梅加强数学分析答案12章

第2，3，11章 习题解答

习题2-1

1. 若自然数n不是完全平方数.证明n是无理数. 证明 反证法. 假若n?pq(p,q?N,且p,q互质)，于是由nq2?p2可知,q2是

p2的因子，从而得q2?1即p2?n,这与假设矛盾.

2. 设a,b是两个不同实数.证明在a和b之间一定存在有理数.

证明 不妨设a0, 所以存在正整数n,使得0

1

mm综上可得 na

nn3. 设x为无理数.证明存在无穷多个有理数

pq(p,q为整数，q?0)使得x?pq?1q2.

证明 反证法. 假若只有有限个有理数满足不等式,即

x?令

piqi<

1qi2 , (i?1,2,3?,m)

??p??min?x?ii?1,2,3,?,m?

qi??取 N:N?1, 且选取整数p,q(0?q?N), 使得 ?p111, x??N?2

qqqNp1??N???, qqq qx?p?但因q是正整数，故又有x?从而可知

习题2-2

ppi? (i?1,2,3,?m), 这与假设矛盾. qqi1．求下列数集的上、下确界. （1）?1???1??1? n?N?, （2）?(1?)nn?N?,

玉林师范学院课程期末考试试题参考答案及评分标准 （2006——2007学年度第二学期） 命题教师：梁志清 命题教师所在系：数计系 试卷类型：（A）

装

订 线 装 订 线

课程名称：数学分析Ⅳ 考试专业：数学与应用数学 年级： 2005

题号 应得分 一 20 二 15 三 42 四 7 五 16 总分 一 填空题 （每小题2分）

1 1； 2 (n?1)!； 3

2； 4 1； 5 1； 6 2?10dx?f(x,y)dy；

x17 x3?y3?3xy?c；8

2?6；9 ?a；10 。 34二 单项选择题 (每小题3分)

1 A； 2 B； 3 B； 4 D；5 C。

三 计算题

22 1 L：x?y?2y，令x?cos?,y?1?sin?,则0???2? ??2分

于是ds?d? ??3分

?(xL2?y)ds??2(1?sin?)d?

玉林师范学院课程期末考试试题参考答案及评分标准 （2006——2007学年度第二学期） 命题教师：梁志清 命题教师所在系：数计系 试卷类型：（A）

装

订 线 装 订 线

课程名称：数学分析Ⅳ 考试专业：数学与应用数学 年级： 2005

题号 应得分 一 20 二 15 三 42 四 7 五 16 总分 一 填空题 （每小题2分）

1 1； 2 (n?1)!； 3

2； 4 1； 5 1； 6 2?10dx?f(x,y)dy；

x17 x3?y3?3xy?c；8

2?6；9 ?a；10 。 34二 单项选择题 (每小题3分)

1 A； 2 B； 3 B； 4 D；5 C。

三 计算题

22 1 L：x?y?2y，令x?cos?,y?1?sin?,则0???2? ??2分

于是ds?d? ??3分

?(xL2?y)ds??2(1?sin?)d?

数学分析3练习题

一、填空题

xn1. 幂级数?的收敛域为 .

n!n?3xn2. 幂级数?的收敛域为 .

nn?3xn3. 幂级数?2的收敛域为 .

n?3n4.已知幂级数

????axnn?1?n在x?2处条件收敛，则它的收敛半径为 ．

225. 平面点集?x,y?1?x?y〈4的聚点是

??6. 函数z?x2?xy?y2?2x?y的极值点为 7.含参量反常积分一致收敛”）

8. 全微分?2x?siny?dx??xcosy?dy的原函数u?x,y?? 9. 若n为正整数，则?(n?1)? n! 10. 设F?x?????0cosxydx在(??,??)上 （填”一致收敛”或”不

1?x2?x2xe?xydy，则F??x??

211. 由方程y?x?1dysiny?0所确定的隐函数的导数?

dx2212.

?x,y???0,0?limsin?x2?y2?x?y2?

▇ ▇ 数学分析

《数学分析Ⅰ》第2讲 教学内容：实数系的连续性

第二章 数列极限

§2.1实数系的连续性

一． 实数系的产生（历史沿革）

从人类历史的开始，人类就逐步认识了自然数，1，2，3，?，n，?

自然数集 整数集 有理数集 实数集

解决的减法解决对除法?????????? ? 的封闭性的封闭性解决对开方?????的封闭性? ? ?

对加法封闭 对加减乘封闭 对加减乘除封闭 对减法不封闭 对除法不封闭 对开方不封闭

2000多年前，毕达哥拉斯学派认为：有理数集是最完美的数集；世界上的万事万物都可以用有理数表示。

但是，毕达哥拉斯的一个“叛逆”的学生，发现了边界为1的正方形的对角线长度不是一个有理数，即

数轴上点c不是一个有理数点。

例2.1.1设c?2，试证明：c不是一个有理数。

2p，则q222p2?c2q2?2q2，所以2|p，不妨设p?2p1，故(2p1)?2q，所以2p1?q， 所以2|q，记q?2q1，即p?2p1，q?2q1，这与 (p,q)

第九章 再论实数系

§1 实数连续性的等价描述

2．利用紧致性定理证明单调有界数列必有极限．

证明 设数列{xn}单调递增且有上界，则{xn}是有界数列，由紧致性定理知数列{xn}必有收敛子数列{xnk}，设limxnk?c，则由{xn}单调递增知c必为数列{xn}的上界，且根

k??据数列极限的定义知???0,?K,当k?K时，有xnk?c??，即

c???xnk?c??，

特别地 xnK?1?c??，

取N?nk?1，则当n?N?nk?1时，由数列{xn}单调递增且c为它的上界知

c???xnK?1?xn?c?c??，

即xn?c??，从而limxn?c，即单调递增有上界数列必有极限．

n?? 同理可证{xn}单调递减有下界时必有极限，因而单调有界原理成立．

3．用区间套定理证明单调有界数列必有极限．

证明 不妨假设数列{xn}单调递增有上界（{xn}单调递减有下界可同理证明)，即存在

b?R，使得a?x1?x2???xn???b，下证数列{xn}有极限．

若a?b，则{xn}为常驻列，故{xn}收敛，因而以下假设a?b． 取a1?a,b1?b，二等分区间[a1,b1]，分点为则令

《数学分析Ⅱ》期中考试题

一、选择题（每小题3分，共30分）

1、曲线2x2 +3y2 + z2 =9, z2 =3x2 + y2 在点 ( 1, -1, 2 )的法平面方程是（ 1 ）

A、8x+10y+7z-12=0； B、8x+10y+7z+12=0；C、8x -10y+7z-12=0； D、8x+10y+7z+12=0 2、L为单位圆周，则

??Lyds?（ 4 ）

A、1 B、2 C、3 D、4 3、L为从( 1, 1, 1 )到( 2, 3, 4 )的直线段，则

?Lzdx?xdz= （ 3 ）

A、3 B、5 C、7 D、9 4、

??x?y?13?x?y?dxdy=（ 2 ）

A、2 B、4 C、6 D、8 5、

?0?12dy?21?y1?x0f(x,y)dx，改变积分顺序得（ 1 ） f(x,y)dy B、?dx?121?x?11?x?1A、C、

??12dx?dx?f(x,y)dy f(x,y)dy

1?x01f(x,y)dy D、?dx?126、V=[-2, 5]?[

第十三章 函数项级数 应用题

第十三章

函数项级数 计算题

1．设S(x)=?ne?nx x>0，计算积分?ln3ln2S(t)dt

2．.判断级数?(?1)nxnn1?xn(x>0)的敛散性.

第十三章 函数项级数 计算题答案

1．?ne?nx在[ln2,ln3]上连续且一致收敛

?它在[ln2,ln3]可逐积分 (得4分)

??ln3?s(t)dt?ln3ne?nxdxln2?? (得6分)

n?1ln2? =?[(1)n?(1)n23]?1?1?1 (得8分)

n?11?121?12 32． 对交错级数?(?1)nn 由莱布尼兹判别法知它收敛 (得3分)

而

xn1?xn 当x>1时,单增有界 ; x=1时,值为

12 ; 当x<1时,单降为界 (得6分)

故由阿贝尔判别法知?(?1)nxnnn收敛

第九章 再论实数系

§1 实数连续性的等价描述

2．利用紧致性定理证明单调有界数列必有极限．

证明 设数列{xn}单调递增且有上界，则{xn}是有界数列，由紧致性定理知数列{xn}必有收敛子数列{xnk}，设limxnk?c，则由{xn}单调递增知c必为数列{xn}的上界，且根

k??据数列极限的定义知???0,?K,当k?K时，有xnk?c??，即

c???xnk?c??，

特别地 xnK?1?c??，

取N?nk?1，则当n?N?nk?1时，由数列{xn}单调递增且c为它的上界知

c???xnK?1?xn?c?c??，

即xn?c??，从而limxn?c，即单调递增有上界数列必有极限．

n?? 同理可证{xn}单调递减有下界时必有极限，因而单调有界原理成立．

3．用区间套定理证明单调有界数列必有极限．

证明 不妨假设数列{xn}单调递增有上界（{xn}单调递减有下界可同理证明)，即存在

b?R，使得a?x1?x2???xn???b，下证数列{xn}有极限．

若a?b，则{xn}为常驻列，故{xn}收敛，因而以下假设a?b． 取a1?a,b1?b，二等分区间[a1,b1]，分点为则令

《数学分析》(三)――参考答案及评分标准

一. 计算题（共8题，每题9分，共72分）。

111. 求函数f(x,y)?3xsin?3ysin在点(0,0)处的二次极限与二重极限.

yx11解： f(x,y)?3xsin?3ysin?3x?3y，因此二重极限为0.……(4分)

yx1111因为lim3xsin?3ysin与lim3xsin?3ysin均不存在，

x?0yxy?0yx故二次极限均不存在。 ……(9分)

?z?xf(x?y),?y?y(x),2. 设? 是由方程组?所确定的隐函数,其中f和F分别

F(x,y,z)?0z?z(x)??dz具有连续的导数和偏导数,求.

dx解： 对两方程分别关于x求偏导:

dy?dz?f(x?y)?xf?(x?y)(?1)， ??dxdx? ……(4分)

dydz?F?F?Fz?0。 xy?dxdx?dzFy?f(x?y)?xf?(x?y)(Fy?Fx)?解此方程组并整理得. ……(9分) dxFy?xf?(x?y)Fz

3. 取?,?为新自变量及w?w(?,v)为新函数，变换方程