极限部分公式

常见气体的爆炸极限 气体名化学分子式 下限(V/V) (体积分上限(V/V) (体积分称 乙烷 乙醇 乙烯 氢气 硫化氢 甲烷 甲醇 丙烷 甲苯 二甲苯 乙炔 氨气 苯 丁烷 丙烯 丙酮 苯乙烯 C2H6 C2H5OH C2H4 H2 H2S CH4 CH3OH C3H8 C6H5CH3 C2H2 NH3 C6H6 C4H10 C3H6 CH3COCH3 C6H5CHCH2 数) / % 3.0 3.4 2.8 4.0 4.3 5.0 5.5 2.2 1.2 1.5 15 1.2 1.9 12.5 2.4 2.3 1.1 数) / % 15.5 19 32 75 45 15 44 9.5 7 7.6 100 30.2 8 8.5 74 10.3 13 8.0 C6H5(CH3)2 1.0 一氧化碳 CO 爆炸极限计算方法：比较认可的计算方法有两种： 莱·夏特尔定律

对于两种或多种可燃蒸气混合物，如果已知每种可燃气的爆炸极限，那么根据莱·夏特尔定律，可以算出与空气相混合的气体的爆炸极限。用Pn表示一种可燃气在混合物中的体积分数，则：

LEL=（P1+P2+P3）/（P1/LEL1+P2/LEL2+P3/LEL3） （V%）

常见气体的爆炸极限 气体名化学分子式 下限(V/V) (体积分上限(V/V) (体积分称 乙烷 乙醇 乙烯 氢气 硫化氢 甲烷 甲醇 丙烷 甲苯 二甲苯 乙炔 氨气 苯 丁烷 丙烯 丙酮 苯乙烯 C2H6 C2H5OH C2H4 H2 H2S CH4 CH3OH C3H8 C6H5CH3 C2H2 NH3 C6H6 C4H10 C3H6 CH3COCH3 C6H5CHCH2 数) / % 3.0 3.4 2.8 4.0 4.3 5.0 5.5 2.2 1.2 1.5 15 1.2 1.9 12.5 2.4 2.3 1.1 数) / % 15.5 19 32 75 45 15 44 9.5 7 7.6 100 30.2 8 8.5 74 10.3 13 8.0 C6H5(CH3)2 1.0 一氧化碳 CO 爆炸极限计算方法：比较认可的计算方法有两种： 莱·夏特尔定律

对于两种或多种可燃蒸气混合物，如果已知每种可燃气的爆炸极限，那么根据莱·夏特尔定律，可以算出与空气相混合的气体的爆炸极限。用Pn表示一种可燃气在混合物中的体积分数，则：

LEL=（P1+P2+P3）/（P1/LEL1+P2/LEL2+P3/LEL3） （V%）

一、函数、极限、连续重要概念公式定理

（一）数列极限的定义与收敛数列的性质

数列极限的定义：给定数列{}n x ,如果存在常数A ,对任给0ε>,存在正整数N ,使当n N >时,恒有n x A ε-<,则称A 是数列{}n x 的当n 趋于无穷时的极限,或称数列{}n x 收敛于A ,记为lim n n x A →∞=.若{}n x 的极限不存在,则称数列{}n x 发散.

收敛数列的性质：

(1)唯一性：若数列{}n x 收敛,即lim n n x A →∞

=,则极限是唯一的． (2)有界性：若lim n n x A →∞

=,则数列{}n x 有界,即存在0M >,使得对n ?均有n x M ≤. (3)局部保号性：设lim n n x A →∞

=,且()00A A ><或,则存在正整数N ,当n N >时,有()00n n x x ><或.

(4)若数列收敛于A ,则它的任何子列也收敛于极限A .

（二）函数极限的定义

（三）函数极限存在判别法 (了解记忆)

1．海涅定理：()0lim x x f x A →=?对任意一串0n x x →()0,1,2,n x x n ≠=L ,都有 ()lim n n f x A →∞

=． 2.充要条件：(1)()()000lim ()lim lim x x x x x x f x A f x f x A +-→→→=?==;

(2)lim ()lim ()lim ()x x x f x A

第一讲 极限与连续

第一讲 极限与连续

题型一、数列极限的计算

方法：（1）夹逼定理； （2）单调有界准则； （3）重要公式或转化为函数极限；

（4）化为定积分； （5）无穷级数收敛的必要条件． 1．一般项un为n项和数列极限

这类题目首先想到的方法是利用积分和式求极限，适用此法un的形式简单，套得上就套，套不上就用夹逼定理，但也要注意用夹逼定理时，左、右两个极限也可能要用积分和式求极限。

例1．1）设 数列un?1n?11n?122?21n?21n?222?……?1n?n122，求极限limun．

x?? 2）设数列un???……?n?n2，求极限limun．

x??解：1） 因为 un?1112n1?()n1n?121?()n2n1?……?1n1?()n2n

1??n1i21?()n1?????n??1i?1?dx1?(x)20 ?ln(x?x?1)022?ln(1?2)

2）该题与题1）只差根号中的n?n，就不可表示为定积分了，改用夹逼定理，

1?nn?n22?un?nn?12?1（n??）

所以 limun?1

n??注意：该题un中的1n?i2起作用的是n，将各项中的i换成为1或者

高等数学中有关极限、无穷小和导数的公式

两个重要极限

第一个重要极限：lim

推论：lim

第二个重要极限：lim(1 )x e

x

sinx

1

x 0x

tanxarcsinxarctanx 1，lim 1，lim 1

x 0x 0x 0xxx

1

x

1其他形式：lim(1 n e,n n

推论：lim

lim 1 x e

x 0

1x

loga(1 x)1ln(1 x)

lim 1

x 0x 0xlnax

ax 1ex 1lim lna lim 1 x 0x 0xx

高等数学中有关极限、无穷小和导数的公式

等价无穷小

当x 1时，lnx x 1（这个等价无穷小很有用。） 证明：lnx ln[1 (x 1)] x 1（ x 1 0）

高等数学中有关极限、无穷小和导数的公式

导 数

高等数学中有关极限、无穷小和导数的公式

高阶导数

函数f(x)在点x0注 如果函数f(x)在点x0处的二阶可导，则函数f(x)在点x0的某个邻域内必须有连续的导数

f (x)。

两个函数乘积的高阶导数（莱布尼茨公式）：

uv

n

k n k k

Cnuv k 0

n

或

(uv)

(n)

n(n 1)...(n k 1)(n k)(k)

v

k!k 0

n

高等数学中有关极限、无穷小和导数的公式

求导法则和方法

三角函数以及极限公式整合三角函数以及极限公式整合三角函数以及极限公式整合三角函数以及极限公式整合

三角函数公式整合：

两角和公式

sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) 

cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)

倍角公式

Sin2A=2SinA CosA

Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1

tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2）

和差化积

sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2] sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2] cosθ+cosφ = 2

第一部分 函数、极限、连续 第 1 页 共 23 页

第一部分 函数、极限、连续

[选择题]

容易题 1—47，中等题48—113，难题114—154。 1．设f(x)的定义域是[0,4]，则f(x)的定义域是( ) A. [0,4] C. [0,16]

B. [-2,2] D. [0,2]

22．设函数y?f(x)的定义域为[0,2]，a?0，则y?f(x?a)?f(x?a) 的定义域为( ) A.[?a,2?a]?[a,2?a] B. ?

C. 当a?1时，定义域：a?x?2?a；当a?1时，?； D. [?a,2?a]?[a,2?a] 3．若Z?3y?f(3x?1)，且已知当y?1时，z?x.则f(x)?（）

A.(x?1)?1 B.x?1 C.(t?1)?1 D.t?1 4．下列不正确的是（）

A.f,g在(??,??)上都为单调增（减）函数，则f?g,f?g,f?g,为单调增（减）函数

B.f,g在(??,??)上都为单调增（减）函数，则f?g,max(f,g),min(f,g)都 为单调增（减）函数

3f(g?

西南石油大学《高等数学》专升本讲义

极限存在准则 两个重要极限

【教学目的】

1、了解函数和数列的极限存在准则； 2、掌握两个常用的不等式； 3、会用两个重要极限求极限。 【教学内容】

1、夹逼准则；

2、单调有界准则； 3、两个重要极限。 【重点难点】

重点是应用两个重要极限求极限。

难点是应用函数和数列的极限存在准则证明极限存在，并求极限。 【教学设计】从有限到无穷，从已知到未知，引入新知识（5分钟）。首先给出极限存在准则（20分钟），并举例说明如何应用准则求极限（20分钟）；然后重点讲解两个重要的极限类型，并要求学生能利用这两个重要极限求极限（40分钟）；课堂练习（15分钟）。 【授课内容】

引入：考虑下面几个数列的极限

10001、limn???i?1n1n?i1n?i221000个0相加，极限等于0。

2、limn???i?1无穷多个“0”相加，极限不能确定。

3、limxn，其中xn=n??3+xn-1，x1=3，极限不能确定。

对于2、3就需要用新知识来解决，下面我们来介绍极限存在的两个准则：

一、极限存在准则

1.

高一3班公式默写

1.同角三角函数的基本关系

?1?sin2??cos2??_____?sin2??1?_____,cos2??1?______?；

?2?tan??? ?sin??ta?n?sin??． _____,_?____?_tan??y?cosx 2.正余弦函数性质 函y?sinx数 性 质 y?tanx图象 定义域 值域 最值 周期性 奇偶性 单调性 单调递减区间: 单调递增区间: 对称性 对称中心： 对称轴： 单调递减区间: 单调递增区间: 对称中心： 对称轴： 单调递减区间: 单调递增区间: 对称中心： 对称轴： 关于函数y?Asin(?x??)(A?0,??0)的性质

求函数y?Asin(?x??)的单调增区间:___________________________________ 求函数y?Asin(?x??)的单调减区间:___________________________________ 求函数y?Asin(?x??)的对称轴:______________________________ 求函数y?Asin(?x??)的对称中心:______

爆炸极限计算

爆炸反应当量浓度、爆炸下限和上限、多种可燃气体混合物的爆炸极限计算方法如下： (1)爆炸反应当量浓度。爆炸性混合物中的可燃物质和助燃物质的浓度比例，在恰好能发生完全的化合反应时，则爆炸所析出的热量最多，所产生的压力也最大。实际的反应当量浓度稍高于计算的反应当量浓度，这是因为爆炸性混合物通常含有杂质。

可燃气体或蒸气分子式一般用CαHβOγ表示，设燃烧1mol气体所必需的氧摩尔数为n，则燃烧反应式可写成：

CαHβOγ+nO2→生成气体

按照标准空气中氧气浓度为20．9％，则可燃气体在空气中的化学当量浓度X(％)，可用下式表示：

可燃气体在氧气中的化学当量浓度为Xo(％)，可用下式表示：

也可根据完全燃烧所需的氧原子数2n的数值，从表1中直接查出可燃气体或蒸气在空气(或氧气)中的化学当量浓度。其中。

可燃气体（蒸气）在空气中和氧气中的化学当量浓度

(2)爆炸下限和爆炸上限。各种可燃气体和燃性液体蒸气的爆炸极限，可用专门仪器测定出来，或用经验公式估算。爆炸极限的估算值与实验值一般有些出入，其原因是在计算式中只考虑到混合物的组成，而无法考虑其他一系列因素的影响，但仍不失去参考价值。 1)根据完全燃烧反应