静电场边值问题的唯一性定理的意义何在

静电场边值问题的唯一性定理

摘要：静电场边值问题及其唯一性定理是一重要知识点，定理的表述和证明都涉及较多的数学知识。由于唯一性定理的概念对于许多问题（如静电屏蔽）的确切理解有很大帮助，所以我们将给此定理一个物理上的论证，期待大家能从中有所受益. 关键词：静电场；边值；唯一性；静电屏蔽

1、问题的提出

实际中提出的静电学问题，大多不是已知电荷分布求电场分布，而是通过一定的电极来控制或实现某种电场分布。这里问题的出发点（已知的前提），除给定各带电体的几何形状、相互位置外，往往是在给定下列条件之一；

（1） 每个导体的电势UK； （2） 每个导体上的总能量QK；

其中K=1，2，……为导体的编号。寻求的答案则是在上述条件（称为边界条件）下电场的恒定分布。这类问题称为静电场的边值问题。

这里不谈静电场边值问题如何解决，而我们要问：给定一组边界条件，空间能否存在不同的恒定电场分布？唯一性定理对此的回答是否定的，换句话说，定理宣称：边界条件可将空间里电场的恒定分布唯一地确定下来。 2、几个引理

在证明唯一性定理之前，先作些准备工作——证明几个引理。为简单起见，我们暂把研究的问题限定为一组导体，除此之外的空间里没有电荷。

（1）引理一 在无电荷的空

1 静电场的边值问题

1．镜象法的理论依据是（ ）。基本方法是在所求场域的外部放置镜像电荷以等效的取代边界表面的（ ）。

2．根据边界面的形状，选择适当的坐标系，如平面边界，则选直角坐标；圆柱面选圆柱坐标系；球面选球坐标。以便以简单的形式表达边界条件。将电位函数表示成三个一维函数的乘积，将拉普拉斯方程变为三个常微分方程，得到电位函数的通解，然后寻求满足条件的特解，称为（ ）

3．将平面、圆柱面或球面上的感应电荷分布（或束缚电荷分布）用等效的点电荷或线电荷（在场区域外的某一位置处）替代并保证边界条件不变。原电荷与等效点电荷（即通称为像电荷）的场即所求解，称为（ ），其主要步骤是确定镜像电荷的位置和大小。

4．（ ）是一种数值计算方法，把求解区域用网格划分，同时把拉普拉斯方程变为网格点的电位有限差分方程（代数方程）组。在已知边界点的电位值下，用迭代法求得网格点电位的近似数值。

5．用镜像法求解电场边值问题时，判断镜像电荷的选取是否正确的根据是（ ）。 A．镜像电荷是否对称 B．电位所满足的方程是否未改变 C．边界条件是否保持不变 D．同时选择B和C

1 静电场的边值问题

1．镜象法的理论依据是（ ）。基本方法是在所求场域的外部放置镜像电荷以等效的取代边界表面的（ ）。

2．根据边界面的形状，选择适当的坐标系，如平面边界，则选直角坐标；圆柱面选圆柱坐标系；球面选球坐标。以便以简单的形式表达边界条件。将电位函数表示成三个一维函数的乘积，将拉普拉斯方程变为三个常微分方程，得到电位函数的通解，然后寻求满足条件的特解，称为（ ）

3．将平面、圆柱面或球面上的感应电荷分布（或束缚电荷分布）用等效的点电荷或线电荷（在场区域外的某一位置处）替代并保证边界条件不变。原电荷与等效点电荷（即通称为像电荷）的场即所求解，称为（ ），其主要步骤是确定镜像电荷的位置和大小。

4．（ ）是一种数值计算方法，把求解区域用网格划分，同时把拉普拉斯方程变为网格点的电位有限差分方程（代数方程）组。在已知边界点的电位值下，用迭代法求得网格点电位的近似数值。

5．用镜像法求解电场边值问题时，判断镜像电荷的选取是否正确的根据是（ ）。 A．镜像电荷是否对称 B．电位所满足的方程是否未改变 C．边界条件是否保持不变 D．同时选择B和C

w w w .k h d 课

23

3

3.1 / 3.1-1 一个半径为a ，壁厚d 极薄的肥皂泡对无穷远点的电位为U 0。当它破灭时假定

全部泡沫集中形成一个球形水滴。试求此水滴（drop ）对无穷远处的电位U d 。

若U 0=20V ，a=3cm ，d=10μm ，则U d =?

[解]

均匀带电球在场点,

,r 处电场可由高斯定理得出：

,4??0

2Q

r r E r

s d

E S

2

4

?r Q r

E 故均匀带电球表面至无穷远处的电位为 a

Q dr r

Q

l

d E U a

a

02

00

4

4

（1）

得肥皂泡带电量为 0

4

aU Q

水滴上将载有相同的电量，其电位也由(1)式得出，只是其半径为b ，该半径可根据肥皂

泡壁体积求出：

d

a b 23

43

4得 3

23d a b 从而有 V

d

a aU d

a aU U d

20010

1010

9320

10

33

34

4

3

6

4

23

2

3

2

3.2 / 3.1-2空气中有一半径为a 的球形电荷分布，已知球体内的电场强度为2?Cr r E

（r

C 为常数。求：a)球体内的电荷分布；b)球体外

的电场强度；c)球内外的电位分布；d)验证静电场的电位方程。

[解] a) 由高斯定理

v E

，得

Cr

Cr r

dr

d r E

r

v

02

用有限差分法解静电场边值问题

一、目的

1．掌握有限差分法的原理与计算步骤；

2．理解并掌握求解差分方程组的超松弛迭代法，分析加速收敛因子?的作用； 3．学会用有限差分法解简单的二维静电场边值问题，并编制计算程序。

二、方法原理

有限差分法是数值计算中应用得最早而又相当简单、直观的一种方法。应用有限差分法通常所采取的步骤是：

⑴ 采用一定的网格分割方式离散化场域。

⑵ 进行差分离散化处理。用离散的、只含有限个未知数的差分方程组，来近似代替场域内具有连续变量的偏微分方程以及边界上的边界条件（也包括场域内不同媒质分界面上的衔接条件）。

⑶ 结合选定的代数方程组的解法，编制计算机程序，求解由上面所得对应于待求边值问题的差分方程组，所得解答即为该边值问题的数值解。

现在，以静电场边值问题

2??2?????0?22??x?y???L?f(s)在D中 (1)(2)

为例，说明有限差分法的应用。f(s)为边界点s的点函数，二位场域D和边界L示于图5.1-1中。

yLDh3204h0x1

图5.1-1 有限差分的网格分割

1． 离散化场域

应用有限差分法时，首先需从网格划分着手决定离散点的分布方式。通常采用完全有规律的方式，这样在每个离散点上

北方民族大学 基础物理实验中心 大学物理实验指导书

实验十 DC-A型导电微晶静电场测试仪

在一些科学研究和生产实践中，往往需要了解带电体周围静电场的分布情况。一般来说带电体的形状比较复杂，很难用理论方法进行计算。用实验手段直接研究和测绘静电场通常也很困难。因为仪表（或其探测头）放入静电场，总要使被测场原有分布状态发生畸变；而且除静电式仪表之外的一般磁电式仪表不能用于静电场的直接测量，因为静电场中不会有电流流过，对这些仪表不起作用。所以，人们常用“模拟法”间接测绘静电场的分布。 一、实验目的

1、了解静电场模拟的依据； 2、学会用模拟法描绘静电场； 3、测绘静电场的等位线、电力线。 二、实验仪器

DC－A型描绘仪（包括导电微晶、双层固定支架、同步探针等），如图1所示，支架采用双层式结构，上层放记录纸，下层放导电微晶。电极已直接制作在导电微晶上，并将电极引线接出到外接线柱上，电极间制作有电导率远小于电极且各向均匀的导电介质。接通直流电源就可进行实验。在导电微晶和记录纸上方各有一探针，通过金属探针臂把两探针固定在同一手柄座上，两探针始终保持在同一铅垂线上。移动手柄座时，可保证两探针的运动轨迹是一样的。由导电微晶上方的穿梭针找到待测点后

实验三十二 静电场的描绘

【实验目的】

1．学会用模拟法测绘静电场。 2．加深对电场强度和电位概念的理解。 【实验仪器】

EQC-3型导电玻璃静电场描绘仪 【实验原理】

带电体的周围存在静电场，场的分布是由电荷的分布、带电体的几何形状及周围介质所决定的。由于带电体的形状复杂，大多数情况求不出电场分布的解析解，因此只能靠数值解法求出或用实验方法测出电场分布。直接用电压表法去测量静电场的电位分布往往是困难的，因为静电场中没有电流，磁电式电表不会偏转；另外由于与仪器相接的探测头本身总是导体或电介质，若将其放入静电场中，探测头上会产生感应电荷或束缚电荷。由于这些电荷又产生电场，与被测静电场迭加起来，使被测电场产生显著的畸变。因此，实验时一般采用间接的测量方法（即模拟法）来解决。 1．用稳恒电流场模拟静电场

模拟法本质上是用一种易于实现、便于测量的物理状态或过程模拟不易实现、不便测量的物理状态或过程，它要求这两种状态或过程有一一对应的两组物理量，而且这些物理量在两种状态或过程中满足数学形式基本相同的方程及边界条件。

本实验是用便于测量的稳恒电流场来模拟不便测量的静电场，这是因为这两种场可以用两组对应的物理量来描述，并且这两组物理量在一定条件下遵循着数

实验一 用有限差分法解静电场边值问题

一、目的

1．掌握有限差分法的原理与计算步骤； 2．理解并掌握求解差分方程组的超松弛迭代法，分析加速收敛因子?的作用； 3．学会用有限差分法解简单的二维静电场边值问题，并编制计算程序。 二、方法原理

有限差分法是数值计算中应用得最早而又相当简单、直观的一种方法。应用有限差分法通常所采取的步骤是：

⑴ 采用一定的网格分割方式离散化场域。

⑵ 进行差分离散化处理。用离散的、只含有限个未知数的差分方程组，来近似代替场域内具有连续变量的偏微分方程以及边界上的边界条件（也包括场域内不同媒质分界面上的衔接条件）。

⑶ 结合选定的代数方程组的解法，编制计算机程序，求解由上面所得对应于待求边值问题的差分方程组，所得解答即为该边值问题的数值解。

现在，以静电场边值问题

??2??2???0???x2?y2???f(s)?L在D中 (1)(2)为例，说明有限差分法的应用。f(s)为边界点s的点函数，二位场域D和边界L示于图5.1-1中。

yLDhh03204x1图5.1-1 有限差分的网格分割

1． 离散化场域

应用有限差分法时，首先需从网格划分着手决定离散点的分布方式。通常采用完全有规律的方式，这样在每个离

2019年高中物理竞赛辅导北京领航元旦班

第一讲：静电场

考点： 电荷守恒定律

库仑定律

电场强度 电场线

点电荷的场强 场强叠加原理 匀强电场

匀带电球壳内、外的场强公式(不要求导出) ※高斯定理及其在对称带电体系中的应用 电势和电势差 等势面 点电荷电场的电势 势叠加原理

均匀带电球壳内、外的电势公式 电场中的导体 静电屏蔽， ※静电镜像法

电容 平行板电容器的电容公式 ※球形、圆柱形电容器的电容 电容器的连联接

※电荷体系的静电能，※电场的能量密度， 电容器充电后的电能 ☆电偶极矩

☆电偶极子的电场和电势 电介质的概念

☆电介质的极化与极化电荷 ☆电位移矢量 一．电荷守恒定律

例1．(第34届预赛题)某一导体通过反复接触某块金属板来充电。该金属板初始电荷量为6μC，每次金属板与导体脱离接触后，金属板又被充满6μC的电荷量。已知导体第一次与金属板接触后，导体上带的电荷量为2μC；经过无穷次接触，导体上所带的电荷量最终为______________。

二．库仑定律 例2．（1）电荷不能自由移动的半圆环，半径为R，均匀带电，带电量为Q。圆心处有一点电荷，带电量为q。试计算半圆环受到圆

静电场中的导体和电介质 姓名______学号________序号_______

第二、六章 静电场中的导体和电介质

一、选择题

1、有一点电荷q及金属导体A，且A处于静电平衡状态。下列说法中正确的是： [ ] （A）导体内E?0，q不在导体内产生电场； （B）导体内E?0，q在导体内产生电场； （C）导体内E?0，q在导体内产生电场；

（D）导体内E?0，q不在导体内产生电场。

2、一个内半径为R1，外半径为R2的金属球壳，球壳外表面带电量为Q， 则 [ ] （A）球壳内表面的电位小于外表面的电位； （B）球壳内表面的电位等于外表面的电位； （C）球壳内表面的电位大于外表面的电位；

（D）以上情况都有可能。 3、两个同心薄金属球壳，半径分别为R1和R2（R2?R1），若分别带上电量为。现q1和q2的电荷，则两者的电势分别为U1和U2（选无穷远处为电势零点