数学几何空间平行和垂直

空间几何平行与垂直证明 线面平行

方法一：中点模型法

例：1.已知在四棱锥P-ABCD中，ABCD为平行四边形， E为PC的中点. 求证：PA//平面BDE P D A

练习：

1.三棱锥P_ABC中，PA?AB?AC，?BAC?120?，PA?平面ABC， 点E、F 分别为线段PC、BC的中点，

（1）判断PB与平面AEF的位置关系并说明理由； （2）求直线PF与平面PAC所成角的正弦值。 B

ECBPEAFC2．如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD.DB平分∠ADC，E为PC的中点，AD＝CD.

(1)证明：PA∥平面BDE； (2)证明：AC⊥平面PBD.

3.已知空间四边形ABCD中，E,F,G,H分别为

A AB,BC,CD,DA的中点.

求证：AC//平面EFG. HE

DG

B FC

4.已知空间四边形ABCD中，E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点. 求证：EF //平面BGH. A

H E

D G BF

方法二：平行四边形法

例：1.已知在四棱锥P-ABCD中，ABCD为平行四边形，E为P

空间几何平行垂直证明专题训练

? 知识点讲解

一、“平行关系”常见证明方法 （一）直线与直线平行的证明

1) 利用某些平面图形的特性：如平行四边形的对边互相平行 2) 利用三角形中位线性质

3) 利用空间平行线的传递性:m//a,m//b?a//b

平行于同一条直线的两条直线互相平行。 4) 利用直线与平面平行的性质定理：

如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

a∥?a??β

a b

?a∥bα

????b5）利用平面与平面平行的性质定理：

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．

6）利用直线与平面垂直的性质定理： 垂直于同一个平面的两条直线互相平行。

a?? b???a∥b7）利用平面内直线与直线垂直的性质：

a?//???????a??a//b????b??b?在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 8）利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点

（二）直线与平面平行的证明

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1) 利用直线与平

《垂直与平行》说课稿

尊敬的各位评委、各位老师： 大家好！

我今天说课的内容是，人教版数学教材第七册第五单元的内容《垂直与平行》 一、说教材

《垂直与平行》是人教版四年级第五单元《平行四边形和梯形》的第一课时，直线的平行与垂直是在学生认识了点和线段以及射线、直线的基础上安排的，也是进一步学习空间与图形的重要基础之一。垂直与平行是同一平面内两条直线的两种特殊的位置关系，在生活中有着广泛的应用，生活中随处可见平行与垂直的原型。学生的头脑里已经积累了许多表象，因此教学中让学生在具体的生活情境中，充分感知平面上两条直线的平行和垂直关系。本课时主要解决平行和垂直的概念问题。 二、说教法

本节课我依据学生已有的生活经验和知识为基础，从学生出发，以《数学课程标准》的新理念为指导，遵循学生的认知规律，由生活实例引入，通过猜测、动手画线、图形反馈使学生系统深入地掌握知识，以及运用分类、观察、讨论等方法以拉近学生与知识的距离，从而揭示出平行与垂直的概念，最后加以巩固、提高与应用。 三、说学法

学生作为主体，在学习活动中的参与状态和参与度是决定教学效果

的重要因素，因此，在学法的选择上，体现出（课件显示5：学生）：“玩中学——学中玩——合作交流中学

高中数学立体几何平行与垂直练习题

立体几何-平行与垂直练习题

1. 空间四边形SABC中，SO 平面ABC，O为 ABC的垂心， 求证：（1）AB 平面SOC（2）平面SOC 平面SAB

A

C

2. 如图所示，在正三棱柱ABC- A1B1C1中，E，M分别为BB1，A1C的中点，求证： （1） EM 平面A A1C1C; （2）平面A1EC 平面AA1C1C；

A

C

M

B

E

A1

B1

C1

3. 如图,矩形ABCD中,AD⊥平面ABE,BE=BC,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE,G为

AC与BD的交点.(1)求证:AE⊥平面BCE.(2)求证:AE∥平面BFD.

4. 设P,Q是边长为a的正方体AC1的面AA1D1D,面A1B1C1D1的中心,如图, （1）证明PQ∥平面AA1B1B

；（2）求线段PQ的长.

高中数学立体几何平行与垂直练习题

5. 如图,在四棱锥P-ABCD中，AB//DC，AB AD，BC 5，DC 3，PD 面ABCD，

（Ⅰ）当主视图方向与向量AD的方向相同时，画出四棱锥AD 4， PAD 60．

P ABCD的三视图.(要求标出尺寸);（Ⅱ）若M为PA的中点，求证：DM//面PBC．

6. 已知直四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面是菱形，且∠

空间直线

1. 空间两条直线的三种位置关系—相交、平行、异面. 2. 公理4 平行于同一直线的两条直线互相平行. 定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等. 推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.

3．异面直线所成的角

直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．

4．异面直线的距离

和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线．

两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离． [要点内容]

1．空间两条直线的三种位置关系—相交、平行、异面。相交直线和平行直线都是共面直线，异面直线是立体图形。

2．空间两直线的位置关系分类

从有无公共点的角度看，可分为两类：

（1）两条直线有且仅有一个公共点—相交直线；

3．异面直线概念的理解 “不同在

平行与垂直的综合应用

[基础要点]

指出每个箭头方向表示的定理： ⑴ ⑶ ⑸ ⑺ ⑼ ⑾ 题型一、平行关系的综合应用

⑵ ⑷ ⑹ ⑻ ⑽ ⑿

CA1

A

例1、如图示，正三棱柱ABC A1B1C1的底面边长为2，点E、F分别是棱上CC1,BB1的点，点M是线段AC上的动点，EC=2FB=2

（1）当点M在何位置时，MB∥平面AFE

（2）若MB∥平面AFE，判断MB与EF的位置关系，说明理由，并求MB与EF所成角的余弦值。

变式:如图示，在四面体ABCD中，截面EFGH平行于对棱AB和CD，试问：截面在什么位置时，其截面的面积最大？

题型二、垂直关系的综合应用

例2、如图示，已知平行六面体ABCD A1BC11D1的底面ABCD是菱形，且 C1CB C1CD BCD （1）求证：C1C BD

B1

FB

A

E

F

B

G

CH

D

D

（2）当

CD

的值为多少时，能使AC 平面C1BD?请给出证明 1

CC1

变式：平面 内有一个半圆，直径为AB，过A作SA⊥平面 ，在半圆上任取一点M，连SM、SB，且

平行与垂直

执教:福建省泉州师范附小 谢玉娓 点评：泉州市普教室 特级教师 卓和平

教学内容: 人教版九年义务教育六年制小学数学第8册第130—134页。(重组教材） 教学目标:

1.让学生结合生活情境,通过自主探究活动，初步认识平行线、垂线。 2.通过讨论交流，培养学生比较、分析、综合的思维能力和合作精神。

3.在对平行与垂直的认识活动中渗透分类的数学思想方法。

4.培养学生学以致用的习惯，体会数学的应用与美感，激发学生学习数学的兴趣，增强自信心。

教学重、难点：通过学生的自主探究活动，初步认识平行线与垂线。

教具准备:多媒体课件、铅笔、小棒、展示板、三角板、直尺、手工纸、挂图等。

[设计理念：本节课以人教版的教材内容为依托，以《数学课程标准》的新理念为指导，遵循学生的认知规律，力求创造性地使用教材。在课堂教学设计和实施中力求体现：1、注意创设生活情境，使数学学习更贴近学生；2、让学生通过动手实践、自主探索与合作交流的学习方式，自主完成对知识的建构；3、努力创设新型的师生关系，让课堂焕发生命活力；4、注重发挥评价的激励性作用，丰富学生的情感体验。]

教学过程:

一、创设情境，引入新课

师：今天，谢老师想向大家介绍一个新

平行与垂直

执教:福建省泉州师范附小 谢玉娓 点评：泉州市普教室 特级教师 卓和平

教学内容: 人教版九年义务教育六年制小学数学第8册第130—134页。(重组教材） 教学目标:

1.让学生结合生活情境,通过自主探究活动，初步认识平行线、垂线。 2.通过讨论交流，培养学生比较、分析、综合的思维能力和合作精神。

3.在对平行与垂直的认识活动中渗透分类的数学思想方法。

4.培养学生学以致用的习惯，体会数学的应用与美感，激发学生学习数学的兴趣，增强自信心。

教学重、难点：通过学生的自主探究活动，初步认识平行线与垂线。

教具准备:多媒体课件、铅笔、小棒、展示板、三角板、直尺、手工纸、挂图等。

[设计理念：本节课以人教版的教材内容为依托，以《数学课程标准》的新理念为指导，遵循学生的认知规律，力求创造性地使用教材。在课堂教学设计和实施中力求体现：1、注意创设生活情境，使数学学习更贴近学生；2、让学生通过动手实践、自主探索与合作交流的学习方式，自主完成对知识的建构；3、努力创设新型的师生关系，让课堂焕发生命活力；4、注重发挥评价的激励性作用，丰富学生的情感体验。]

教学过程:

一、创设情境，引入新课

师：今天，谢老师想向大家介绍一个新

平行与垂直习题

一、判断题

1．从直线外一点到这条直线所画的线段中，以和这条直线垂直的线段为最短。 1．过直线上或直线外一点，画一条直线与已知的直线垂直。

( )

2．两条平行线间所作的所有垂线相等。 ( )

二、选择题

1．两条直线互相垂直，可以组成几个直角，正确的是：[ ] A．2 B．1 C．4

2．过直线外一点，画已知直线的垂线，这样的垂线可以画 [ ] A．1条 B．2条 C．无数条

3．下面图中有几组垂线？正确的是： [ ] A．6组 B．10组 C．12组

三、填空题

1．从直线外一点画一条已知直线的垂线，可以画( )条。 2．两条直线相交成直角时，这两条直线叫做( )。 3．课桌面相邻的两条边是互相( )的。

4．( )叫做互相垂直，( )垂线，( )垂足。

5．过直线外一点画这条直线的垂线，这样的直线可以画( )条。

6．两条直线相交能组成（ ）个角．如果相交成直角时，这两条直线叫做（

四、作图题

2．过直线上或直线外一点，画一条直线与已知的直线垂直。

3．过直线外一点或过直线上一点画一条和这条直线垂直的直线。

4．过直线上或直线外一点，

第二讲 空间中的平行与垂直

类型一 空间线线、线面位置关系

1．线面平行的判定定理：a α，b α，a∥b a∥α.

2．线面平行的性质定理：a∥α，a β，α∩β＝b a∥b.

3．线面垂直的判定定理：m α，n α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n l⊥α. 4．线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α a∥b.

[例1] (2012年高考山东卷)在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB＝CD＝CF. (1)求证：BD⊥平面AED； (2)求二面角FBDC的余弦值．

[解析] (1)证明：因为四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°， 所以∠ADC＝∠BCD＝120°. 又CB＝CD，所以∠CDB＝30°， 因此∠ADB＝90°，即AD⊥BD.

又AE⊥BD，且AE∩AD＝A，AE，AD 平面AED， 所以BD⊥平面AED.

(2)解法一 由(1)知AD⊥BD，所以AC⊥BC.又FC⊥平面ABCD，因此CA，CB，CF两两垂直．

以C为坐标原点，分别以CA，CB，CF所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立如图(1)所示的空间直角坐标