Gauss消去法和LU分解法的比较

数值试验报告分析

一、实验名称：解线性方程组的列主元素高斯消去法和LU分解法 二、实验目的及要求：

通过数值实验，从中体会解线性方程组选主元的必要性和LU分解法的优点，以及方程组系数矩阵和右端向量的微小变化对解向量的影响。

三、算法描述：

本次试验采用的是高斯列主元消去法和LU分解法求解线性方程组的解。

其中，高斯消去法的基本思想是避免接近于零的数作分母；能进行到底的条件:当A可逆时，列主元Gauss(高斯）消去法一定能进行到底。

优点:具有很好的数值稳定性；具有与顺序Gauss消去法相同的计算量。列主元Gauss(高斯）消去法的精度显著高于顺序Gauss(高斯）消去法。 注意:省去换列的步骤，每次仅选一列中最大的元。

矩阵的三角分解法是A=LU,L是下三角阵，U是上三角阵,Doolittle分解:L是单位下三

角阵，U是上三角阵；Crout分解:L是下三角阵，U是单位上三角阵。矩阵三角分解的条件 是矩阵A有唯一的Doolittle分解的充要条件是A的前n-1顺序主子式非零；矩阵A有唯一的Crout分解的充要条件是A的前n-1顺序主子式非零。三角分解的实现是通过

(1)Doolittle分解的实现； (2)Doolitt

数值试验报告分析

一、实验名称：解线性方程组的列主元素高斯消去法和LU分解法 二、实验目的及要求：

通过数值实验，从中体会解线性方程组选主元的必要性和LU分解法的优点，以及方程组系数矩阵和右端向量的微小变化对解向量的影响。

三、算法描述：

本次试验采用的是高斯列主元消去法和LU分解法求解线性方程组的解。

其中，高斯消去法的基本思想是避免接近于零的数作分母；能进行到底的条件:当A可逆时，列主元Gauss(高斯）消去法一定能进行到底。

优点:具有很好的数值稳定性；具有与顺序Gauss消去法相同的计算量。列主元Gauss(高斯）消去法的精度显著高于顺序Gauss(高斯）消去法。 注意:省去换列的步骤，每次仅选一列中最大的元。

矩阵的三角分解法是A=LU,L是下三角阵，U是上三角阵,Doolittle分解:L是单位下三

角阵，U是上三角阵；Crout分解:L是下三角阵，U是单位上三角阵。矩阵三角分解的条件 是矩阵A有唯一的Doolittle分解的充要条件是A的前n-1顺序主子式非零；矩阵A有唯一的Crout分解的充要条件是A的前n-1顺序主子式非零。三角分解的实现是通过

(1)Doolittle分解的实现； (2)Doolitt

数值分析上机报告

1． 考虑方程组

?0.4069x1?0.1234x2?0.3678x3.?0.2943x4?0.4043?0.2246x?0..3872x?0.4015x?0.1129x?0.1550?123.4 ?x3.?0.0643x4?0.4240?0.3645x1?0.1920x2?0.3781??0.1784x1?0.4002x2?0.2786x3.?0.3927x4??0.2557（1） 用Gauss消去法解所给方程组（用四位小数计算）；

（2） 用列主元素消去法解所给方程组并且与（1）比较结果。 1． Matlab程序 >> clear

A=input('输入系数矩阵A：'); b=input('输入b向量（按行向量）：'); B=[A b']; n=length(b); RA=rank(A); RB=rank(B); zhica=RB-RA; if zhica>0,

disp('请注意：因为RA~=RB，所以此方程组无解.\\n') return end

if RA==RB if RA==n

fprintf('请注意：因为RA=RB=%d，所以此方程组有唯一解.\\n',n)

例：用Gauss 列主元消去法、QR 方法求解如下方程组：

12342212141

312.4201123230x x x x ?????? ? ? ?- ? ? ?= ? ? ?-- ? ? ???????

1. 1）Gauss 列主元法源程序：

function x=Gauss(A,b)

[m,n]=size(A);

if m~=n

error('矩阵不是方阵')

return

end

B=[A,b];

n=length(A);

for j=1:n-1

q=[zeros(j-1,1);B(j:n,j)];

[c,r]=max(abs(q)); %c 为列主元，r 为所在行

if r~=j

temp=B(j,:); %交换两行

B(j,:)=B(r,:);

B(r,:)=temp;

end

for i=j+1:n

B(i,:)=B(i,:)-B(j,:)*(B(i,j)/c);

end

end

x(n)=B(n,n+1)/B(n,n);

for i=n-1:-1:1

for j=i:n-1

B(i,n+1)=B(i,n+1)-B(i,j+1)*x(j+1);

end

x(i)=B(i,n+1)/B(i,i);

end

2)在命令窗口输入A

计算方法实验报告（三）

班级：地信10801 序号： 姓名：

一、实验题目：Gauss完全主元素消去法解方程组 二、实验学时: 2学时 三、实验目的和要求

1、掌握高斯完全主元素消去法基础原理 2、掌握高斯完全主元素消去法解方程组的步骤 3、能用程序语言对高斯完全主元素消去法进行编程实现

四、实验过程代码及结果

1. 代码

#include #include #include\float a[100][101]; float x[10]; int N; //阶数

void shuchu() { for(int i=1;i<=N;i++) { for(int j=1;j<=N+1;j++) { cout<

}

cout<

}

}

void initdata() { cout<<\请输入阶数N：\ cin>>N; cout<

cout<<\请输入N*(N+1)个数\输入矩阵中的数

1

for(int i=1;i<=N;i++) for(int j=1;j<=N+1;j++) { cin>>a[i][j];

}

cout<

cout<<\建立的矩阵为：\ //打印出矩阵 shuchu();

}

void main() { int z[10]; int maxi,maxj; initdata();

for(int i=1;i<=N;i++) z[i]=i;

for(int k=1

一、问题分析及算法描述

编写程序，分别用列主元的Gauss消去法和LU分解法求解下面线型代数方程组AX=b的解，其中A为N×N矩阵，N=50，其中第i(i≥1)行、第j(i≥1)列元素

1i+j?1

aij=

，

右端向量b的第i(i≥1)个分量为

10i+j?1

bi= Nj=1

.

列主元素Gauss消去过程中，要用到两种初等行变换。第一种，交换两行的位置；第二种，用一个数乘某一行加到另一行上。在第k次消元之前，先对增广矩阵 A(k),b(k) 作第一种行变换，使得aik中绝对值最大的元素交换到第k行的主对角线位置上，然后再使用第二种行变换进行消元。如此往复，最后得到一个上三角系数矩阵，并回代求解解向量。由于每次消元前选取了列主元素，因此与顺序Guass消元法相比，可提高数值计算的稳定性，且其计算量与顺序Guass消元法相同。列主元的Gauss消去法要求系数矩阵A非奇异。

(k)

LU分解法，即通过一系列初等行变换将系数矩阵A分解成一个下三角矩阵L与一个上三角矩阵U的乘积，进一步通过求解两个三角矩阵得出解向量。若L为单位下三角矩阵，U是上三角矩阵，则称为Doolittle分解；若L为下三角矩阵，U是单位上三角矩阵，则称为Crout分解。若系数矩阵A

6w2h和wbs

这两个方法是工作中用作比较多的。六合分析法是世界观中的方法论，wbs是方法论。 六合分析法是一种逻辑框架，帮助提点思考。Which，why，what，是内在的，本质的。When,where,who,是外在的，还有how 和 howmuch。六合分析法能够很快的掌握陌生领域的知识。下面以“银行准备金率”为例子说明。

银行准备金率

What：是什么？存款准备金是指金融机构为保证客户提取存款和资金清算需要而准备的在中央银行的存款，中央银行要求的存款准备金占其存款总额的比例就是存款准备金率。

Where：用在什么地方？限制金融机构信贷扩张和保证客户提取存款和资金清算需要。

When:什么时候调？2011年以来，央行以每月一次的频率，连续四次上调存款准备金率。2011年6月14日，央行宣布上调存款准备金率0.5个百分点。2011年12月，央行三年来首次下调存款准备金率；2012年2月，存款准备金率再次下调，专家称预计年内存准率或下调2至4次。

Which：选择？超额储备金、存款准备金利率

Who:使用对象？金融机构

Why:为什么要有？1、流动性过剩造成的通货膨胀，上调准备金率可以有效降低流动性。2、因为美国的信贷危机

Jacobi

迭代法与Gauss-Seidel迭代

法算法比较

目录

1 引言 .............................................................................................................................................. 1

1.1 Jacobi迭代法 .................................................................................................................... 2 1.2 Gauss-Seidel迭代法 .......................................................................................................... 2 1.3 逐次超松弛（SOR）迭代法 ...................................................

消去法解题

〖数学广角〗

在一些应用题中，会同时出现两个或两个以上并列的未知数，并给出相应的几个等量关系。这类习题适合列出一次方程组求解，但在小学阶段常用消去法解答此类应用题。即根据题中数据特点，通过分析比较，去同存异，设法抵消掉其中的一个或两个未知数，只剩下的一个未知数。先求出剩下的这个未知数，再根据题中数量关系，求出其它的未知数。这种解决问题的策略方法就叫做消去法。消去法是一种很重要的数学思想方法，也是初中解答一次方程组的主要方法之一。适当渗透，有利于孩子的后续学习。

应用消去法解答较复杂的的应用题，需要运用到等式的基本性质：

在等式的两边同时乘以或除以同一个数（0除外），等式仍然成立。

根据这个性质可以将题目中所给的条件适当转化，设法使题中某一项在前后不同的等量关系中，具有相等的数量，从而可以抵消掉这一项。

解题策略：先梳理好题目给出的条件，列出相应的等量关系式，在每个等量关系式中按相同的顺序排列不同的未知项，便于分析、比较、转化条件、抵消未知项、求解。

〖智慧密码〗

例1：买3条毛巾6把牙刷要花12.3元，买同样的3条毛巾9把牙刷要花14.7元，每条毛巾和每把牙刷各多少元？

思路点睛：

通过比较，毛

三对角与块三对角方程组课程设计

一、基于高斯消元法的三对角方程组求解

三对角矩阵是一类重要的特殊矩阵，在数学计算和工程计算中有广泛应用。例如，二阶常微分方程边值问题数值求解，一维热传导方程数值求解，以及三次样条函数计算等都会涉及到三对角方程组求解。由于三对角矩阵的稀疏性质，用直接法求解三对角方程组的算法效率较高，很有实用价值。

考虑n阶三对角矩阵和n维向量

?f1???1?1??f??????122?，f??2? A =???????????????n?1n???fn?求解方程组 Ax = f 的高斯消元法的程序如下

function f=triGauss(gama,alpha,bata,f)

%Solving TriDiag(gama,alpha,bata)systems by Gauss method n=length(alpha); for k=1:n-1

m=gama(k)/alpha(k);

alpha(k+1)=alpha(k+1)-m*bata(k); f(k+1)=f(k+1)-m*f(k); end

f(n)=f(n)/alpha(n); for k=n-1:-1:1

f(k)=(f(k)-bata