关于解三角形的经典题及其答案

1.如图，已知等边△ABC，P在AC延长线上一点，以PA为边作等边△APE,EC延长线交BP于M，连接AM,求证：（1）BP=CE； （2）试证明：EM-PM=AM.

2..已知，如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB?AC，AD?AE，?BAC??DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点． （1）求证：①BE?CD；②AM?AN；

（2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180?，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立.

ECPMAB22题C C M B 图①

N A E D B M E 图② N D A

3.如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论：

① AD=BE； ② PQ∥AE； ③ AP=BQ；

B

O

D

④ DE=DP； ⑤ ∠AOB=60° ⑥CP=CQ ⑦△CPQ为等边三角形．

P Q ⑧共有2对全等三角

解三角形三类经典类型

类型一 类型二 类型三

判断三角形形状 求范围与最值 求值专题 类型一

判断三角形形状

2 2 2

例1已知△ ABC 中,bsinB=csinC,且sin A sin B sin C ,试判断三角形的形状. 解：T bsinB=csinC,由正弦定理得 sin 2 B=sin 2C ,「. sinB=sinC B=C

由sin 2A sin 2 B sin 2C 得a 2 b 2

c 2

三角形为等腰直角三角形.

例2:在厶ABC 中,若E =60 ,2 b=a+c,试判断△ ABC 的形状.

解：T2 b=a+c,由正弦定理得 2sinB=sinA+sinC,由 B=60 得 sinA+sinC= . 3 由三角形内角和定理知 sinA+sin( 120

A )= 3 ,整理得sin(A+ 30 )=1

二A+30 90，即A 60 ,所以三角形为等边三角形

2bc 整理得(a 2 b 2)(a 2 b 2 c 2)

0 ? a 2 b 2或a 2 b 2 c 2

即三角形为等腰三角形或直角三角形

例4：在厶ABC 中，(1)已知sinA=2cosBsinC ，试判断三角形的形状； (2)已知sinA= sin B sinC ，试判断三角形的形状.

安丘一中2011-2012学年高三数学学案 诚者，天之道也；诚之者，人之道也。

课题：解三角形 安丘一中 李钧

目标：掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；

重点、难点：（1）利用正、余弦定理求三角形中的边、角及其面积问题是高考考查的热点；（2）常与三角形等变换相结合，综合考查三角形中的边与角、三角形形状的判断等；（3）在平面解析几何、立体几何中常作为工具求角和两点间的距离问题。

【课内探究】

题型一：正弦定理、余弦定理的简单应用

〖例1〗在ΔABC中，已知a=7,b=3,c=5,求最大角和sinC 解答：由已知得coAs?b?c?2bc2222a>c>b,∴A

2为最大角。由余弦定理得：1232a3?5??2??37??52。又∵

0?A??1?A8?。 0??A,??1?方法一：由正弦定理得

asinA?csinC，∴sinC?csinAa5??32?53714，因此最

大角A为120?，sinC?531422。

方法二：cosC?a?b?c2ab2?7?3?52?7?35314222?1114。∵C为三角形的内角，∴C为锐

角。sinC=1?cosC?21

儒洋教育学科教师辅导讲义

学员姓名： 年 级： 课时数： 辅导科目： 学科教师： 课 题 授课时间： 教学目标 重点、难点 考点及考试要求 教学内容 1. 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 2. 三角形中的几条重要线段：

（1）三角形的角平分线（三条角平分线的交点叫做内心） （2）三角形的中线（三条中线的交点叫重心） （3）三角形的高（三条高线的交点叫垂心） 3. 三角形的主要性质

（1）三角形的任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边； （2）三角形的内角之和等于180°

（3）三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角，等于和它不相邻的两个内角的和； （4）三角形中，等角对等边，等边对等角，大角对大边，大边对大角； （5）三角形具有稳定性。

4. 补充性质：在?ABC中，D是BC边上任意一点，E是AD上任意一点，则三角形、等腰三角形以及全等三角形的证明 备课时间： S?ABE?S?CDE?S

全等三角形经典45题

1. 已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD

B

D

12AB

2. 已知：D是AB中点，∠ACB=90°，求证：CD

3. 已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠2

4. 已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=AC

5. 已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠

C

A

B

6. 已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：

AE=AD+BE

7. 如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。求证：BC=AB+DC。

8.已知：AB//ED，∠EAB=∠BDE，AF=CD，EF=BC，求证：∠F=∠C

9.已知：AB=CD，∠A=∠D，求证：∠B=∠C

10.P是∠BAC平分线AD上一点，AC>AB，求证：PC-PB<AC-AB

A

D

11.已知∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求证：

AC-AB=2BE

12.已知，E是AB中点，AF=BD，BD=5，AC=7，求DC

13. 如图，在△ABC中，BD=DC，∠1=∠2，求证：AD⊥BC．

14. 如图，OM平分∠POQ

1. 已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD

A B

D

C

2. 已知：D是AB中点，∠ACB=90°，求证：CD?1AB 2A D C B

3. 已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠2

A 1 2 B E C F D

4. 已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=AC

A 1 2 F C D E B

5. 已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C

A B

D C

6. 已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE

7. 已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD

A B

D

C

8. 已知：D是AB中点，∠ACB=90°，求证：CD?1AB 2A D C B

9. 已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠2

A 1 2 B E C

F D

10. 已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=AC

A 1 2 F C D E B

11. 已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C

A B

D C

12. 已知：AC平分

1、若

x24x?3y=______; ?，则

y32x?y2、若x:y:z?2:3:5，x?y?z?50，则2x?y?z? 。

3、如果点P是线段AB的黄金分割点，且AP>PB，则下列命题，①AB2?AP?PB，②BP2?AP?AB，③AP2=PB·AB，④AP:AB?PB:AP，其中正确的是 (填序号)。

4、两个相似三角形的一对对应边分别为20cm，8cm，他们的周长相差60cm ,则这两个三角形的周长为_______________, _______________.

o

5、如右图，△ABC中∠ACB＝90，CD⊥AB于D。 则图中能够相似的三角形共有( )

A．1对 B．2对 C．3对 D．4对

6. 如图，D是△ABC的边AB上的一点，过点D作DE∥BC交AC于E,若AD：BD = 4：3，

则S△ADE：Ｓ四边形 BCED＝______________. A D

7、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于O点，

S?AOD:S?COB?1:9，则S?DOC:S?BOC＝

B

O C

第7题

8、如图，矩形EFGH内接于△ABC

1、若

x24x?3y=______; ?，则

y32x?y2、若x:y:z?2:3:5，x?y?z?50，则2x?y?z? 。

3、如果点P是线段AB的黄金分割点，且AP>PB，则下列命题，①AB2?AP?PB，②BP2?AP?AB，③AP2=PB·AB，④AP:AB?PB:AP，其中正确的是 (填序号)。

4、两个相似三角形的一对对应边分别为20cm，8cm，他们的周长相差60cm ,则这两个三角形的周长为_______________, _______________.

o

5、如右图，△ABC中∠ACB＝90，CD⊥AB于D。 则图中能够相似的三角形共有( )

A．1对 B．2对 C．3对 D．4对

6. 如图，D是△ABC的边AB上的一点，过点D作DE∥BC交AC于E,若AD：BD = 4：3，

则S△ADE：Ｓ四边形 BCED＝______________. A D

7、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于O点，

S?AOD:S?COB?1:9，则S?DOC:S?BOC＝

B

O C

第7题

8、如图，矩形EFGH内接于△ABC

全等三角形经典45题

1. 已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD

B

D

12AB

2. 已知：D是AB中点，∠ACB=90°，求证：CD

3. 已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠2

4. 已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=AC

5. 已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠

C

A

B

6. 已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：

AE=AD+BE

7. 如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。求证：BC=AB+DC。

8.已知：AB//ED，∠EAB=∠BDE，AF=CD，EF=BC，求证：∠F=∠C

9.已知：AB=CD，∠A=∠D，求证：∠B=∠C

10.P是∠BAC平分线AD上一点，AC>AB，求证：PC-PB<AC-AB

A

D

11.已知∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求证：

AC-AB=2BE

12.已知，E是AB中点，AF=BD，BD=5，AC=7，求DC

13. 如图，在△ABC中，BD=DC，∠1=∠2，求证：AD⊥BC．

14. 如图，OM平分∠POQ

专题讲座 解三角形问题中的数学思想

1.转化思想 ................................................................................................................................................................... 2

练习一 .................................................................................................................................................................. 4 2.方程思想 .................................................................................................................................................................