解不等式组的基本方法

口诀巧取不等式组的解集

在教学北师大版八年级下册一元一次不等式（组）的时候，学生在学习不等式组的解法和解集后，我发现学生在求解这个不等式组的解集时相当费时间，而且也容易出错。因为要求出这个不等组的解集，传统的解法是：先通过让学生先在数轴上把不等式组中各个不等式的解集表示出来，而且每一个解集都是要经过“三定”：定界点、定空实心，定方向，然后再找出各个解集的公共部分。传统的这个方法的优势是形象具体，不足这处在于，在数轴上表示各个不等式的解集非常耗时间、占空间，为了弥补这一不足，帮助学生节省时间，在学生做了大量的求解一元一次不等式组的解集后，我和学生对照各个解集一起总结出了一首不用画数轴也能快速取到不等式解集的口诀，简明易记，朗朗上口。

不等式组解集的口诀取法：同大取大，同小取小，大小小大取中，大大小小取空。

（前提：一个含有两个不等式的一元一次不等式组中的两个不等式最后均已经变成最简形式,即已经求出各自的解集）

四句的含义解释如下（用x表示未知数,且设a＞b）：

（1）同大取大

“同大取大”中的“同大”就是两个不等式同是大于号“＞”,“取大”就是取两个数中较大者作为不等式组的解集

即如果原不等式组最后化为：

｛x＞a

｛x＞b

在a、b当中取大的那一个,即不等式组

(一)不等式概念和性质错解例析

初学不等式，由于对概念及性质理解不够深刻，有些同学常出现一些错误，现举例分析,望能引以为戒

一、理解概念不透致错

例1、下列给出四个式子，

①x>2 ②a≠0 ③5<3 ④a≥b 其中是不等式的是（ ）

A、①④ B、①②④ C、①③④ D、①②③④

错解、选A

分析、不等式是指形式上用“<”、“>”、“≤”、“≥”、“≠”连接的式子，不受其是否成立的影响，5<3是不等式，只不过这个不等式不成立，另外a≠0也是不等式，因为“≠”也是不等号， 正解、选D

二、符号意义不清致错 例2、下列不等式

①2a>a ②a2+1>0 ③8≥6 ④x2≥0 一定成立的是（ ）

A、②④ B、② C、①②④ D、②③④

错解、选A

分析、导致本题错误的原因是对“≥”理解不正确，“≥”的意义是“>”或“=”，有选择功能，二者成立之一即可，事实上也只能二者取一，不等号两边的量不会既“>”又“=”，所以，对8≥6的理解应是“8大于6”，对x2≥0的理解应是，“当x=0时，x2=0；当x≠0时，x2>0” 正解、选D

例3、不等式x>-2的解集在数轴上表示正确的一项是（ ）

A B C

D

错解，选A

分析、对不等式的解集在数轴上的表示方法不清出错，在数轴上表示不等式的解集时，实心

初二数学备课组

2.2 证明不等式的基本方法——分析法与综合法

●教学目标：1、理解综合法与分析法证明不等式的原理和思维特点.

2、理解综合法与分析法的实质，熟练掌握分析法证明不等式的方法与步骤. ●教学重点：综合法与分析法证明不等式的方法与步骤

●教学难点：综合法与分析法证明不等式基本原理的理

●教学过程：

一、复习引入：

1、复习比较法证明不等式的依据和步骤？

2、今天学习证明不等式的基本方法——分析法与综合法

二、讲授新课：

1、综合法：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法 综合法又叫顺推证法或由因导果法。

用综合法证明不等式的逻辑关系是： 例1、已知a,b,c是不全相等的正数，求证： . 分析：观察题目，不等式左边含有“a2+b2”的形式，我们可以创设运用基本不等式：a2+b2≥2ab;还可以这样思考：不等式左边出现有三次因式：a2b,b2c,c2a,ab2,bc2,ca2的“和”，右边有三正数a,b,c的“积”，我们可以创设运用重要不等式：a3+b3+c3≥3abc.(教师引导学生，完成证明）

解：∵a>0,b2+c2≥2bc ∴由不等式的性质定理4，得a(b2+c2)≥2abc.

中考专题复习

第2讲 不等式与不等式组

一级训练

1．(2012年广东广州)已知a＞b，c为任意实数，则下列不等式中总是成立的是( ) A．a＋c＜b＋c B．a－c＞b－c C．ac＜bc D．ac＞bc 2．(2012年四川攀枝花)下列说法中，错误的是( )

A．不等式x＜2的正整数解中有一个 B．－2是不等式2x－1＜1的一个解 C．不等式－3x＞9的解集是x＞－3 D．不等式x＜10的整数解有无数个

3．(2012年贵州六盘水)已知不等式x－1≥0，此不等式的解集在数轴上表示为(

)

4．(2012年湖北荆州)已知点M(1－2m，m－1)关于x轴的对称点在第一象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是(

)

2x－1≥x＋1，

5．(2012年山东滨州)不等式 的解集是( )

x＋8≤4x－1

A．x≥3 B．x≥2 C．2≤x≤3 D．空集

x－1≥0，

6．(2012年湖北咸宁)不等式组 的解集在数轴上表示为(

)

4－2x＞0

7．(2012年湖南益阳)如图2－2－2，数轴上表示的是下列哪个不等式组的解集(

)

图2－2－2

x≥－5， x＞－5， x＜5， x＜5， A. B. C. D. x＞－3

安庆师范学院数学与计算科学学院2013届毕业论文

不等式证明的若干方法

作者：金克川 指导老师：杨翠

摘要 无论在初等数学还是高等数学中,不等式都是十分重要的内容.而不等式的证明则是不等式知识的

重要组成部分.在本文中，我总结了一些数学中证明不等式的方法.在初等数学不等式的证明中经常用到的有比较法、作商法、分析法、综合法、数学归纳法、反证法、放缩法、换元法、判别式法、函数法、几何法等等.在高等数学不等式的证明中经常利用中值定理、泰勒公式、拉格朗日函数、以及一些著名不等式，如：均值不等式、柯西不等式、詹森不等式、赫尔德不等式等等.从而使不等式的证明方法更加的完善，有利于我们进一步的探讨和研究不等式的证明. 通过学习这些证明方法，可以帮助我们解决一些实际问题，培养逻辑推理论证能力和抽象思维的能力以及养成勤于思考、善于思考的良好学习习惯.

关键词 不等式 比较法 数学归纳法 函数

1引言 在数学的学习过程中，不等式证明是一个非常重要的内容，这些内容在初等数学和

高等数学中都有很好的体现.在数量关系上，虽然不等关系要比相等关系更加广泛的存在于现实的世界里，但是人们对于不等式的

中原工学院

1 常用方法

1.1比较法（作差法）[1]

在比较两个实数a和b的大小时，可借助a?b的符号来判断.步骤一般为：作差——变形——判断（正号、负号、零）.变形时常用的方法有：配方、通分、因式分解、和差化积、应用已知定理、公式等.

例1 已知：a?0，b?0，求证：证明

a?b2a?b2?ab.

b)2?ab?a?b?2ab2a?b2?ab?(a?2?0，

故得 1.2作商法

.

在证题时，一般在a，b均为正数时，借助作商——变形——判断（大于1或小于1）.

例2 设a?b?0，求证：aabb?abba. 证明 因为 a?b?0， 所以 而

abaab?1或

ab?1来判断其大小，步骤一般为：

?1，a?b?0.

baababb?a?????b?a?b?1，

故 aabb?abba. 1.3分析法（逆推法）

从要证明的结论出发，一步一步地推导，最后达到命题的已知条件（可明显成立的不等式、已知不等式等），其每一步的推导过程都必须可逆.

例3 求证：

（1）2X-4≤X+2 与X≥3 解集为3≤X≤6

（2）2X-1＞1 与 4-2X≤0 解集为无解

（3）3X+2＞5 与 5-2≥1 解集为1＜X≤2

（4）X﹣1＜2 与 2X+3＞2+X 解集为-1＜X＜3

（5）X+3＞1 与 X﹢2（X-1）≤1 解集为-2＜X≤1

（6）2X+1≤3 与 X＞-3 解集为1≤X＞-3

（7）2X+5＞1 与3X+7X≤10 解集为1≥X＞2

（8）2X-1＞X+1 与 X+8＜4X-1 解集为X＞3

（9）1-2（X-1）≤5与2/（3X-2）＜X+1/2解集为-1≤X＜3 （10）2X≤4+X 与 X+2＜4X-1解集为1＜X≤4

（11）2-X＞0 与 2/（5X+1）+1≥3/（2X-1）解集为-1≤X＜2 （12）1-X＜0 与 2/（X-2）＜1 解集为1＜X＜4

-

（13）2-X＜3 与 2-X≥0 解集为2≥X＞1

（14）2X+10＞-5 与 6X-7≥10 解集为X＞17/6

（15）6X+6＞8 与 3X+10＜5 解集为-（3/5）＞X＞-3

（16）6X+6X24 与 10X+（1/2）X＜-42 解集为无解

（17）24X-20X＞4 与8X+4X≤

维普资讯

20 0 2年第 1 0期

数学学习与研究

. .

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只有把已学知识看成待创造成果，拓展、探去去索、去联想、去追根，才能把巩固知识与培养能力，

..

u(一] 一手. e,

拓展思维有机结合。以增强应变能力，创造能发展力，高数学素质，提适应素质教育的要求！

可见 .习知识的过程就是一个创新的过程，复

对数函数中有趣的同异规律(吉林省抚松一中 140 )王美琳指导教师陈福珍 350我们在学习对数函数的性质时，中在学习其值域时 .由图象仔细观察会得如下结论：() 1Ⅱ>1 >1时， g>0且 t o; () 2口>1 0<<1, g<;且，时 t 0 o () 3 0<口<1 0<<1, g>0且 时 t o; () 4 0<Ⅱ<1且>1, g< .时 t 0 o

由真数相同且大于 1时，数值大则底小，对选( . A)

例知o丁 l÷>则D 2已 t 1。 0 (. g> , )( 1 A)<b< 。( 1 B)<Ⅱ<b

即 n与同正异负是判断对数式 t 取值 o g正负的一个规则 .

( 0<Ⅱ<

篇一：9.1.1不等式及其解集

年级：七 周次： 课时： 北屯初级中学 数学 课堂导学案 上课时间：年月 日 星期：

北屯初级中学 数学 课堂导学案（续）

篇二： 9.1.1不等式及其解集

2016年临夏市第二中学数学同课异构教学

9.1.1教学设计

不等式及其解集

学校：临夏市第二中学 教师：马龙

班级：七年级7班

时间：2016年05月24日

篇三：9.1.1不等式及其解集

七年级数学自主学习方案

班级 姓名：

高中数学选修4-5 第2讲 证明不等式的基本方法

反证法与放缩法

高中数学选修4-5 第2讲 证明不等式的基本方法

一、反证法： 1、反证法证题的步骤 若A成立，求证B成立。 、 共分三步： (1)提出与结论相反的假设；如负数的 反面是非负数，正数的反面是非正数即0和负数 (2)从假设出发，经过推理，得出矛盾； (必须由假设出发进行推理否则不是反证法或证错) (3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确 矛盾：与定义、公理、定理、公式、性质等一切已有的 结论矛盾甚至自相矛盾。 反证法是一种间接证明命题的基本方法。在证明一个数 学命题时，如果运用直接证明法比较困难或难以证明时， 可运用反证法进行证明。

高中数学选修4-5 第2讲 证明不等式的基本方法

例1、已知 x, y > 0, 且 x + y > 2, 、

1+ x 1+ y , 试证： 试证： 中至少有一个小于2。 y x例2、已知 a, b, c 为实数， 、

a + b + c > 0.ab + bc + ca > 0, abc > 0,求证： a

> 0, b > 0, c > 0

例3、若p>0,q>0,p3+p3=2.证明：p+q≤2.