一次函数与几何的综合运用

一次函数的应用

1.一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为y(km)，下图的折线表示x与y之间的函数关系。

（1）甲乙两地之间的距离为______km (2) 请解释图中点B的实际意义 （3）求慢车和快车的速度

2邮递员小王从县城出发，骑自行车到A村投递，途中遇到县城中学的学生李明从A村步行返校，小王从A村完成投递工作后，返回县城途中又遇到李明，便用自行车载上李明，一起到达县城，结果小王比预计王道1分钟，二人与县城的距离s（千米）和小王从县城出发后的时间t（分），之间关系如图，假设二人交流的时间不计。

（1） 小王和李明第一次相遇时，距县城_____千米 （2） 求小王从县城出发到返回县城所用的时间 （3） 李明从A村到县城公用多少时间？

3甲乙两车分别从A，B两地同时相向而行，匀速开往对方所在地。图1表示甲乙两车离A地的路程y(km)与出发时间x（h）的函数图象，图2表示甲乙两车之间的路程y（km）与出发时间x（h）的函数图象。

（1）A，B两地的为_______km, h的实际意义是_________

一次函数几何综合题

1．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在y轴正半轴上，顶点B在x轴正半

2

轴上，OA、OB的长分别是一元二次方程x﹣7x+12=0的两个根（OA＞OB）． （1）求点D的坐标．

（2）求直线BC的解析式．

（3）在直线BC上是否存在点P，使△PCD为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．

【答案】 【解析】 试题分析：（1）解一元二次方程求出OA、OB的长度，过点D作DE⊥y于点E，根据正方形的性质可得AD=AB，∠DAB=90°，然后求出∠ABO=∠DAE，然后利用“角角边”证明△DAE和△ABO全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=OA，AE=OB，再求出OE，然后写出点D的坐标即可； （2）过点C作CM⊥x轴于点M，同理求出点C的坐标，设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0，k、b为常数），然后利用待定系数法求一次函数解析式解答；

（3）根据正方形的性质，点P与点B重合时，△PCD为等腰三角形；点P为点B关于点C的对称点时，△PCD为等腰三角形，然后求解即可．

2

试题解析：（1）x﹣7x+12=0， 解得x1=3，x2=4， ∵OA＞OB， ∴OA=4，OB=3，

过D作DE⊥

一次函数与几何图形综合专题讲座

思想方法小结 ： （1）函数方法．

函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系，抽象、升华为函数的模型，进而解决有关问题的方法．函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数方法可以解决许多数学问题．

（2）数形结合法．

数形结合法是指将数与形结合，分析、研究、解决问题的一种思想方法，数形结合法在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用．

知识规律小结 ：

（1）常数k，b对直线y=kx+b(k≠0）位置的影响． ①当b＞0时，直线与y轴的正半轴相交； 当b=0时，直线经过原点；

当b﹤0时，直线与y轴的负半轴相交． ②当k，b异号时，即－当b=0时，即－b＞0时，直线与x轴正半轴相交； kb=0时，直线经过原点； kb当k，b同号时，即－﹤0时，直线与x轴负半轴相交．

k③当k＞O，b＞O时，图象经过第一、二、三象限； 当k＞0，b=0时，图象经过第一、三象限； 当b＞O，b＜O时，图象经过第一、三、四象限； 当k﹤O，b＞0时，图象经过第一、二、四象限； 当k﹤O，b=0时，图象经过第二、四象限； 当b＜O，b＜O时，图象经过第二、三、四象限． （2）直线y=kx+b（k≠0）与直线y=

一次函数与几何图形综合教学设计

（一）复习目标： 1.知识目标：①能根据信息写出一次函数表达式②用两个条

件确定一次函数表达式； ③利用函数图像和其他知识解决简单的几何图形问题

（二） 2.过程与方法：

（1）通过课本知识的复习巩固，使学生深入理解一次函数图象和性质，并能进一步提升自己应用的能力；

（2）通过典型习题的分析，使学生进一步体会函数中涉及的“数形结合”、“方程思想”、“分类思想”以及“待定系数法”求解析式的方法。 （二）教学重点难点

教学重点：一次函数应用。 教学难点：在理解的基础上结合本章渗透的数学思想和学到的数学方法分析、解决问题。 （三）教法学法

1、教学方法: ①“实践——理论——实践”的认知规律设计；②自学体验法——让学生经历知识的归纳，从中体验并发现问题，分析问题，进一步解决问题。 2、学法指导:

①自主探究,独立思考；②合作交流。

【教学目标】

1、熟练运用一次函数解决几何问题； 2、进一步体会数形结合的思想方法； 3、体会一次函数与几何图形的内在联系. 【教学过程】 问题1、如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（15，6），直线y=1/3x+b

y 恰好将矩形OABC分为面积相等的两

1、 直线y??2x?2与x轴、y轴交于A、B两点，C在y轴的负半轴上，且OC?OB （1）求AC的解析式；

（2）在OA的延长线上任取一点P，作PQ⊥BP，交直线AC于Q，试探究BP与PQ的

数量关系，并证明你的结论。

（3）在（2）的前提下，作PM⊥AC于M，BP交AC于N，下面两个结论：①

的值不变；②

MQ?ACPM

MQ?AC的值不变，期中只有一个正确结论，请选择并加以证明。

PMy

Q B M o C

2、如图①所示，直线L：y?mx?5m与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点。 （1）当OA=OB时，试确定直线L的解析式；

（2）在（1）的条件下，如图②所示，设Q为AB延长线上一点，作直线OQ，过A、B

两点分别作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若AM=4，BN=3，求MN的长。 （3）当m取不同的值时，点B在y轴正半轴上运动，分别以OB、AB为边，点B为直

角顶点在第一、二象限内作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，连EF交y轴于P点，如图③。问：当点B在 y轴正半轴上运动时，试猜想PB的长是否为定值，若是，请求出其值，若不是，说明理由。

A P x

yyBNxAOxEyPBOBAOFAMx

图①

1、 直线y??2x?2与x轴、y轴交于A、B两点，C在y轴的负半轴上，且OC?OB （1）求AC的解析式；

（2）在OA的延长线上任取一点P，作PQ⊥BP，交直线AC于Q，试探究BP与PQ的

数量关系，并证明你的结论。

（3）在（2）的前提下，作PM⊥AC于M，BP交AC于N，下面两个结论：①

的值不变；②

MQ?ACPM

MQ?AC的值不变，期中只有一个正确结论，请选择并加以证明。

PMy

Q B M o C

2、如图①所示，直线L：y?mx?5m与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点。 （1）当OA=OB时，试确定直线L的解析式；

（2）在（1）的条件下，如图②所示，设Q为AB延长线上一点，作直线OQ，过A、B

两点分别作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若AM=4，BN=3，求MN的长。 （3）当m取不同的值时，点B在y轴正半轴上运动，分别以OB、AB为边，点B为直

角顶点在第一、二象限内作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，连EF交y轴于P点，如图③。问：当点B在 y轴正半轴上运动时，试猜想PB的长是否为定值，若是，请求出其值，若不是，说明理由。

A P x

yyBNxAOxEyPBOBAOFAMx

图①

2012届一次函数的应用、二次函数与几何知识的综合应用练习题 1、某书报亭开设两种租书方式：一种是零星租书，每册收费1元；另一种是会员卡租书，办卡费每月12元，租书费每册0.4元．小军经常来该店租书，若每月租书数量为x册.

（1）写出零星租书方式应付金额y1(元)与租书数量x（册）之间的函数关系式；

（2）写出会员卡租书方式应付金额y2(元 )与租书数量x(册)之间的函数关系式；

（3）小军选取哪种租书方式更合算？

2、某汽车运输公司根据实际需要计划购买大、中型两种客车共20辆，已知大型客车每辆62万元，中型客车每辆40万元，设购买大型客车x（辆），购车总费用为y（万元）．

（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；

（2）若购买中型客车的数量少于大型客车的数量，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用． 3、如图，抛物线y=（一1，0）．

⑴求抛物线的解析式及顶点D的坐标； ⑵判断△ABC的形状，证明你的结论；

⑶点M(m，0)是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值．

12

x+bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A2第3题图

4、如图，直线y?3x?3交x轴于A点，交y轴于B点

《一次函数》常考题一次函数的应用

解答题

151．（2004?福州）如图所示，l1和l2分别表示一种白炽灯和一种节能灯的费用y（元）与照明时间x（小时）的函数关系图象，假设两种灯的使用寿命都是2000小时，照明效果一样．（费用=灯的售价+电费） （1）根据图象分别求出l1，l2的函数关系式； （2）当照明时间为多少时，两种灯的费用相等？

（3）小亮房间计划照明2500小时，他买了一个白炽灯和一个节能灯，请你帮他设计最省钱的用灯方法．

152．（2001?南京）某医药研究所开发了一种新药，在试验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么服药后2小时时血液中含药量最高，达每毫升6微克（1微克=10毫克），接着逐步衰减，10小时时血液中含药量为每毫升3微克，每毫升血液中含药量y（微克），随时间x（小时）的变化如图所示． 当成人按规定剂量服药后，

（1）分别求出x≤2和x≥2时，y与x之间的函数关系式；

（2）如果每毫升血液中含药量为4微克或4微克以上时在治疗疾病时是有效的，那么这个有效时间是多长？

﹣3

153．（2002?大连）某批发商欲将一批海产品由A地运往B地，汽车货运公司和铁路货运公司均开办了海产品运输业务．已知运输路程为120千米，

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一次函数几何应用----面积专题

典例讲习

考点一：由坐标引发的面积问题：

b一次函数y?kx?b与y轴交于A(0,b)、x轴交于B(?,0)，则坐标三角形面积S?AOBkb2?。 2k例1：如图，直线y=2x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．则S?AOB的面积为 ． 变式：设直线y?kx?k?1和直线y?(k?1)x?k（k是正整数）及X轴围成的三角形的面积为Sk，求S1?S2?S2?...?S2014的值。

4例2、（乌鲁木齐中考）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y??x?4分别交x轴，y轴于点

3A、B，将△AOB绕点O顺时针旋转90°后得到△A′OB′．

（1）求直线A′B′的解析式；（2）若直线A′B′与直线l相交于点C，求△A′BC的面积．

变式（宜宾中考）已知：如图，在平面直角坐标系xoy中，一次函数y?轴交于A、B两点，将△AOB绕点O顺时针旋转90°后得到△A′OB′． （1）求直线A′B′的解析式；

（2）若直线A′B′与直线AB相交于点C，求S△A′BC：S△ABO的值．

3x?3的图象与x轴和y4

10.4x+ y

5x+1

1、若分式 的值为零，则x= 。 2、不改变分式的值，把分式 的分子、分

3x—21

x+0.2y5母各基系数化为整数，则为 。 1

3、计算： +（x—2）—1= 。

x+2

4、用科学数法表示—1350000= ；0.000018= 。 m—2nm—2n

5、计算： +3mn = 。

3mn4ab4ab

6、计算：（a—b+ ）（a+b— ）= 。

a—b a+b4x2x+1

7、方程 = 的解是 。

2x—1x—2

8、某市为了治理污水，需要铺设一段全长为3000米的污水排放管道，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天的工作效率比原计划增加25%，结果提前20天完成这一任务，求原计划每天铺设管道多少米？设原计划每天铺设x米管道，根据题意可列得方程 。

11x29、已知x＋=3，求4= 。10、使分式