概率统计b第一章

第一章习题课

1、 事件A, B满足P(AB)?P(AB)，且知P(A)?p,(0?p?1)。求P(B) 。 2、设随机事件A, B及其和事件A?B的概率分别为0.4,0.3和0.6，求P(AB)。 3、设A，B为两个事件，求证

P(AB)?1?P(A)?P(B)?P(AB)。

4、已知 P(A)=P(B)=P(C)=1/4，P(AB)=0，P(AC)=P(BC)=1/8, 求事件A，B，C全不发生的概率。 5、已知 P(A)=p, P(B)=q, P(AB)=r, 求下列各事件的概率：P(A?B),P(AB),P(A?B),P(AB) 6、已知事件AB发生, 则事件C一定发生。证明：

P(A)?P(B)?P(C)?1

7、设事件A，B，C两两相互独立，且ABC=?，P(A)=P(B)=P(C)<1/2，且已知P(A?B ? C)=9/16, 求P(A)。 8、设事件A，B相互独立，且A和B都不发生的概率为1/9，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，求P(A)。

9、设事件A，B，C相互独立，且P(A?B)=1/3, P(A?C)=1/3，P(B?C)=2/3， 求A，B，C三个事件至少发生一个的概率。

10、已知P(A)?a,P(B)?b,P(B|A)?c，且a<1，b<1。求P(A?B),P(A|B) 11、已知 0

12、设甲、乙两名射手轮流独立地向同一目标射击，其命中率分别为p1和p2。甲先射，谁先命中谁获胜，试分别求甲获

第一章 随机事件及概率

作业题

1、同时抛掷两颗骰子，以(x,y)表示第一颗、第二颗骰子分别出现的点数，设事件A表示“两颗骰子出现点数之和为奇数”，B表示“两颗骰子出现点数之差为0”，C表示“两颗骰子出现点数之积不超过16”，写出事件A，

BC，B?A中所含的样本点。

解：

，（1，4），（1，6），（2，1），（2，3），（2，5），（3，2），（3，A?{（1，2）

4），（3，6），（4，1），（4，3），（4，5），（5，2），（5，4），（5，6），（6，1），（6，3），（6，5）}

BC?{（1，1），（2，2），（3，3），（4，4）}

，（2，2），（3，3），（4，4），（5，5），（6，6）} B?A?{（1，1）

2、设A，B，C表示三个随机事件，试通过A，B，C表示下列有关随机事件：（1）A、B都发生而C不发生；（2）B发生；（3）A，B，C至少一个发生；（4）A，B，C恰有一个发生；（5）A，B，C不多于两个发生。 解：（1）ABC （2）B （3）A?B?C （4）ABC?ABC?ABC （5）ABC

3、袋中有球12个，2白10黑，今从中取4个，试求（1）恰有一个白球的概率

习题一

（A）

1. 用三个事件A,B,C的运算表示下列事件：

（1）A,B,C中至少有一个发生； （2）A,B,C中只有A发生； （3）A,B,C中恰好有两个发生； （4）A,B,C中至少有两个发生； （5）A,B,C中至少有一个不发生； （6）A,B,C中不多于一个发生.

解：（1）A?B?C （2）ABC (3) ABC?ABC?CAB (4) AB?BC?CA (5) A?B?C (6) AB?BC?CA 2. 在区间[0,2]上任取一数x， 记 A?{x|件的表达式：

（1）AB； （2）AB； (3) A?B.

解：（1）{x|14?x?12或1?x?32} （2）?

（3）{x|0?x?14或12?x?1

3. 已知P(A)?0.4,P(BA)?0.2,P(CAB)?0.1，求P(A?B?C). 解：0.2?P(A)?P(AB),

113?x?1},B?{x|?x?}，求下列事2420.1?P(CAB)?P(C?(A?B))?P(C)?P(CA?CB)?P(C)?P(CA)?P(C

第一章 概率论基础 第一

事件与样本空间

一 两类现象

1、确定性现象：在一定条件下，必然发生的现象。 2、随机现象：统计规律。 二 随机试验

1、重复性 2、确定性 3、随机性 三 样本空间

?={试验的所有可能结果} 样本点 ω

例1：从编号为1，2，3的球中，有放回地取两次，每次一只，考虑顺序，观察所取到的球。

解：?={11,12,13,21,22,23,31,32,33} 事件A：全有1号球 则 A ={11,12,13,21,31} 四 随机事件

定义：试验的某种结果称为随机事件，简称为事件。 一般用A,B,C表示。

注：1、随机事件通常是样本空间的子集。

2、事件的表示方法：①集合②文字叙述

3、一次试验的结果属于事件A，则称事件A在这次试验中发生。 4、基本事件 {ω} 不可能事件? 必然事件A=? 五 事件的关系与运算

设A,B是?的两个事件

1、包含：A?B 若事件A发生必然导致事件B发生。

2、相等：A=B

3、事件的并：A?B 事件A与B至少有一个发生。 4、事件的交：A?B或AB 事件A与B同时发生。

5、事件的差：A-B=A-(A?B) 事件

第一章 概率论基础 第一

事件与样本空间

一 两类现象

1、确定性现象：在一定条件下，必然发生的现象。 2、随机现象：统计规律。 二 随机试验

1、重复性 2、确定性 3、随机性 三 样本空间

?={试验的所有可能结果} 样本点 ω

例1：从编号为1，2，3的球中，有放回地取两次，每次一只，考虑顺序，观察所取到的球。

解：?={11,12,13,21,22,23,31,32,33} 事件A：全有1号球 则 A ={11,12,13,21,31} 四 随机事件

定义：试验的某种结果称为随机事件，简称为事件。 一般用A,B,C表示。

注：1、随机事件通常是样本空间的子集。

2、事件的表示方法：①集合②文字叙述

3、一次试验的结果属于事件A，则称事件A在这次试验中发生。 4、基本事件 {ω} 不可能事件? 必然事件A=? 五 事件的关系与运算

设A,B是?的两个事件

1、包含：A?B 若事件A发生必然导致事件B发生。

2、相等：A=B

3、事件的并：A?B 事件A与B至少有一个发生。 4、事件的交：A?B或AB 事件A与B同时发生。

5、事件的差：A-B=A-(A?B) 事件

第一章 随机事件与概率

教学要求

通过本章的教学，使学生达到以下几个方面的基本要求：

1、理解随机现象、样本空间和随机事件的概念，会用随机变量表示随机事件，掌握事件间的关系与运算；

2、理解概率的公理化定义及确定概率的三种方法(频率方法、古典方法与几何方法)，掌握概率的基本性质；

3、理解条件概率与独立性的概念，掌握与条件概率有关的三个基本公式(乘法公式、全概率公式与贝叶斯公式)；

4、掌握概率的计算的基本方法：

(1) 概率的直接计算：古典概率与几何概率；

(2) 概率的间接推算：利用概率的基本性质、基本公式和事件的独立性，由较简单事件的概率推算较复杂事件的概率.

重点与难点

本章的重点是概率的计算，关键在于会判别概率的各种类型，然后选择相应的公式进行计算；难点是古典概率的计算与全概率公式的运用.

§1.1 随机事件及其运算

一、随机现象

自然界中有两类现象：

一类是“条件完全确定结果”的现象，就是在一定的条件下，只有一个结果出现的现象，这类现象称为确定性现象. 例如，每天早晨太阳从东方升起；水在标准大气压下加热到1000C就沸腾；一个口袋中有十只相同的白球，从中任取一只必为白球.

另一类是“条件不能完全确定结果”现象，就是在一定的

第一讲 概率的定义及性质

Ⅰ 授课题目

§1.0 概率论研究的对象 §1.1 随机试验

§1.2 样本空间、随机事件 §1.3 频率与概率，概率的性质

Ⅱ 教学目的与要求

1、理解随机试验、随机事件、必然事件、不可能事件等概念 2、理解样本空间、样本点的概念,会用集合表示样本空间和事件 3、掌握事件的基本关系与运算 4、掌握概率的性质 Ⅲ 教学重点与难点

重点：事件的基本关系与运算，概率的性质 难点：用集合表示样本空间和事件 Ⅳ 讲授内容：

§1.0 概率论研究的对象

一 两类现象---确定现象与不确定现象

先从实例来看自然界和社会上存在着两类不同的现象. 例1 水在一个大气压力下,加热到100℃就沸腾. 例2 向上抛掷一个五分硬币,往下掉. 例3 太阳从东方升起. 例4 一个大气压力下,20℃的水结冰.

例1,例2,例3是必然发生的,而例4是必然不发生的.

个确切结果)称之为确定性现象或必然现象.微积分,线性代数等就研究必然现

象的数学工具.与此同时,在自然界和人类社会中,人们还发现具有不同性质的另一类现象先看下面实例.

例5 用大炮轰击某一目标,可能击中,也可能击不中. 例6

第五节一、条件概率 二、乘法定理

条件概率

三、全概率公式与贝叶斯公式

四、小结

一、条件概率1. 引例 将一枚硬币抛掷两次 ,观察其出现正反两面的情况,设事件 A为 “至少有一次为正面”, 事件B为“两次掷出同一面”. 现在来求已知事 件A 已经发生的条件下事件 B 发生的概率.S { HH T 为反面. 分析 设 H 为正面 , HT , TH , TT }.

2 1 . 4 2 事件A 已经发生的条件下事件B 发生的概率,记为 1 1 4 P ( AB) P (B ). P ( B A), 则 P ( B A) 3 34 P ( A)A { HH , HT , TH }, B { HH , TT }, P ( B )

2. 定义设 A, B 是两个事件, 且 P ( A) 0, 称 P ( AB ) P ( B A) P ( A) 为在事件 A 发生的条件下事件B 发生的条件概率.

同理可得

P ( AB) P( A B) P( B)

为事件 B 发生的条件下事件 A 发生的条件概率.

3. 性质(1) 非负性 : P ( B A) 0; (2) 规范性 : P ( S B) 1, P ( B)

习题一

1. 用三个事件

,,A B C 的运算表示下列事件： （1）

,,A B C 中至少有一个发生；（2）,,A B C 中只有A 发生； （3）

,,A B C 中恰好有两个发生；4）,,A B C 中至少有两个发生； （5）,,A B C 中至少有一个不发生；（6）

,,A B C 中不多于一个发生. 解：（1）A B C （2）ABC (3) ABC ABC CAB (4) AB BC CA (5) A B C (6) AB BC C A 2. 在区间[0,2]上任取一数x ， 记

1{|1},2A x x =<≤ 13{|}42B x x =≤≤，求下列事件的表达式： （1）AB ； （2）AB ； (3) A B .

解：（1）

{|1412132}x x x ≤≤<≤或 （2）?

（3）{|014121x x x ≤<<≤或

3. 已知

()0.4,()0.2,()0.1P A P BA P CAB ===，求()P A B C . 解：0.2()()P A P AB =-,

0.1()(())()()()()()()P C AB P C A

B P

C P CA CB P C P CA P CB P ABC -=-=-=--+ ()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P BC P CA

二、概率的古典定义与统计定义

二、概率的古典定义与统计定义(p5-11)

确定一个事件的概率有几种方法，这里介绍其中两种最主要的方法，在历史上，这两种方法分别被称为概率的两种定义，即概率的古典定义及统计定义。

(一) 概率的古典定义

用概率的古典定义确定概率的方法的要点如下:

（1）所涉及的随机现象只有有限个样本点，设共有n个样本点； （2）每个样本点出现的可能性相同(等可能性); 若事件

含有k个样本点，则事件

的概率为:

(1.1-1)

[例1.1-3]

[例1.1-3]掷两颗骰子，其样本点可用数组（x , y）表示，其中，x与y分别表示第一与第二颗骰子出现的点数。这一随机现象的样本空间为:

它共含36个样本点，并且每个样本点出现的可能性都相同。参见教材6页图。这个图很多同学看不懂！其实就是x+y=?在坐标系反映出来的问题。

（二）排列与组合

（二）排列与组合

用古典方法求概率，经常需要用到排列与组合的公式。现简要介绍如下: 排列与组合是两类计数公式，它们的获得都基于如下两条计数原理。

（1）乘法原理: 如果做某件事需经k步才能完成，其中做第一步有m1种方

法，做第二步m2种方法，做第k步有mk种方法，那么完成这件事共有m1×m2×?×