数学必修五第一章解三角形知识点总结

第一章解三角形知识点总结及练习题

第一章 解三角形

1、正弦定理：

在???C中，a、b、c分别为角?、?、C的对边，R为???C的外接圆的半径，则有：

abc???2R． sin?sin?sinC2、正弦定理的变形公式：

①a?2Rsin?，b?2Rsin?，c?2RsinC；

abc，sin??，sinC?； 2R2R2R③a:b:c?sin?:sin?:sinC；

a?b?cabc④． ???sin??sin??sinCsin?sin?sinC②sin??注意：正弦定理主要用来解决两类问题：1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。

2、已知两角和一边，求其余的量。

⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。（一解、两解、无解三中情况）如：在三角形ABC中，已知a、b、A（A为锐角）求B。具体的做法是：数形结合思想 画出图：法一：把a扰着C点旋转，看所得轨迹以AD有无交点： C 当无交点则B无解、

当有一个交点则B有一解、

a 当有两个交点则B有两个解。 b 法二：是算出CD=bsinA,看a的情况： bsinA 当a

A 当bsinAb时，B有一解

注：当A为钝角或是直角时以此类推既可。 3、三角形面积公式：

111S?

知识改变命运，学习成就未来

必修5第一章《解三角形》单元测试题

班级：__________姓名：__________座号： 评分：

一.选择题

1.在△ABC中，tanA?sinB?tanB?sinA，那么△ABC一定是 （ D ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 2.在△ABC中，a?4sin10?,b?2sin50?,?C?70?，则S△ABC=

A．

22

（ C ）

1 8 B．

1 4 C．

1 2 D．A

3.在△ABC中，一定成立的等式是 ( C ) A.asinA=bsinB B.acosA=bcosB C.asinB=bsinA D.acosB=bcosA 4.若

sinAcosBcosC??则△ABC为 abc （ C ）

A．等边三角形 B． 有一个内角为30°的直角三角形 C．等腰三角形 D．有一个内角为30°的等腰三角形 5.边长为5、7、8的三角形的最大角与最小

解三角形

一.三角形中的基本关系： (1)sin(A?B)?sinC,

cos(A?B)??cosC,

tan(A?B)??tanC,

A?BCA?BCA?BC(2)sin2?cos2,cos2?sin2,tan2?cot2

(3)a>b则Ａ＞Ｂ则sinA>sinB,反之也成立 二.正弦定理：

abc???2R．R为???C的外接圆的半径）

sin?sin?sinC正弦定理的变形公式：

b?2Rsin?，a?2Rsin?，c?2RsinC；①化角为边：

asin??②化边为角：2Rcb，sin??2R，sinC?2R；

③a:b:c?sin?:sin?:sinC；

a?b?cabc???④sin??sin??sinCsin?sin?sinC．

两类正弦定理解三角形的问题：

①已知两角和任意一边求其他的两边及一角. ②已知两边和其中一边的对角，求其他边角. (对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况（一解、两解、无解）)

三．余弦定理：

a?b?c?2bccos?222b?a?c?2accos?222c?a?b?2abcosC．

注意：经常与完全平方公式与均值不等式联系 推论：

222b?c?acos?? 2bc222a?c?bco

厦门海沧实验中学数学必修5校本作业

第一章 解三角形 1.2 解三角形实际应用问题

日期_________班级_________ 姓名__________

1.测量距离问题的基本类型和解决方案

当AB的长度不可直接测量时，求AB的距离有以下三种类型：

类型 简图 计算方法 测得AC＝b，BC＝a，角C的度A，B间不可达也不可视 数，则由余弦定理得AB＝ a2＋b2－2abcos C 测得BC＝a，角B，C的度数，B，C与点A可视但不可达 则A＝π－(B＋C)，由正弦定理 得AB＝asin Csin（B＋C） 测得CD＝a及∠BDC，∠ACD，∠BCD，∠ADC的度数．在C，D与点A，B均可视不可达 △ACD中，用正弦定理求AC； 在△BCD中，用正弦定理求BC；在△ABC中，用余弦定理求AB 2．测量高度问题的基本类型和解决方案

当AB的高度不可直接测量时，求AB的高度有以下三种类型：

类型 简图 计算方法 底部 测得BC＝a，∠C的度数，可达 AB＝a·tan C 测得CD＝a及C与∠ADB的点B 度数． 与C， 先由正弦定理求出AC或AD，底部D共线 再解直角三角形得AB的值 不可达 点

专项训练（一）

知识点归纳

全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等． 寻找对应边和对应角，常用到以下方法：

(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角．

(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．

要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键． 一、全等三角形 1．判定和性质 判定 性质 一般三角形 直角三角形 边角边（SAS）、角边角（ASA） 具备一般三角形的判定方法 角角边（AAS）、边边边（SSS） 斜边和一条直角边对应相等（HL） 对应边相等，对应角相等 对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等 注：① 判定两个三角形全等必须有一组边对应相等； ② 全等三角形面积相等． 2．证题的思路：

??找夹角（SAS）???已知两边?找直角（HL）?找第三边（SSS）?????若

第一章自主检测

(时间：120分钟 满分：150分)

一、选择题(每小题5分，共50分)

1．在△ABC中，a2，b＝，B＝60°，那么A＝( )

A．120°或60° B．45°

C．135°或45° D．60°

2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＋c2－b2＝ac，则角B的值为( )

π2ππ B. 333

π5ππ D. 666

3．已知△ABC中，AB＝6，∠A＝30°，∠B＝120°，则△ABC的面积为( )

A．9 B．18

C．9 3 D．18 3

4．在△ABC中，周长为7.5 cm，且sinA∶sinB∶sinC＝4∶5∶6，下列结论：

①a∶b∶c＝4∶5∶6；

②a∶b∶c＝256；

③a＝2 cm，b＝2.5 cm，c＝3 cm；

④A∶B∶C＝4∶5∶6.

其中成立的个数是( )

A．0个 B．1个

C．2个 D．3个

5．三边长分别为1,1, 3的三角形的最大内角的度数是( )

A．60° B．90° C．120° D．135°

sinAcosBcosC6＝＝△ABC为(

第5课时 应用举例——高度问题 课标要求

1．能运用正弦定理，余弦定理解决顶点或底部不可到达的两点的距离测量问题；

2．通过解斜三角形应用举例进一步培养学生将实际问题转化为数学问题，用数学方法解决实际问题的能力；

3.了解解三角形知识在生产生活实际中的广泛应用, 使学生体会知识来源于实际生活，激发数学学习兴趣.

情景导入

如何测量一个个顶部不可达到的旗杆（旗杆大小忽略不计）的高度？

?ACB??，【解析】设旗杆的顶部为A，底部为B，在地面取一点C，可以测得BC?m，则在Rt?ABC中，AB?Ctan??mtan?. 目标训练 【一层练习】

１仰角与俯角是指同一铅直平面内，视线与水平线的夹角，当视线在水平线上时，称为 仰角 ，当视线在水平线下时，称为 俯角 .

２.在?ABC中，边BC,CA,AB上的高分别记为ha,hb,hc，则ha?bsinC?csinB，

hb?csinA?asinC，hc?asinB?bsinA.

【二层练习】

3.如图，在?ABC中，AB?BC，D在BC上，若已知CD?a,?ACB?30?,?ADB?60?，则AB?（ ） A．

1a 2B．2a

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第一章 解三角形 单元测试1

(时间：120分钟 满分：150分)

一、选择题(本大题共12个小题，每个小题5分，共60分，每小题给出的四个备选答案中，有且仅有一个是符合题目要求的)

1．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c＝2，b＝6，B＝120°，则a等于( )

A.6 C.3 [答案] D

[解析] 在△ABC中，由正弦定理，得

B．2 D.2

sinC＝

csinB＝b23321＝， 26

又∵B＝120°，∴C为锐角，

∴C＝30°，∴A＝30°，∴a＝c＝2.

2．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知A＝＝( )

A．1 C.3－1 [答案] B

[解析] 由正弦定理，得＝，∴sinB＝sinAsinBππ222

＝，从而C＝，c＝a＋b，c＝2. 62

3．△ABC的三边分别为2m＋3，m＋2m，m＋3m＋3(m>0)，则最大内角度数为( ) A．150° C．90° [答案] B

[解析] 解法一：∵m>0，∴m＋3m＋3>2m＋3，

2

2

2

π

，a＝3，b＝1，则c3

B．2 D.3

《三角函数及解直角三角形》知识点总结

Ⅰ、本章知识结构框图：

在是三角形ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，

（１）锐角Ａ的对边与斜边的比叫做∠Ａ的正弦，记作ｓｉｎＡ。即ｓｉｎＡ＝∠Ａ的对边＝ａ

斜边ｃ（２）锐角Ａ的邻边与斜边的比叫做∠Ａ的余弦，记作ｃｏｓＡ。即ｃｏｓＡ＝∠Ａ的邻边＝ｂ

斜边ｃ（３）锐角Ａ的对边与邻边的比叫做∠Ａ的正切，记作ｔａｎＡ。即ｔａｎＡ＝∠Ａ的对边＝ａ

∠Ａ的邻边ｂ（４）锐角Ａ的邻边与对边的比叫做∠Ａ的余切，记作ｃｏｔＡ。即ｃｏｔＡ＝∠Ａ的邻边＝ｂ

∠Ａ的对边ａ锐角Ａ的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠Ａ的三角函数。

注意：（１）正弦、余弦、正切、余切都是在直角三角形中给出的，要避免应用时对任意的三角形随便套用定义；

（２）ｓｉｎＡ不是ｓｉｎ与Ａ的乘积，是三角形函数记号，是一个整体。“ｓｉｎＡ”表示一个比值，其他三个三角函数记号也是一样的；

（３）锐角三角函数值与三角形三边长短无关，只与锐角的大小有关。

（１）平方关系：ｓｉｎ2α＋ｃｏｓ2α＝１α为锐角，即同一锐角的正弦和余弦的平方和等于１；

（２）倒数关系：ｔａｎα·ｃｏｔα＝１α为锐角，即同一锐角的正切与余切的积为１，互为倒数；

（３）商的关系：ｔａｎα＝，

ｃｏｔα＝，

α为锐角，即同一锐角的正弦与余弦的商

初一数学三角形知识点大全,可用做复习文件

初一数学三角形知识点大全

一、与三角形有关的线段

1、不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形

2、等边三角形：三边都相等的三角形

3、等腰三角形：有两条边相等的三角形

4、不等边三角形：三边都不相等的三角形

5、在等腰三角形中，相等的两边都叫腰，另一边叫底，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角

6、三角形分类：不等边三角形

等腰三角形：底边和腰不等的等腰三角形

等边三角形

7、三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。依据：两点之间，线段最短 注：1）在实际运用中，只需检验最短的两边之和大于第三边，则可说明能组成三角形

2）在实际运用中，已经两边，则第三边的取值范围为：两边之差<第三边<两边之和

3）所有通过周长相加减求三角形的边，求出两个答案的，注意检查每个答案能否组成三角形

8、三角形的高：从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在的直线画垂线，垂足为D，所

得线段AD叫做△ABC的边BC上的高

9、三角形的中线：连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做

△ABC的边BC上的中线

注：两个三角形周长之差为x，则存在两种可能：即可能是第一个△周长大，也有可

能是第一个△周长小