实变函数与泛函分析曹怀信参考答案

实变函数与泛函分析概要

第一章 集合 基本要求：

1、 理解集合的包含、子集、相等的概念和包含的性质。

2、 掌握集合的并集、交集、差集、余集的概念及其运算性质。 3、 会求已知集合的并、交、差、余集。 4、 了解对等的概念及性质。 5、 掌握可数集合的概念和性质。 6、 会判断己知集合是否是可数集。

7、 理解基数、不可数集合、连续基数的概念。 8、了解半序集和Zorn引理。

第二章 点集 基本要求：

1、 理解n维欧氏空间中的邻域、区间、开区间、闭区间、体积的概念。

2、 掌握内点、聚点的概念、理解外点、界点、孤立点的概念。掌握聚点的性质。 3、 掌握开核、导集、闭区间的概念及其性质。 4、 会求己知集合的开集和导集。

5、 掌握开核、闭集、完备集的概念及其性质，掌握一批例子。 6、 会判断一个集合是非是开（闭）集，完备集。 7、 了解Peano曲线概念。

主要知识点：一、基本结论：

1、 聚点性质§2 中T1聚点原则：

P0是E的聚点? P0的任一邻域内，至少含有一个属于E而异于P0的点?存在E中互异的点列{Pn}，使Pn →P0 （n→∞）

2、 开集、导集、闭集的性质§2 中T2、T3

··－－

T2：设A?

1．证明下列集合等式．

(1) A??B\\C???A?B?\\?A?C?； (2) ?A?B?\\C??A\\C???B\\C?； (3) A\\?B\\C???A\\B???A?C?． 证明 (1) A?(B\\C)?A?(B?Cc)

?(A?B?Ac)?(A?B?Cc) ?(A?B)?(A?C)c ?(A?B)\\(A?C) .

(2) (A?B)\\C?(A?B)?Cc

?(A?Cc)?(B?Cc) =(A\\C)?(A\\C).

(3) A\\(B\\C)?A\\(B?Cc) ?A?(B?Cc)c

?A?(Bc?C)

?(A?Bc)?(A?C) ?(A\\B)?(A?C).

2．证明下列命题．

(1) ?A\\B??B?A的充分必要条件是：B?A； (2) ?A?B?\\B?A的充分必要条件是：A?B??； (3) ?A\\B??B??A?B?\\B的充分必要条件是：B??．

证明 (1) (A\\B)?B?(A?Bc)?B?(A?B)?(Bc?B)?A?B?A的充要条

是：B?A.

(2) (A?B)\\B?(A?B)?Bc?(A?Bc)?(B?Bc)?A?Bc

必要

一d(x,y)、设证明：显然

为空间

~d(y,x)也是X上的距离。 X上的距离，试证：d(y,x)?1?d(y,x)~~d(x,y)?0,并且d(x,y)?0?d(x,y)?0?x?y。

再者，

~~d(y,x)d(x,y)d(y,x)???d(x,y)；

1?d(y,x)1?d(x,y)最后，由

t1的单调增加性及d(x,y)?d(x,z)?d(z,y)，可得 ?1?1?t1?t~d(x,y)d(x,z)?d(z,y)d(x,z)d(z,y)d(x,y)????1?d(x,y)1?d(x,z)?d(z,y)1?d(x,z)?d(z,y)1?d(x,z)?d(z,y)

?~~d(x,z)d(z,y)??d(x,z)?d(z,y)。

1?d(x,z)1?d(z,y)、设

二

p?1，xn?(?1(n),?,?i(n),)?lp，n?1,2,?，x?(?1,1p,?i,)?lp，则

n??时，

p??d(xn,x)????i(n)??i??0的充要条件为(1)n??时，?i(n)??i，i?1,2,?i?1?；

(2)???0，

存在

N?0，使得

i?N?1???i(n)??对任何自然数n成立。

?1p??(n)(n)???必要性证明：由d(x,x)?ni?

实变函数与泛函分析初步 试卷

(课程代码02012)

专业________班级_______姓名 学号

题号 一 二 三 四 五 总分

得分 注 意 事 项

1、本试卷共6页。

2、考生答题时必须准确填写专业、班级、学号等栏目，字迹要清楚、工整。

得 分 一.单项选择题（3分×5=15分）

1．设M,N是两集合，则 M?(M?N)=（ ） (A) M (B) N (C) M?N (D) ?

2. 下列说法不正确的是( )

E中无穷多个点，则PE的聚点 (A) P0的任一领域内都有0是E中异于PE的聚点 (B) P0的任一领域内至少有一个0的点，则P0是E的聚点 (C) 存在E中点列?Pn?，使Pn?P0，则P0是

(D) 内点必是聚点

3. 下列断言( )是正确的。

（A）任意个开集的交是开集；(B) 任意个闭集的交是闭集； (C) 任意个闭集的并是闭集；(D) 以上都不对； 4. 下列断言中( )是错误的。

（A）零测集是可测集； （B）可数个零测集的并

考 学院第 学年度第 学期 《实变函数》试卷一 生专业_________班级________ 姓名 学号 题号 得分 一 答二 三 四 五 总分 题注 意 事 项 1、本试卷共6页。 2、考生答题时必须准确填写专业、班级、学号等栏目，字迹要清楚、工整。

得 分 不 一、单项选择题（3分×5=15分） 1、1、下列各式正确的是（ ） （A）limAn???Ak; （B）limAn???Ak; ????得n??n?1k?n??n??n?1k?n?（C）limAn???Ak; （D）limAn???Ak; n??n?1k?nn??n?1k?n?2、设P为Cantor集，则下列各式不成立的是（ ） 超（A）P? c (B) mP?0 (C) P?P (D) P?P 3、下列说法不正确的是（ ） (A) 凡外侧度为零的集合都可测（B）可测集的任何子集都可测 (C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D）波雷耳集都可测 '?此4、设?fn(x)?是E上的a.e.有限的可测函数列,则下面不成立的是

实变函数

《实变函数》作业参考答案

一．判断题

1．对； 2．错； 3．对；4．对； 5．错； 6．对； 7．错； 8．对； 9．对； 10.对； 11.对； 12.错。 二．

1．证明：(??I?A?)?B??(A??B).

??I证明：直接的用定义，证明左边包含右边，右边包含左边。 2．试找出使(0,1)和[0,1]之间一一对应的一种方法。 证明：令{x1,x2,x3,...}?(0,1)，做f(x)，使得

?1?f(x)??0?x?n?2其它处，f(x)?x. 三．证明题

x?x1x?x2， x?xn,n?21. 设fn(x)是E上几乎处处有限的可测函数列，mE??，而fn(x)几乎处处收敛于有限函数f(x)，则对任意的??0，存在常数c与可测集E0?E，m(E\\E0)??，使在E0上，对一切n，有|f(x)|?c。 证明：直接利用鲁津定理。

2. 证明：证明CG?{x|f(x)?a}是开集，事实上，对任意x?CG，则f(x)?a，由连续函数的局部保号性，存在??0，使得对一切的t?

实变函数测试题1

本试题参考答案由08统计班15号 李维提供 有问题联系15173241399

1、设 A2n?1?(0,1/n),A2n?(0,n),n?0,1,2...,求出集列{An}的上限集和下限集合。 解：limAn??0,??；设x??0,??，则存在N，使x?N，因此n?N时，0?x?n，

n??即x?A2n，所以x属于下标比N大的一切偶指标集，从而x属于无限多An，得x?limAnn??又显然limAn??0,??，所以limAn??0,??。

n??n??n??limAn??；若有x?limAn，则存在A，使任意n?N,有x?An。因此若2n?1?N时，

n??x?A2n?1，即0?x?1.令n??得0?x?0，此不可能，所以limAn??。 nn??2、证明：f(x)为[a,b]上连续函数的充分必要条件是对任意实数c，集E?xf(x)?c和

??E1??xf(x)?c?都是闭集。

证明：必要性：若f(x)是?a,b?上连续函数，由第二章习题8可知E1和E是闭集。 充分性：若E1和E都是闭集。若有x0??a,b?，f(x)在x0点不连续。则存在

?0?0,xn?x0,f?xn??f?x0???0，或f?xn??f?x0???0，不妨

实变函数试题库及参考答案（5） 本科

一、填空题

1．设A,B为集合，则A?B___(B\\A)?A

2．设E?R，如果E满足E?E（其中E表示E的内部），则E是

n00)必为G3．设G为直线上的开集，若开区间(a,b)满足(a,b)?G且a?G,b?G，则(a,b的

4．设A?{x|x?2n,n为自然数}，则A的基数a(其中a表示自然数集N的基数) 5．设A,B为可测集，B?A且mB???，则mA?mB__m(A\\B)

6．设f(x)是可测集E上的可测函数，则对任意实数a,b(a?b)，都有E[xa?f(x)?b]是

7．若E(?R)是可数集，则mE__0 8．设

?fn(x)?为可测集E上的可测函数列，f(x)为E上的可测函数，如果

fn(x)?f(x)二、选择题

1a.e(x?E)，则fn(x)?f(x)x?E（是否成立）

1、设E是R中的可测集，?(x)是E上的简单函数，则 （ ） （A）?(x)是E上的连续函数 （B）?(x)是E上的单调函数 （C）?(x)在E上一定不L可积 （D）?(x)是E上的可测函数 2．下列集合关系成立的是（ ）

（A）A?(B?C)?(A?B)?(A?C) （B）(

第十一章 线性算子的谱

1． 设X?C[0,1],(Ax)(t)?tx(t),x?X。证明?(A)?[0,1]，且其中没有特征值。 证明 当??[0,1]时，常值函数1不在?I?A的值域中，因此?I?A不是满射，这样

???(A)。

反之若??[0,1]，定义算子R?:R??1x(t)。则由于??[0,1]，且 ??tR?x?maxa?t?b11x(t)?x ??td(?,[0,1])因此R?是C[0，1]中有界线性算子。

易验证R?(?I?A)?(?I?A)R??I，所以???(A)。 总之?(A)?[0,1]，

若Af??f，则对任意t??，tf(t)??f(t)，可推得f(t)?0。由于f(t)?C[0,1]，必有f(t)?0，所以A无特征值。证毕。

2． 设X?C[0,2?],(Ax)(t)?ex(t),x?X.，证明

it?(A)?{???1}。

证明 对任意eit0it,(eit0I?A)x(t)?(eit0?eit)x(t)。因为常值函数1不在eI?A的值

0it域中，因此e0??(A)。这样{???1}??(A)。

反之，若

??1，定义R?:(R?x)(t)?1x(t)。类似第1题可证R?是有界线性算

??eit子，且R?

习题1.1

1．证明下列集合等式．

(1) A??B\\C???A?B?\\?A?C?； (2) ?A?B?\\C??A\\C???B\\C?； (3) A\\?B\\C???A\\B???A?C?． 证明 (1) A?(B\\C)?A?(B?C)

c ?(A?B?Ac)?(A?B?Cc) ?(A?B)?(A?C)c

?(A?B)\\(A?C) .

(2) (A?B)\\C?(A?B)?C

c?(A?Cc)?(B?Cc)

=(A\\C)?(A\\C).

(3) A\\(B\\C)?A\\(B?C) ?A?(B?C)

ccc?A?(Bc?C) ?(A?Bc)?(A?C)

?(A\\B)?(A?C).

2．证明下列命题．

(1) ?A\\B??B?A的充分必要条件是：B?A； (2) ?A?B?\\B?A的充分必要条件是：A?B??； (3) ?A\\B??B??A?B?\\B的充分必要条件是：B??．

证明 (1) (A\\B)?B?(A?B)?B?(A?B)?(B?B)?A?B?A的充要条 是：B?A.

(2) (A?B)\\B?(A?B)?B?(A?B)?(B?B)?A?B

c必