卡方分布的极限分布

卡方分布

一、 卡方分布的定义：

若n个相互独立的随机变量ξ1，ξ2，…，ξn ，均服从标准正态分布（也称独立同分布于标准正态分布），则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和∑ξi∧2构成一新的随机变量，其分布规律称为χ2(n)分布（chi-square distribution），其中参数 n 称为自由度。

二、 卡方分布的性质：:

（1） (可加性) 设Yi~?2ni,?i,i?1,?,k,且相互独立，则 Y1???Yk~这里n?2?n,?,

?n,????.

ii22Va(r?n,?)?2n?4?.

（2） E(?n,?)?n??,

证明 （1）根据定义易得。 （2）设Y~2Y可表示为 ?n,?,则依定义，22 Y?X12???Xn?1?Xn,

其中Xi~N(0,1),i?1,?,n?1,Xn~N(?,1),且相互独立，于是

E(Y)??E(Xi2),

i?1n(1)

Var(Y)??Var(Xi2).i?1n(2)因为

E(Xi2)?Var(Xi)?E(

2.2.1 用样本的频率分布估计总体分布 【学习目标】了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、

茎叶图，理解它们各自的特点．

【复习回顾】说说简单随机抽样、系统抽样、分层抽样各自的特点、操作步骤和适用的范围。 类 别 简单随机 抽样 系统抽样 共同点 各自特点 联 系 适用范围 总体个数较少 总体个数较多 总体由差异明显的几部分组成 分层抽样 从总体中逐个抽取 （1）抽样过程中每个个体被将总体均分成几部 抽到的可能在起始部分样时分，按预先制定的规则在各性相等 采用简随机抽样 部分抽取 （2）每次抽出个分层抽样时采用体后不再将它放将总体分成几层，分层进行简单随机抽样或回，即不放回抽样 抽取 系统抽样 【自主学习】一、频率分布直方图 1．极差：最大值与最小值的差．例如：一组数据8,13,13,16,23,26,28的极差是多少？

2．组距：为了避免对数据逐一考察的麻烦，将数据分成若干组，一般情况要使组数为5～12组.

3．组数：不小于极差/组距的最小整数．中学学习的问题一般分为5～12组．

例如：极差为15，组距为2，应该分为几组？

4．频数：每个(类)对象出现的次数

1 超几何分布与二项分布的区别

[知识点]关键是判断超几何分布与二项分布

判断一个随机变量是否服从超几何分布,关键是要看随机变量是否满足超几何分布的特征:一个总体(共有N 个)内含有两种不同的事物()A M 个、()B N M -个,任取n 个,其中恰有X 个A .符合该条件的即可断定是超几何分布,按照超几何分布的分布列

()k n k M N M n N C C P X k C --==（0,1,2,,k m =）进行处理就可以了.

二项分布必须同时满足以下两个条件:①在一次试验中试验结果只有A 与A 这两个,且事件A 发生的概率为p ,事件A 发生的概率为1p -；②试验可以独立重复地进行,即每次重复做一次试验,事件A 发生的概率都是同一常数p ,事件A 发生的概率为1p -.

1、某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的概率为23

.现有10件产品，其中6件是一等品，4件是二等品. (Ⅰ) 随机选取1件产品，求能够通过检测的概率；

(Ⅱ) 随机选取3件产品，其中一等品的件数记为X ，求X 的分布列；

(Ⅲ) 随机选取3件产品，求这三件产品都不能通过检测的概率.

2、第26届世界大学生夏季运动会将于2011年8

数学期望：随机变量最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。又称期望或均值。它是简单算术平均的一种推广。例如某

城市有10万个家庭，没有孩子的家庭有1000个，有一个孩子的家庭有9万个，有两个孩子的家庭有6000个，有3个孩子的家庭有3000个， 则此城市中任一个家庭中孩子的数目是一个随机变量，记为X，它可取值0，1，2，3，其中取0的概率为0.01，取1的概率为0.9，取2的概率为0.06，取3的概率为0.03，它的数学期望为0×0.01＋1×0.9＋2×0.06＋3×0.03等于1.11，即此城市一个家庭平均有小孩1.11个，用数学式子表示为：E(X)=1.11。

也就是说，我们用数学的方法分析了这个概率性的问题，对于每一个家庭，最有可能它家的孩子为1.11个。

可以简单的理解为求一个概率性事件的平均状况。

各种数学分布的方差是：

1、 2、

一个完全符合分布的样本 这个样本的方差

概率密度的概念是：某种事物发生的概率占总概率(1)的比例,越大就说明密度越大。比如某地某次考试的成绩近似服从均值为80的正态分布，即平均分是

80分，由正态分布的图形知x=80时的函数值最大，即随机变量在80附近取值最密集，也即考试成绩在80分左右的人最

专题：超几何分布与二项分布

● 假定某批产品共有100个，其中有5个次品，采用不放回和放回抽样方式从中取出10件产品，那么次品数X的概率分布如何？

一、先考虑不放回抽样： 10从100件产品中随机取10件有C100种等可能基本事件．{X = 2}表示的随机事件是“取到282件次品和8件正品”，依据乘法原理有C5C95种基本事件，根据古典概型，得 28C5C95P(X = 2) = 10则称X服从超几何分布 C100 类似地，可以求得X取其它值时对应的随机事件的概率，从而得到次品数X的分布列 X 0 05C5C95P 10 C1001 14C5C9510 C1002 23C5C9510 C1003 32C5C9510 C1004 41C5C9510 C1005 50C5C9510 C100 二、再考虑放回抽样： 从100件产品中有放回抽取10次，有10010种等可能基本事件．{X = 2}表示的随机事件2是“取到2件次品和8件正品”，依据乘法原理有C10·52·958种基本事件，根据古典概型，得 C10·52·958252958P(X = 2) = ? C)()． 1010(100100100一般地，若随机变量X的分布列为 P(X

一、 正态分布

1.1概率密度函数

0.040.0350.030.0250.020.0150.010.0050-30y-20-100x10203040图1

正态分布的特征

（1）正态曲线在横轴上方均数处最高； （2）正态分布以均数为中心，左右对称；

（3）正态分布有两个参数，即均数μ和标准差S。μ是位置参数，当s固定不变时，μ越大，曲线沿横轴向右移动；反之，μ越小，则曲线沿横轴向左移动。S是形状参数，当μ固定不变时，S越大，曲线越平阔；S越小，曲线越尖峭；

（4）正态曲线下面积的分布有一定规律：

①正态分布时区间（μ-1s,μ+1s）的面积占总面积的68.27%；②正态分布时区间（μ-1.96s,μ+1.96s）的面积占总面积的95%；③正态分布时区间（μ-2.58s,μ+2.58s）的面积占总面积的99%。

1.2、分布函数

10.90.80.70.60.50.40.30.20.10-100-80-60-40-200x20406080100p 图-2

正态分布是连续性变数的理论分布，计算其概率的原理和方法不同于二项分布。它

不能计算变量取某一定值，即某一点时的概率，而只能计算变量落在某一区间内的概率（即

概率密度）。

对于任何正态分布随机变

抽样分布的研究

抽样分布的研究

1 前言

统计量是样本的函数，它是一个随机变量．统计量的分布称为抽样分布． 用来估计一个未知总体参数的抽样统计称为估计． 真实参数值和估计值间的差异称为抽样误差．带有概率分布的随机变量统计称为抽样分布，由重复抽样产生． 我们用统计的抽样分布来测定估计中的抽样，它可分为正态总体下与非正态总体下两种情况来讨论．是由样本n个观察值计算的统计量的概率分布．从一个总体中随机抽出容量相同的各种样本，从这些样本计算出的某统计量所有可能值的概率分布，称为这个统计量的抽样分布．从一个给定的总体中抽取（不论是否有放回）容量（或大小）为n的所有可能的样本，对于每一个样本，计算出某个统计量（如样本均值或标准差）的值，不同的样本得到的该统计量的值是不一样的，由此得到这个统计量的分布，称之为抽样分布．

例如：如果特指的统计量是样本均值，则此分布为均值的抽样分布．类似的有标准差、方差、中位数、比例的抽样分布．

统计量是样本的函数，它是一个随机变量．统计量的分布称为抽样分布．

基于独立的，与总体分布的简单随机样本的抽样分布定理，是小样本统计推断的理论基础??．二十世纪20年代以来，由此发展的成熟的简单随机样本统计推断理论，

1已在

山西的煤炭资源整合后大概有1000座。分别分布在西山煤田、大同煤田、沁水煤田、宁武煤田、霍西煤田、河东煤田。具体如下； 沁水煤田

含煤面积30500.1KM2，资源量3316.5亿吨,区内产量10530万吨，属于统配矿的有阳泉、潞安、晋城矿务局，其产量分别为：1634.31、1283.6、 967万吨。以无烟煤和半无烟煤为主，瘦煤和焦煤次之。知名品牌有晋城无烟煤和阳泉无烟煤，是山西省仅次于大同煤、平朔煤的第三大出口产品。但是近年来国外受到越南鸿基煤、国内受到宁夏无烟煤的冲击。就其质量及成本来看，晋城与阳泉煤处于劣势。加上世界无烟煤市场的萎缩，这二个品种也将逐年萎缩。 该煤田东南部的长治市内的瘦煤，作为高炉喷吹用煤曾有过一段出口的经历。该煤种低硫、低灰、高灰熔点、可磨性较好。近年来的萎缩，除一些国家喜欢采用高挥发分喷吹煤的原因外，更主要的可能是体制及经营管理上的问题。 该煤田内最有出口潜力的是该煤田西南部的沁源、古县一带的低挥发分强粘结性焦煤。该焦煤资源面积约200KM2，煤层厚度0.8-3米，现有矿井约50个(全部是地方小矿)。年产量为450万吨左右。作为低灰、低硫、低挥发分、强粘结性焦煤，该煤种必将成为山西进入国际市

频数分布表与频数分布直方图

探索知识 享受快乐

频数分布表与频数分布直方图

频数分布表与频数分布直方图

(1)扇形统计图的特点?

(2)扇形统计图的制作步骤?(3)什么是频数？什么是频率?

频数分布表与频数分布直方图

某班一次数学测验成绩如下： 63,84,91,53,69,81,61,69, 91,78,75,81,80,67,76,81, 79,94,61,69,89,70,70,87, 81,86,90,88,85,67,71,82, 87,75,87,95,53,65,74,77.大部分同学处于哪个分数段？ 成绩的整体分布情况怎样？

频数分布表与频数分布直方图

制作频数分布表先将成绩按10分的距离分段，统计每个分数 段学生出现的频数，填入表20.1.2.表 2 0 .1 .2

频数分布表与频数分布直方图

根据频数分布表绘制直方图79.5分到89.5分 这个分数段的学 生数最多

表 2 0 .1 .2

频数分布表与频数分布直方图

根据频数分布表绘制直方图

90分以上 的同学较 少

频数分布表与频数分布直方图

根据频数分布表绘制直方图

不及格的 学生数最 少!!!

频数分布表与频数分布直方图

绘制频数折线图将直方图中每个小 长方形上面一条边 的中点顺次连结起 来,即可得到频数

张氏家族的分布及族谱

本文主要是描述我们张氏家族在全国的分布情况以及相关张氏族谱，这些族谱记载张氏家族的内部资料和家族渊流、家规祖训。

始 祖：张挥

1.安徽

1.1安徽寿县、长丰县张氏（百忍堂）主要分布在寿县的李山庙，长丰县的拐集周边地区，吴山庙周边地区以及王楼等张氏族人，还有淮南、合肥、安庆等区域的张氏族人零星分布，源自于山东省枣庄，于明朝1435~1572年间迁址寿县（拐集），落户后生了九个儿子，本族谱是老九成业的后裔，从拐集迁居李山庙，并在长丰县张拐子、吴山庙等地区发展，后世子孙延绵昌盛，分枝分叉星罗棋布分至周边，在清光绪年间，由徳世，字名馨，文采出众，是当时地方出名的文人，编修了张氏宗谱南谱，其祖庭在长丰县张拐。

张氏宗派：（百忍堂）族谱南谱：光业宏开寿，意谋信孔长，照钱承祖泽，世本有书香，立志希贤德，为仁发善良，万年传继远，永久乐安康。(安徽省长丰县吴山镇王楼村下郢张立新、又名秋枫、字浩然提供）

1.2安徽涡阳县新兴镇张氏（百忍堂）族谱：廷步全玉德，凤兴钦继常。民国初后续家谱为：儒来庆万寿，荣华成吉祥，功业千秋明，精神山河在。 涡阳新兴集及周边张氏族人，源自山西省洪洞县老鸹巷大槐树，于明洪武年间迁址龙庙（新兴集）北张老家，