医用高等数学导数与微分

高等数学教案 第二章 导数与微分

第二章 导数与微分

教学目的：

1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。

2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。 3、 了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n阶导数。 4、 会求分段函数的导数。

5、 会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。 教学重点：

1、导数和微分的概念与微分的关系；

2、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则； 3、基本初等函数的导数公式； 4、高阶导数；

6、 隐函数和由参数方程确定的函数的导数。 教学难点：

1、复合函数的求导法则； 2、分段函数的导数； 3、反函数的导数

4、隐函数和由参数方程确定的导数。

§2. 1 导数概念 一、引例

2 导数与微分

【目的要求】

1、了解导数的概念，了解可导与连续的关系，了解导数的几何意义及物理意义，记忆基本初等函数的导数公式；

2、熟练运用导数的四则运算法则及复合函数法则计算导数，会使用隐函数求导法及取对数求导法计算导数，会计算二阶导数；

3、了解微分的概念，掌握微分与导数的关系，会计算函数的微分，知道微分的应用； 4、能在计算机上进行导数及微分的计算。

【练习题】 一 单项选择题

⒈设f(x)在x=a处可导,则limf(a?nh)?f(a?mh)h?0h=( D )

A.f?(a) B. mf?(a) C. nf?(a) D.(m+n)f?(a) ⒉设f(x)=(x+1)(x+2)…(x+50),则f?(?1)=( C )

A.50!

B.-50!

C.49!

D.-49!

⒊设f(x)在x0的某邻域内二阶可导,且f?(x0)?0,则f??(x0)?0是f(x0)为极小值的( B A.必要条件

B.充分条件

C.充要条件

D.既非充分也非必要条件

⒋设y=(sinx)x,则f?(x)=( C )

A.(cosx)x B.(sinx)x C. (sinx)x

(lnsinx+xcotx)

D. (s

2 导数与微分

【目的要求】

1、了解导数的概念，了解可导与连续的关系，了解导数的几何意义及物理意义，记忆基本初等函数的导数公式；

2、熟练运用导数的四则运算法则及复合函数法则计算导数，会使用隐函数求导法及取对数求导法计算导数，会计算二阶导数；

3、了解微分的概念，掌握微分与导数的关系，会计算函数的微分，知道微分的应用； 4、能在计算机上进行导数及微分的计算。

【练习题】 一 单项选择题

⒈设f(x)在x=a处可导,则limf(a?nh)?f(a?mh)h?0h=( D )

A.f?(a) B. mf?(a) C. nf?(a) D.(m+n)f?(a) ⒉设f(x)=(x+1)(x+2)…(x+50),则f?(?1)=( C )

A.50!

B.-50!

C.49!

D.-49!

⒊设f(x)在x0的某邻域内二阶可导,且f?(x0)?0,则f??(x0)?0是f(x0)为极小值的( B A.必要条件

B.充分条件

C.充要条件

D.既非充分也非必要条件

⒋设y=(sinx)x,则f?(x)=( C )

A.(cosx)x B.(sinx)x C. (sinx)x

(lnsinx+xcotx)

D. (s

一、基本导数公式：

1. kx '

k

2. x

n ' nxn 1

3. ax '

ax

lna4. ex '

e

x

5. log'

1

ax

xlna6. lnx '

1x

7. sinx '

cosx8. cosx '

sinx9. tanx ' sec2

x

10. cot '

csc2

x

11. secx '

secxtanx12. cscx '

cscxcotx13.

arcsinx '

1

14.

arccosx '

115. arctanx '

11 x2

16. arccot '

11 x2

二、基本微分公式：

1.d kx k

2.d xn nxn 1dx3.d ax axlnadx4.d ex exdx5.d lnx 1

xdx

6.d log1

ax xlna

dx

7.d sinx cosxdx8.d cosx sinxdx9.d tanx sec2

xdx

10.d cotx csc2xdx11.d secx secxtanxdx12.d cscx cscxcotxdx13.d

arcsinx

1

dx

14.d arccosx 1

dx

15.d arctanx 1

1 x

2

dx16.d arccotx 1

1 x

2

dx- 1 -

第二章 导数与微分

【考试要求】

1．理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数．

2．会求曲线上一点处的切线方程与法线方程．

3．熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法．

4．掌握隐函数的求导法、对数求导法以及由参数方程所确定的函数的求导方法，会求分段函数的导数．

5．理解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数．

6．理解函数的微分概念，掌握微分法则，了解可微与可导的关系，会求函数的一阶微分．

【考试内容】

一、导数

（一）导数的相关概念

1．函数在一点处的导数的定义

设函数y当自变量x在x0处取得增量?x（点?f(x)在点x0的某个邻域内有定义，

x0??x仍在该邻域内）时，相应的函数取得增量?y?f(x0??x)?f(x0)；如果

?y与?x之比当?x?0时的极限存在，则称函数y?f(x)在点x0处可导，并称这

个极限为函数y?f(x)在点x0处的导数，记为f?(x0)，即

f(x0??x)?f(x0)?y， f?(x0)?lim?lim?x?0?x?x?0?x也可记作y?x?x0，

dydxx?x0或

df(x)dxx?x0．

说明：导数的定义式可取不同的形式，常见的有

f(x0?

第2章 导数与微分

高阶导数 微分及其应用

【教学目的】：

1. 理解高阶导数的概念，会求函数的二阶高阶导数。 2. 理解微分的概念,了解微分的几何意义；

3. 明确函数可微、可导、连续和有极限之间的关系； 4. 了解微分公式和微分法则及微分形式的不变性； 5. 掌握函数的微分运算。

【教学重点】： 1. 微分的概念

2. 函数的微分运算

【教学难点】： 1. 微分的概念；

2. （一介）微分形式的不变性。 3. 函数的微分运算

【教学时数】：2学时 【教学过程】：

2.4.1 高阶导数的定义 2.4.2 高阶导数的求法

注意 从理论上讲，求高阶导数时，只需要将函数y?f(x)对x逐次求导，并不需要新的方法与技巧．但在实际计算时，特别是在求n阶导数时，每一次求导前后都需要整理式子，以便寻找规律，写出n阶导数y(n)．

引例2.5.1 设一正方形的金属薄片受温度变化的影响，其边长从x0变化到． x0??x该薄片的面积改变了多少？（如图2-2）

x0?x

(?x)2?xS?x02x0?xx0

图2-2

分析 此薄片在温度变化前后的面积分别为

S(x0)?x02，S(x0??x)?(x0??x)2，

所以，受温度变化的影响，薄片面积的改变量为

医用高等数学

一、填空题（每空2分，共20分）

答案请写此处：1. 2. 3. 4. 5.

6. 7. 8. 9. 10.

1、函数的定义域是 。 2、 。（利用微分公式计算，保留小数点后3位） 1、下列哪组中的函数为相同的函数（ ）。

A. B. C. D.

2、函数是在点处连续，是函数在点处可导的什么条件（ ）。

A.必要非充分 B.充分非必要 C.充分必要 D.既非充分，也非必要 3、若，则k=( ) 。

(A) (B) 3 (C) (D) 0

4、当时，是无穷大量吗？它有界吗？（ ）。

A.是，有 B.不

高等数学中有关极限、无穷小和导数的公式

两个重要极限

第一个重要极限：lim

推论：lim

第二个重要极限：lim(1 )x e

x

sinx

1

x 0x

tanxarcsinxarctanx 1，lim 1，lim 1

x 0x 0x 0xxx

1

x

1其他形式：lim(1 n e,n n

推论：lim

lim 1 x e

x 0

1x

loga(1 x)1ln(1 x)

lim 1

x 0x 0xlnax

ax 1ex 1lim lna lim 1 x 0x 0xx

高等数学中有关极限、无穷小和导数的公式

等价无穷小

当x 1时，lnx x 1（这个等价无穷小很有用。） 证明：lnx ln[1 (x 1)] x 1（ x 1 0）

高等数学中有关极限、无穷小和导数的公式

导 数

高等数学中有关极限、无穷小和导数的公式

高阶导数

函数f(x)在点x0注 如果函数f(x)在点x0处的二阶可导，则函数f(x)在点x0的某个邻域内必须有连续的导数

f (x)。

两个函数乘积的高阶导数（莱布尼茨公式）：

uv

n

k n k k

Cnuv k 0

n

或

(uv)

(n)

n(n 1)...(n k 1)(n k)(k)

v

k!k 0

n

高等数学中有关极限、无穷小和导数的公式

求导法则和方法

第十二章 微分方程

§ 1 微分方程的基本概念

1、由方程x2-xy+y2=C所确定的函数是方程（ ）的解。 A. (x-2y)y?=2-xy B.(x-2y)y?=2x-y C.(x-2)dx=(2-xy)dy D.(x-2y)dx=(2x-y)dy

2、曲线族y=Cx+C2 (C为任意常数) 所满足的微分方程 （ ） 4.微分方程y?= A.dy?dx1写成以

2x?yy为自变量，x为函数的形式为（ ）

1 C. x?=2x-y D. y?=2x-y 2x?y12x?y B.dx?dy§2 可分离变量的微分方程

1.方程P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0是（ ）

A.可分离变量的微分方程 B.一阶微分方程的对称形式， C.不是微分方程 D.不能变成

dxQ(x,y)?? dyP(x,y)2、方程xy?-ylny=0的通解为（ ）

A y=ex B. y=Cex C.y=ecx D.y=e

中值定理与导数的应用– 练习题一、计算题

1.

6.

2.

7.

3.8.

4.

9.

5.

10.

6.求下列函数的凹向和拐点

i.ii.

7.求下列曲线的渐近线

i.ii.

8.

的值，使

9.

，使在和处有极值，并求此极值。

10.确定曲线的拐点个数。

11.

已知函数

i.函数的增减区间和极值

ii.函数图形的凹凸区间及拐点

iii.函数图形的渐近线

12.已知一摩托车以60km/h的速度从点A向东驶去，在点A的正北方向80km

处有一卡车以50km/h的速度向南驶，且两车同时出发，问经过多少时间，两车相距最近。

13.一商家销售某种商品的价格满足关系（万元/吨），为销售

量（单位：吨），商品的成本函数是（万元）.

i.若每销售一吨商品，政府要征税（万元），求该商家获得最大利润时

的销售量；

ii.为何值时，政府税收总额最大。

14.已知某企业生产某种产品的需求函数为，总成本

，其中表示该产品的产量（需求量），表示产品价格。

求：利润函数、边际收入函数、边际成本函数、以及企业获得最大利润时

的产量和最大利润。

二、证明题

1.设的导数在处连续，

又证明：是的极大值点。

2.

设: 在点是处取得极大值。

3.设

连续，在可导，，则存在点使

4.设，其中

，证明：存在点使。

5.

证明：

6.设

连续，在二阶可导，且，，，证明：至