数列极限性质总结

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数列极限(习题总结)

标签:文库时间:2025-02-15
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奥数

一、数列极限的概念辨析

1.若 lim an = C , 那么2 2 n →∞

A. lim an = cn →∞ n →∞

B. lim an = cn →∞ n →∞

B. lim an =| c | D. lim an可能不存在

奥数

2.若 lim an = A, lim bn = B, 则n →∞ n →∞

下列各式中必定成立的是 n n A. lim(nan ) = nA B. lim an = An →∞ n →∞

an A C. lim = n →∞ b B n D. lim(man + kbn ) = mA + kBn →∞

奥数

3.对于下列五个命题: 对于下列五个命题: 对于下列五个命题

an p (1)若 lim an = p, lim bn = r , 则 lim = n →∞ n →∞ n →∞ b r n(2)若 lim(anbn ) = pr , 则 lim an = p, lim bn = rn →∞

(3)若 lim an = p, 则 lim (a ) = p (m为常数)m n →∞ n →∞

n →∞ m n

n→

(4)若 lim an = p, 则 lim (nan ) = npn →∞ n →∞

c (5)若 lim =

数列公式性质总结

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一 定义(n≥2,n∈N)

1 等差:an-an?1=d 1′ 等比: 二 通项公式

1

?an=q(q≠0) an?1an?a1?(n?1)d (推导方法:累加法) an?am?(n?m)d?d=an?amn?m

1′an?a1?qn?1(a1?q?0) (推导方法:累乘法) an?am?qn?m?qn?m=anam三 ?an?性质

1 A是a与b的等差中项?a,A,b成等差数列2A?a?b?A=a+b。 221′ G是a与b的等比中项?a,G,b成等比数列?G?a?b?G??ab。

2 m?n?p?q(m,n,p,q?N?),则am?an?ap?aq;当n+m=2k时,得an?am=2ak 2′ m?n?p?q(m,n,p,q?N?) 则am?an?ap?aq;当n+m=2k时,得an?am=ak2 3 {an},{bn}为等差数列,则{an?k},{k?an},{an?bn},{kan?b}为等差数列. 3′{an},{bn}为等比数列,则{a1},{k?an},{an2},{a2n?1},{anbn}{n}为等比数列. anbn4 等差?an?中,an

数列的极限

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数列的极限

年级__________ 班级_________ 学号_________ 姓名__________ 分数____

总分 一 二

得分 阅卷人 一、选择题(共40题,题分合计200分)

1.无穷数列??1??4n2?1??各项的和等于 113A.1 B. 2 C. 4 D.2

132.无穷等比数列{an}中,a1=2,q=4设Tn=a22+a24+a26+…+a2lim2n,则n??Tn等于 96A.28 B.7 C.2 D.1

3.已知等比数列{an}中,a1+a2+a3=9,a4+a5+a6=-3,Sn=a1+a2+a3+…+alimn,则n??Sn等于

2748A.4 B.175 C.6 D.12

limS1n??n?4.在等比数列{an}中,a1>1,且前n项和Sn满足

a1,那么a1

的取值范围是

A.(1,+∞) B.(1,4) C.(1,2) D.(1,2)

第1页,共23页

5.

n??limnC2nn?1C2n?2等于

11A.0 B.2 C.2 D.4

数列的极限

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数列的极限

年级__________ 班级_________ 学号_________ 姓名__________ 分数____

总分 一 二

得分 阅卷人 一、选择题(共40题,题分合计200分)

1.无穷数列??1??4n2?1??各项的和等于 113A.1 B. 2 C. 4 D.2

132.无穷等比数列{an}中,a1=2,q=4设Tn=a22+a24+a26+…+a2lim2n,则n??Tn等于 96A.28 B.7 C.2 D.1

3.已知等比数列{an}中,a1+a2+a3=9,a4+a5+a6=-3,Sn=a1+a2+a3+…+alimn,则n??Sn等于

2748A.4 B.175 C.6 D.12

limS1n??n?4.在等比数列{an}中,a1>1,且前n项和Sn满足

a1,那么a1

的取值范围是

A.(1,+∞) B.(1,4) C.(1,2) D.(1,2)

第1页,共23页

5.

n??limnC2nn?1C2n?2等于

11A.0 B.2 C.2 D.4

《数列的极限》教学设计精品

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《数列的极限》教学设计

南海市桂城中学 邝满榆

(一)教材分析

数列和极限是初等数学和高等数学衔接与联系最紧密的内容之一,是学习高等数学的基础,微积分中所有重要概念,如导数、定积分等,都是建立在极限概念的基础上,极限的概念是微积分的重要概念和重点,本节数列的极限是极限的一类,与函数极限形式不同,但它们的思想是完全相同的,通过数列极限(ε-N定义)概念的教学,使学生初步理解极限的思想方法,为学习高等数学打下基础。

(二)教学对象

学生在初中已知道:当圆的内接正多边形的边数不断的成倍增加时,多边形的周长Pn不断增大,并越来越接近于圆的周长C。在高一立几推导球的表面积公式时也接触过极限的思想。这些都为学生理解数列极限的定义打下基础。但因为学生以前接触的代数运算都是有限运算,而极限概念中含有“无限”,比较抽象,又要将“无限”定量描述出来,即用ε-N的语言叙述出来更困难了,所以这一课是数列极限这一章中学生最难听得懂,教师也最难讲得好的一课。讲好的关键是结合数列的图象和表格讲清“无限”的几何意义,使学生对数列极限有较丰富的感性认识并讲清“无限趋近”和“无限增大”的意义和二者之间的联系。

(三)教学媒体:投影仪 (四)教学目标

⑴掌握数列极限的定义。

⑵应

数列,极限,数学归纳法·等比数列

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数列、极限、数学归纳法·等比数列

教学目标

1.理解并掌握等比数列的定义、通项公式及其初步应用;领略“递推”的思想方法.

2.通过公式的探求,引导学生学习观察、类比、猜测等合情推理方法,提高学生分析、综合、抽象、概括等逻辑思维能力.

3.通过教证明、教猜想,学生领会数学的严谨性和探索精神,培养学生实事求是的科学态度和积极参与的主动精神.

教学重点和难点

等比数列定义、通项公式及其一般形式的探求. 教学过程设计

师:请同学们回忆等差数列是怎么定义的?通项公式是什么?怎样证明? 生1:定义是:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,这个常数叫公差,用d表示.

(生1语言表述,老师代为写出)an-an-1=d,n=2,3,?. 生2:通项公式是an=a1+(n-1)d,n=2,3,?. 师:作为“通项”公式,应对所有项适合,是这样吗?

生3:当n=1时,左边=a1,右边=a1+(1-1)d=a1+0=a1,适合.所以通项公式为an=a1+(n-1)d,n=1,2,3,?.

师:哪位同学能证明?

生4:(板书)在an-an-1=d中,命下标取2,3,?,n-1,n,得 a2-a1=d a3-a2=d a4

《数列的极限》教学设计精品

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《数列的极限》教学设计

南海市桂城中学 邝满榆

(一)教材分析

数列和极限是初等数学和高等数学衔接与联系最紧密的内容之一,是学习高等数学的基础,微积分中所有重要概念,如导数、定积分等,都是建立在极限概念的基础上,极限的概念是微积分的重要概念和重点,本节数列的极限是极限的一类,与函数极限形式不同,但它们的思想是完全相同的,通过数列极限(ε-N定义)概念的教学,使学生初步理解极限的思想方法,为学习高等数学打下基础。

(二)教学对象

学生在初中已知道:当圆的内接正多边形的边数不断的成倍增加时,多边形的周长Pn不断增大,并越来越接近于圆的周长C。在高一立几推导球的表面积公式时也接触过极限的思想。这些都为学生理解数列极限的定义打下基础。但因为学生以前接触的代数运算都是有限运算,而极限概念中含有“无限”,比较抽象,又要将“无限”定量描述出来,即用ε-N的语言叙述出来更困难了,所以这一课是数列极限这一章中学生最难听得懂,教师也最难讲得好的一课。讲好的关键是结合数列的图象和表格讲清“无限”的几何意义,使学生对数列极限有较丰富的感性认识并讲清“无限趋近”和“无限增大”的意义和二者之间的联系。

(三)教学媒体:投影仪 (四)教学目标

⑴掌握数列极限的定义。

⑵应

§2.3 数列极限存在的条件

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第二章 数列极限 §3 数列极限存在的条件 《数学分析》电子教案

§3 数列极限存在的条件

【教学目的】 使学生掌握判断数列极限存在的常用工具。掌握并会证明单调有界定理,并会运用它求某些

收敛数列的极限;初步理解Cauchy准则在极限理论中的主要意义,并逐步会应用Cauchy准则判断某些数列的敛散性。

【教学重点】 单调有界定理、Cauchy收敛准则及其应用。 【教学难点】 相关定理的应用。

引言

在研究比较复杂的极限问题时,通常分两步来解决:先判断该数列是否有极限(极限的存在性问题);若有极限,再考虑如何计算些极限(极限值的计算问题)。这是极限理论的两基本问题。

本节将重点讨论极限的存在性问题。为了确定某个数列是否有极限,当然不可能将每一个实数依定义一一加以验证,根本的办法是直接从数列本身的特征来作出判断。本节就来介绍两个判断数列收敛的方法。

一、单调数列

定义 若数列?an?的各项满足不等式an?an?1(an?an?1),则称?an?为递增(递减)数列。递增和递减数列统称为单调数列.

?(?1)n??1?2例如:??为递减数列;?n?为

等差、等比数列的性质总结

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等差数列的性质总结

1.等差数列的定义:an?an?1?d(d为常数)(n?2);

2.等差数列通项公式:

an?a1?(n?1)d?dn?a1?d(n?N*) , 首项:a1,公差:d,末项:an 推广: an?am?(n?m)d. 从而d?

3.等差中项

(1)如果a,A,b成等差数列,那么A叫做a与b的等差中项.即:A?a?b或2an?am;

n?m2A?a?b

2

?an?是等差数列

?2an?an-1?an?1(n?2)?2an?1?an?an?2

4.等差数列的前n项和公式:

Sn?n(a1?an)n(n?1)d1?na1?d?n2?(a1?d)n?An2?Bn 2222(其中A、B是常数,所以当d≠0时,Sn是关于n的二次式且常数项为0)

特别地,当项数为奇数2n?1时,an?1是项数为2n+1的等差数列的中间项

S2n?1??2n?1??a1?a2n?1??2?2n?1?an?1(项数为奇数的等差数列的各项和等于项数

乘以中间项)

5.等差数列的判定方法

(1) 定义法:若an?an?1?d或an?1?an?d(常数n?N)? ?an?是等差数列.

?(2) 等差中项:数列

?a

求数列极限的若干方法

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摘要

极限论是数学分析的基础,它从方法上表现了高等数学与初等数学的不同。极限研究的是变量在变化过程中的趋势问题。数学分析中所讨论的极限大体上分为两类:一类是数列的极限,一类是函数的极限。两类极限在本质上是相同的,在形式上数列极限是函数极限的特例。本文主要研究数列极限。在求数列极限的过程中,必然以相关的概念、定理及公式为依据,并借助一些重要的方法和技巧。

关键词:极限、数列、函数

Abstract

Limit is mathematical analysis, the method of it from the higher mathematics elementary mathematics and different. The study is the ultimate in the process of change in trend of variables. The mathematical analysis discussed the limit can be broadly divided into two kinds: one kind is the limit, is a function of the limit. T