志的不确定程度。误差线可以用标准差（平均偏差）或标准误差，一般通用的是这两个，如果是发英文文章，在caption 中加以上bars donate S.D.（标准差）or S.E.(标准误差），中文文章可以不用说明。二两种误差区别做误差线的话，标准差（std. deviation）和标准误（std.error）都可以，两者的侧重点不一样，一般用标准差（std. deviation）。

1、为数据系列添加误差线

单击需要为其添加误差线的数据系列。

在“格式”菜单上，单击“数据系列”命令。

在“误差线X”选项卡或“误差线Y”选项卡上，选择所需的选项。

2、修改误差线设置

对于任何一条误差线所做的更改，将影响与之相关的数据系列的所有误差线。

单击需要修改其误差线的数据系列。

在“格式”菜单上，单击“数据系列”命令。

根据需要，单击“误差线Y”选项卡或“误差线X”选项卡。

如果要选择不同类型的误差线，单击“显示方式”选项框中所需的类型。

如果要修改进行误差计算的方法，请在“误差量”选项框中选择所需方法。要修改自定义误差量，单击“自定义”选项按钮，在“+”

和“-”编辑框中，指定将要用作误差量数值的工作表区域

例5.6.1给定以下数据, 求出三次样条函数，并计算函数分别在-0.15，-0.05，0.05，0.18，0.25处的近似值，并作图。

x y 解：编程如下: clear

x=[0.1,0.2,0.15,0,-0.2,0.3];y=[0.95,0.84,0.86,1.06,1.50,0.72]; pp=spline(x,y); pp.coefs

xx=[-0.15,-0.05,0.05,0.18,0.25]; yy=ppval(pp,xx) %or:yy=spline(x,y,xx) fnplt(pp,'k') hold on plot(x,y,'o') hold on plot(xx,yy,'r*') 运行结果: ans =

-36.3850 21.8592 -5.1164 1.5000 -36.3850 0.0282 -0.7390 1.0600 227.6995 -10.8873 -1.8249 0.9500 -143.0047 23.2676 -1.2059 0.8600 -143.0047 1.8169 0.0484 0.8400 yy =

插值就是已知一组离散的数据点集，在集合内部某两个点之间预测函数值的方法。

一、一维插值

插值运算是根据数据的分布规律，找到一个函数表达式可以连接已知的各点，并用此函数表达式预测两点之间任意位置上的函数值。

插值运算在信号处理和图像处理领域应用十分广泛。

1．一维插值函数的使用

若已知的数据集是平面上的一组离散点集(x,y)，则其相应的插值就是一维插值。MATLAB中一维插值函数是interp1。

y=interp([x,]y,xi,[method],['extrap'],[extrapval])，[]代表可选。 method：'nearest'，'linear'，'spline'，'pchip'，'cubic'，'v5cubic'。

此m文件运行结果：

放大π/2处：

2．内插运算与外插运算

（1）只对已知数据点集内部的点进行的插值运算称为内插，可比较准确的估测插值点上的函数值。 （2）当插值点落在已知数据集的外部时的插值称为外插，要估计外插函数值很难。

MATLAB对已知数据集外部点上函数值的预测都返回NaN，但可通过为interp1函数添加'extrap'参数指明也用于

MATLAB拉格郎日插值法与牛顿插值法构造插值多项式

姓名：樊元君 学号：2012200902 日期：2012.10.25

1.实验目的：

掌握拉格郎日插值法与牛顿插值法构造插值多项式。

2.实验内容：

分别写出拉格郎日插值法与牛顿插值法的算法，编写程序上机调试出结果，要求所编程序适用于任何一组插值节点，即能解决这一类问题，而不是某一个问题。实验中以下列数据验证程序的正确性。 已知下列函数表

求x=0.5635时的函数值。

MATLAB拉格郎日插值法与牛顿插值法构造插值多项式

3.程序流程图：

● 拉格朗日插值法流程图：

MATLAB拉格郎日插值法与牛顿插值法构造插值多项式

●牛顿插值法流程图：

MATLAB拉格郎日插值法与牛顿插值法构造插值多项式

4.源程序：

● 拉格朗日插值法：

function [] = LGLR(x,y,v)

x=input('X数组=：');

y=input('Y数组=');

v=input('插值点数值=：');

n=length(x);

u=0;

for k=1:n

t=1;

for j=1:n

if j~=k

t=t*(v-x(j))/(x(k)-x(j));

end

end

u=u+t*y(k);

end

disp('插值结果=');

2. 下列数据表示从1790年到2000年的美国人口数据

年份 1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 1890 人口 3 929 000 5 308 000 7 240 000 9 638 000 12 866 000 17 069 000 23 192 000 31 443 000 38 558 000 50 156 000 62 948 000 年份 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 人口 75 995 000 91 972 000 105 711 000 122 755 000 131 669 000 150 697 000 179 323 000 203 212 000 226 505 000 248 710 000 281 416 000

求能够相当好地拟合该数据的动力系统模型。通过画出模型的预测值和 数据值来测试你的模型。

year=[1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 1890 1900 1910 1920 1930 1

实验目的[1] 了解一维插值的基本原理，了解拉格朗日插值、线性插值、样条插值的基本思想；[2] 掌握用MATLAB计算三种一维插值的方法，并对结果作初步分析；[3]通过实例学习如何用插值方法解决实际问题。[4]通过撰写实验报告，促使自己提炼思想，按逻辑顺序进行整理，并以他人能领会的方式表达自己思想形成的过程和理由。提高写作、文字处理、排版等方面的能力。上一页下一页主页主要内容插值基本原理分段线性插值拉格朗日插值插值基本方法三次样条插值用MATLAB作插值计算引言与引例插值方法的比较和总结范例地图绘制问题估计水塔的水流量上一页返回下一页主页引y???????言y??++++x+xy=g(x)（很复杂、或未知或无封闭形式）实验观测数据(xi,yi),i=0,1,…，ny=f(x)近似表示y=g(x)上一页下一页主页引y???????言y??++++x+x函数f(x)的产生办法：插值和拟合。第一步:适当选择函数的形式；第二步:确定函数的参数。上一页下一页主页

引例：机床加工机翼下轮廓线X=0 3 5 7 9 11 12 13 14 15yY=0 1.2 1.7 2 2.1 2 1.8 1.2 1

第二章 插值（第1页/共9页）

第二章 函数的插值

1．下列函数表（表18）中的数字都是有效数字。

（1）通过ctgx的函数表，进行插值，求ctg(0.0015)，并估计误差； 解：先作差分表：

xctgx0.0011000.000?500.0010.0020.0030.0040.005499.999?166.667333.332?83.333249.999?50.001199.99833.33283.334?50.002333.334?250199.998

取 x1?0.001,h?0.001,x?0.0015?x1?ph,p?0.5,则由表初公式有：

p(0.0015)?1000?500.001?0.5?333.334?p(p?1)(p?2)(p?3)4!?684.89533281?199.998?又由：(ctgx)(5)p((p?1)p(p?1)(p?2)?250?2!3!

??120sin?6x?120sin?4x?16sin2x,所以误差为：

f(5)(?)ctg(0.0015)?p4(0.0015)?p(p?1)(p?2)(p?3)(p?4)h5?3281.25

5!（2）通过sinx和cosx的函数表进行插值，求ct