三角形中位线定理的证明教案

4.5三角形中位线定理

【教案背景】

1、面向学生：初二学生

2、课时：1课时

3、学科：数学

4、学生准备：提前预习本节课的内容，2张三角形纸，剪刀.

【教材分析】

1、教材的地位和作用：

本节教材是浙江教育出版社的八年级数学下册第四章第五节的内容。三角形中位线既是前面已学过的平行线、全等三角形、平行四边形性质等知识内容的应用和深化，同时为进一步学习等腰三角形的中位线打下基础，尤其是在判定两直线平行和论证线段倍分关系时常常用到。在三角形中位线定理的证明及应用中，处处渗透了归纳、类比、转化等化归思想，它是数学解题的重要思想方法，对拓展学生的思维有着积极的意义。

2、教学目标

（一）知识目标

（1）理解三角形中位线的概念

（2）会证明三角形的中位线定理

（3）能应用三角形中位线定理解决相关的问题；

（二）过程与方法目标

进一步经历“探索—发现—猜想—证明”的过程，发展推理论证的能力。体会合情推理与演绎推理在获得结论的过程中发挥的作用。

（三）情感目标

通过拼图活动，来激发学生的求知欲，进一步培养学生合作、交流的能力和团队精神，培养学生实事求是、善于观察、勇于探索、严密细致的科学态度。

3.重点与难点

重点：理解并应用三角形中位线定理。

难点：三角形中位线定理的证明和运用。

【教学方法】

16.5.三角形中位线第二课时教案设计

教学目标

根据教材的特点和学生实际，制定如下教学目标

1. 理解“经过三角形一边中点与另一边平行的直线平分第三边”这条定理。 2. 知道什么叫中点四边形。

3. 运用三角形的中位线定理来推导中点四边形的形状； 重点：运用三角形的中位线定理来推导中点四边形的形状 难点：归纳中点四边形的特点。

教学过程 教学教学内容及教师活动 学生活动设计 环节 一、复习 1、三角形的中位线定理： 学生回答老师引导 A情 2、三角形的三边的长分别是6、8、 10，则这个三角形中点三角形的 周长是__ CB境 3、一个三角形的周长是a, 第一个中点三角形设 的周长是_ ，第二个中点三角形的周长是 _ ，那么第100个中点三角形的周长是置 _ 。 二、合作探究： 1、自主活动一： 学生看书自学三 看书78页议一议 角形中位线定义 合 定理： 2、自主活动二 1）、由前一节的学习我们知道，顺次连接三 作 角形三边的中点形成的三角形我们叫中点

第3讲 三角形的中位线习题归类

一、 直接应用

1． 如图1所示，EF是△ABC的中位线，若BC=8cm，则EF=_______cm．

2．三角形的三边长分别是3cm，5cm，6cm，则连结三边中点所围成的三角形的周长是_________cm． 3．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=?5，?BC=?12，?则连结两条直角边中点的线段长为_______． 4．若三角形的三条中位线长分别为2cm，3cm，4cm，则原三角形的周长为_______．

5．如图2所示，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A，B的点C，找到AC，BC的中点D，E，并且测出DE的长为10m，则A，B间的距离为_______． 6.已知△ABC的周长为1，连结△ABC的三边中点构成第二个三角形，再连结第二个三角形的三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2010个三角形的周长是（ ） A、

1111 B、 C、2008 D、2009 20082009227．如图4,在△ABC中，E，D，F分别是AB，BC，CA的中点，AB=6，AC=4，则四边

三角形中位线定理的证明及其教学说明

以下内容作者为：青岛第四中学杨瀚书老师

一、 三角形中位线定理的几种证明方法 法1： 如图所示，延长中位线DE至F，使

，有AD

FC，所以FC

，连结CF，则

BD，则四边形BCFD是平行四边

1BC． 2形，DF BC。因为 ，所以DE

法2有FC

C作

AD，那么FC

交DE的延长线于F，则

，BC。

BD，则四边形BCFD为平行四边形，DF

1BC． 2因为 ，所以DE

法3：如图所示，延长DE至F，使 ADCF为平行四边形，有AD

，连接CF、DC、AF，则四边形

BD，那么四边形BCFD为平

1BC． 2CF，所以FC

行四边形，DF BC。因为 ，所以DE

法4：如图所示，过点E作MN∥AB，过点A作AM∥BC，则四边形ABNM为平行四边形，易证?AEM??CEN，从而点E是MN的中点，易证四边形ADEM和BDEN都为平行四边形，所以DE=AM=NC=BN，DE∥BC，即DE

1BC。 2

法5：如图所示，过三个顶点分别向中位线作垂线．

二、教学说明

1、三角形中位线定理的另外一种猜想过程：“二维”转化为“一维”

在引导学生探索三角形中位线定理时，由于学生画出中位线后，就不难直观地发现平行关系，难的

儒洋教育学科教师辅导讲义

学员姓名： 年 级： 课时数： 辅导科目： 学科教师： 课 题 授课时间： 教学目标 重点、难点 考点及考试要求 教学内容 1. 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 2. 三角形中的几条重要线段：

（1）三角形的角平分线（三条角平分线的交点叫做内心） （2）三角形的中线（三条中线的交点叫重心） （3）三角形的高（三条高线的交点叫垂心） 3. 三角形的主要性质

（1）三角形的任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边； （2）三角形的内角之和等于180°

（3）三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角，等于和它不相邻的两个内角的和； （4）三角形中，等角对等边，等边对等角，大角对大边，大边对大角； （5）三角形具有稳定性。

4. 补充性质：在?ABC中，D是BC边上任意一点，E是AD上任意一点，则三角形、等腰三角形以及全等三角形的证明 备课时间： S?ABE?S?CDE?S

三角形内有关角的三角函数恒等式的证明教案

教学目的：

（1）掌握利用三角形条件进行角的三角函数恒等式证明的主要方法，使学生熟悉三角变换的一些常用方法和技巧（如定向变形，和积互换等）。

（2）通过自主的发现探索，培养学生发散、创造的思维习惯和思维能力，体验数形结合、特殊一般转化的数学思想。并利用此题材做学法指导。

（3）通过个人自学、小组讨论、互相启发、合作学习，培养学生自主与协作相结合的学习能力和敢于创新，不断探索的科学精神。 教学设计：

一．引题：（A，B环节）

1．1复习提问：在三角形条件下，你能说出哪些有关角的三角恒等式？ 拟答：

，

……

，

，

……

这些结果是诱导公式，的特殊情况。

1．2今天开始的学习任务是解决这类问题：在三角形条件下，有关角的三角恒等式的证明。学习策略是先分若干个学习小组（四人一组），分头在课本P233---P238，P261-266的例题和习题中，找出有三角形条件的所有三角恒等式。

1．3备考：期待找出有关△ABC内角A、B、C的三角恒等式有： （1）P233：例题10：sinA+sinB+sinC=4cosA/2cosB/2cosC/2

10.三角形、梯形的中位线

知识考点：

掌握三角形、梯形的中位线定理，并会用它们进行有关的论证和计算。

精典例题：

【例1】如图，梯形ABCD中，AD∥BC，M是腰AB的中点，且AD＋BC＝DC。求证：MD⊥MC。

分析：遇到腰上中点的问题构造梯形中位线可证明，也可以因为腰上有中点，延长DM与CB的延长线交于E点进行证明。

ADACDMNQPEGFBCBDMC例1图 AB

例2图 问题图

【例2】如图，△ABC的三边长分别为AB＝14，BC＝16，AC＝26，P为∠A的平分线AD上一点，且BP⊥AD，M为BC的中点，求PM的长。

分析：∠A的平分线与BP边上的垂线互相重合，通过作辅助线延长BP交AC于点Q，由△ABP≌△AQP知AB＝AQ＝14，又知M是BC的中点，所以PM是△BQC的中位线，于是本题得以解决。

答案：PM＝6 探索与创新：

【问题一】 E、F为凸四边形ABCD的一组对边AD、BC的中点，若EF＝

1(AB?CD)，2问：ABCD为什么四边形？请说明理由。

分析与结论：如图，利用三角形和梯形的中位线定理，连结AC，取AC的中点G，连EG、FG，则EG∥

111CD，FG∥AB，∴EG＋FG＝(AB?CD)，即EG＋FG＝EF，则

三角形、梯形中位线

一、选择

1.三角形的三边长分别为12cm、16cm、20cm,则它的中位线构成的三角形的周长与面积分别为____ 和___.

2.在Rt△ABC中,∠C=90°,D、E、F分别为AB、BC、AC边上的中点,AC=4 cm ,BC=6 cm,那么四边形CEDF为__________,它的边长分别为_________________.

3.三角形一条中位线分三角形所成的新三角形与原三角形周长之和为60 cm ,则原三角形的周长为_______.

4. 已知梯形的上底长为3cm，下底长为7cm，则此梯形中位线长为__________cm．

5.等腰三角形的两条中位线长分别是3和4,则它的周长是____________.

6. 已知D、E、F分别是△ABC三边的中点,当△ABC满足条件___________时,四边形AFDE是菱形.

7.已知等腰梯形的周长为80cm，中位线长与腰长相等，则它的中位线长等于_____cm．

8．如图，已知等腰梯形ABCD的中位线EF的长为5，腰AD的长为4，则这个等腰梯形的周长为 .

9．如图，?ABC沿DE折叠后，点A落在BC边上的A?处，若点D为AB边的中点，?B?50?，

相似三角形中的辅助线添加和相似三角形证明技巧

在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或得出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以下几种：

一、作平行线 例1. 如图， 的AB边和AC边上各取一点D和E，且使AD＝AE，DE延长线与BCABC延长线相交于F，求证：

BFBD

CFCE

B

A C

F F

证明：过点C作CG//FD交AB于G

小结：本题关键在于AD＝AE这个条件怎样使用。由这道题还可以增加一种证明线段相等的方法：相似、成比例。

例2. 如图，△ABC中，AB<AC，在AB、AC上分别截取BD=CE，DE，BC的延长线相交于点F，证明：AB·

DF=AC·EF。

分析：证明等积式问题常常化为比例式，再通过相似三角形对应边成比例来证明。

ABEF

欲证AB DF AC ，而这四条线段所在的两个三角形显然

ACDF

不相似，因而要通过两组三角形相似，运用中间比代换得到，为构造相似三角形，需添加平

行线。

方法一：过E作EM//AB，交BC于点M，则△EMC∽△ABC（两角对应相等，两三角形相似）。

EM AC AB EC

三角形中位线训练试题

一．解答题（共30小题） 1．（2013?常德）已知两个共一个顶点的等腰Rt△ABC，Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，连接AF，M是AF的中点，连接MB、ME．

（1）如图1，当CB与CE在同一直线上时，求证：MB∥CF； （2）如图1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的长； （3）如图2，当∠BCE=45°时，求证：BM=ME．

2．（2010?顺义区）在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D为AC的中点．

（1）如图1，E为线段DC上任意一点，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，过点F作FH⊥FC，交直线AB于点H．判断FH与FC的数量关系并加以证明； （2）如图2，若E为线段DC的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明．

3．（2008?黄石）如图，∠ABM为直角，点C为线段BA的中点，点D是射线BM上的一个动点（不与点B重合），连接AD，作BE⊥AD，垂足为E，连接CE，过点E作EF⊥CE，交BD于F．

（1）求证：BF=FD；

（2）∠A在什么范围内变化时，四边形ACFE是梯形，并说明理由；

（3）∠A在