一维连续性随机变量的函数分布

第三节 二维随机变量函数的分布

在实际应用中，有些随机变量往往是两个或两个以上随机变量的函数. 例如，考虑全国年龄在40岁以上的人群，用X和Y分别表示一个人的年龄和体重，Z表示这个人的血压，并且已知Z与X，Y的函数关系式

Z?g(X,Y), 现希望通过(X,Y)的分布来确定Z的分布. 此类问题就是我们将要讨论的两个随机向量函数的分布问题.

在本节中，我们重点讨论两种特殊的函数关系: (i) Z?X?Y;

(ii) Z?max{X,Y}和Z?min{X,Y}，其中X与Y相互独立.

注：应指出的是，将两个随机变量函数的分布问题推广到n个随机变量函数的分布问题只是表述和计算的繁杂程度的提高，并没有本质性的差异.

内容分布图示

★ 引言

★ 离散型随机向量的函数的分布

★ 例1 ★ 例2

★ 连续型随机向量的函数的分布 ★ 连续型随机向量函数的联合概率密度 ★ 和的分布 ★ 例6 ★ 正态随机变量的线性组合

★ 例8 ★ 例9 ★ 商的分布 ★ 例11 ★ 积的分布 ★ 最大、最小

一、单项选择题

1 设离散型随机变量X的概率分布为 X 0 P 0.25 则c?（ ）. A.

1 0.5 2 c 1111 B. C. D. 84322．某学习小组有4名男生2名女生共6个同学，从中任选2人作为学习小组长，设随机变

量X为2人中的女生数，则X的分布列为 （ ） A. X 1 2 B. X 0 1 C. X 0 1 2 D. X 0 1 2 81 28 281 111 P P P P 151551551515333

3．下列各函数可作为随机变量分布函数的是 （ ）

?0x?0??1x??1?0x?0?2x0?x?1??? A.F1(x)?? B.F2(x)??x0?x?1 C.F3(x)??x?1?x?1 D.F4(x)??2x0?x?1

?0其他?1x?1?1?2x?1x?1???4．设F1(x)与F2(x)分别为随机变量X1与X2的分布函数，为使F(x)?aF1(x)?b

2.1 随机变量及其

分布函数一、随机变量 二、分布函数

一、随机变量例1 抛一枚硬币,观察正面 1,反面 2出 现的情况: 样本空间 ={ 1, 2} 引入一个定义在 上的函数 X : 1, 1 X X ( ) 0, 2

由于试验结果的出现是随机的,因此 X( )的取值也是随机的

例2 从包含两件次品(a1,a2)和三件正品 (b1,b2,b3)的五件产品中任意取出两件:样本空间为: ={{a1,a2},{a1,b1},{a1,b2},{a1,b3},{a2,b1}, {a2,b2},{a2,b3},{b1,b2},{b1,b3},{b2,b3}}

以X表示抽取的两件产品中包含的 次品个数,则X是定义在 上的一个函数 即 X=X( ),

具体写出这个函数如下: 0 , ( b 1 , b 2 ), ( b 1 , b 3 ), ( b 2 , b 3 ) 1 , ( a 1 , b 1 ), ( a 1 , b 2 ), ( a 1 , b 3 ) X X ( ) ( a 2 , b 1 ), ( a 2 , b 2 ), ( a 2 , b 3 ) 2,

2.1 随机变量及其

分布函数一、随机变量 二、分布函数

一、随机变量例1 抛一枚硬币,观察正面 1,反面 2出 现的情况: 样本空间 ={ 1, 2} 引入一个定义在 上的函数 X : 1, 1 X X ( ) 0, 2

由于试验结果的出现是随机的,因此 X( )的取值也是随机的

例2 从包含两件次品(a1,a2)和三件正品 (b1,b2,b3)的五件产品中任意取出两件:样本空间为: ={{a1,a2},{a1,b1},{a1,b2},{a1,b3},{a2,b1}, {a2,b2},{a2,b3},{b1,b2},{b1,b3},{b2,b3}}

以X表示抽取的两件产品中包含的 次品个数,则X是定义在 上的一个函数 即 X=X( ),

具体写出这个函数如下: 0 , ( b 1 , b 2 ), ( b 1 , b 3 ), ( b 2 , b 3 ) 1 , ( a 1 , b 1 ), ( a 1 , b 2 ), ( a 1 , b 3 ) X X ( ) ( a 2 , b 1 ), ( a 2 , b 2 ), ( a 2 , b 3 ) 2,

大学教学课件,PPT,随机过程,概率论

第三节

随机变量的分布函数

一、分布函数的概念 二、分布函数的性质 三、例题讲解 四、小结

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一、分布函数的概念1.概念的引入对于随机变量X, 我们不仅要知道X 取哪些值, 要知道 X 取这些值的概率 ; 而且更重要的是想知 道 X 在任意有限区间(a,b)内取值的概率. 例如 求随机变量 X 落在区间 ( x1 , x2 ] 内的概率P{ x1 X x2 } P{ X x2 } P{ X x1 }

?

F ( x2 ) P{ x1 X x2 } F ( x2 ) F ( x1 ).

F ( x1 ) 分布 函数

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2.分布函数的定义定义 设 X 是一个随机变量, x 是任意实数,函数 F ( x ) P{ X x } 称为X的分布函数.

说明 (1) 分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值 的概率情况.( 2)分布函数 F ( x ) 是 x 的一个普通实函数.

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实例

抛掷均匀硬币, 令 1, X 0, 出正面, 出反面.

求随机变量 X 的分

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第三节

随机变量的分布函数

一、分布函数的概念 二、分布函数的性质 三、例题讲解 四、小结

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一、分布函数的概念1.概念的引入对于随机变量X, 我们不仅要知道X 取哪些值, 要知道 X 取这些值的概率 ; 而且更重要的是想知 道 X 在任意有限区间(a,b)内取值的概率. 例如 求随机变量 X 落在区间 ( x1 , x2 ] 内的概率P{ x1 X x2 } P{ X x2 } P{ X x1 }

?

F ( x2 ) P{ x1 X x2 } F ( x2 ) F ( x1 ).

F ( x1 ) 分布 函数

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2.分布函数的定义定义 设 X 是一个随机变量, x 是任意实数,函数 F ( x ) P{ X x } 称为X的分布函数.

说明 (1) 分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值 的概率情况.( 2)分布函数 F ( x ) 是 x 的一个普通实函数.

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实例

抛掷均匀硬币, 令 1, X 0, 出正面, 出反面.

求随机变量 X 的分

概率论

★第一节 随机变量

★第二节 离散型随机变量★第三节 连续型随机变量 ★第四节 随机变量函数的分布

返回

第二章 一维随机变量及其分布

基本要求1.掌握随机变量的概念,熟悉一维离散型和连续型随机变量; 2.会求简单的一维离散型随机变量的分布律; 3.熟记并能应用分布律和分布密度的性质; 4.深刻理解分布函数的定义和性质; 5.在已知分布律或分布密度的条件下,能熟练地求出分布函数和 有关的概率; 6.记住几个常用分布, 熟悉它们的特性.

重 难

点 点

分布律和分布密度. 分布函数的求法 8返回

学时数

第二章 一维随机变量及其分布

第一节 随机变量与分布函数一、一维随机变量的定义定义1 设 { }为随机试验E的样本空间, ( )(或X ( ))是 定义在 上的单值实函数, 如果对任意实数x,{ ( ) x}是 一随机事件, 则称 ( )为随机变量.记为 或X .

例2.1 E为" 抛硬币" , 正面记1, 反面记0, 则

1 ( ) 0

出现正面 出现反面返回

第二章 一维随机变量及其分布

例2.2 各面涂漆的正方体,将每条棱10等分,锯成1000个 小正方体,观察每个小正方体涂漆的面

第四章 大数定律与中心极限定理

4.1特征函数

内容提要

1. 特征函数的定义 设X 是一个随机变量,称)()(itX e E t =?为X 的特征函数,其表达式如下

(),()().(), 在离散场合， 在连续场合，itx i i itX itx x e P X x t E e t e p x dx ?+∞-∞

?=?==-∞<<+∞???∑? 由于1sin cos 22=+=tx tx e itx ,所以随机变量X 的特征函数)(t ?总是存在的.

2. 特征函数的性质 (1) 1)0()(=≤??t ; (2) ),()(t t ??=-其中)(t ?表示)(t ?的共 轭;

(3) 若Y =aX +b ,其中a ,b 是常数.则);()(at e t X ibt Y ??=

(4) 若X 与Y 是相互独立的随机变量,则);()()(t t t Y X Y X ????=+

(5) 若()l E X 存在,则)(t X ?可l 次求导,且对l k ≤≤1,有);()0()(k k k X E i =?

(6) 一致连续性 特征函数)(t ?在),(+∞-∞上一致连续

(7) 非负定性 特征函数)(t ?是非负定的,即对任意正整数n ,及n 个实数n t t t ,,,21 和n 个复数n z z z ,,21,有 ;0)(11≥-∑

第三章 多维随机变量及其分布

随机向量的定义：

随机试验的样本空间为S={?}，若随机变量X1(?),X2(?),…,Xn(?)定义在S上，则称（X1(?),X2(?),…,Xn(?)）为n维随机变量（向量）。简记为（X1,X2,…,Xn）。

二维随机向量（X,Y），它可看作平面上的随机点。

对（X,Y）研究的问题： 1．（X,Y）视为平面上的随机点。研究其概率分布——联合分布率、联合分布函数、联合概率密度；Joint

2．分别研究各个分量X,Y的概率分布——边缘（际）分布律、边缘分布函数、边缘概率密度；

marginal

3．X与Y的相互关系；

4．（X,Y）函数的分布。

§ 3.1 二维随机变量的分布

一．离散型随机变量 1．联合分布律

定义3.1 若二维随机变量(X,Y)可能取的值(向量)是有限多个或可列无穷多个,则称(X,Y) 为二维离散型随机变量。

设二维离散型随机变量(X,Y)可能取的值(xi,yj), i，j=1,2…,取这些值的概率为

pij=P{(X,Y)=(xi,yi)}=p{X=xi,Y=yi}i,j=1,2,…

随机变量

第2 9卷第 3期20 0 9年 5月

大庆师范学院学报

Vo _ 9 o 3 l 2 N .Ma, 0 9 y2 0

J U N LO A I GN R LU IE ST O R A FD Q N O MA NV R IY

连续型随机变量的概率密度函数和独立性郭英，张宏礼，苫社，王徐艳

(黑龙江八一农垦大学文理学院，龙江大庆 1 3 1 )黑 6 3 9

摘

要：续型随机变量在分布函数的非连续导数点，何求概率密度函数值，何判定两个连续型随机变量的独连如如

立性 .有研究价值的问题。结合实例分析得出结论：分布函数的非连续导数点是有限个或可列个时，是在只要将概率 密度函数适当辛充定义，之在负无穷到正无穷之间有定义，卜使即可满足要求；两个连续型随机变量，须在一个非零必测度集上满足联合概率密度函数不等于两个边缘概率密度函数的乘积时，能说明二者不独立。才 关键词：率论；续型随机变量；率密度函数；布函数；立性概连概分独

作者简介：郭英 (9 7 )女，龙江宁安人，龙江八一农垦大学文理学院数学系讲师， 17一，黑黑从事随机微分方程、随机动力系统的研究。

基金项目：0 7年黑龙江省高等学校教学改革工程项目：信息与计算科学专业课程体系的建设与应用型人才培养 2