裂项相消法公式

裂项相消法

数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和

?c?方法称为裂项相消法。适用于类似?（其中?an?是各项不为零的等差数列，?aa?nn?1?c为常数）的数列、部分无理数列等。用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的

裂项方法： （1）

11111?11?k?1，特别地当时， ??????n?n?1?nn?1n?n?k?k?nn?k?11?n?k?nk（2）?n?k?n，特别地当k?1时?1?n?1?n

n?1?n例1、数列?an?的通项公式为an?解：Sn?a1?a2?a3???an?1?an ?1，求它的前n项和Sn

n(n?1)111????1?22?33?411 ??n?n1nn?????11??11??1??11??11??1 =?1????????????????????

22334n?1nnn?1??????????1n? n?1n?1小结：裂项相消法求和的关键是数列的通项可以分解成两项的差，且这两项是同一数列的相邻两项，即这两项的结构应一致，并且消项时前后所剩的项数相同.

?1?针对训练、求数列1111

数列综合练习（一）

1．等比数列前n项和公式：

a?1－q?a1－anq??1＝ ?q≠1?

1－q(1)公式：Sn＝?1－q.

??na1 ?q＝1?

(2)注意：应用该公式时，一定不要忽略q＝1的情况．

a12．若{an}是等比数列，且公比q≠1，则前n项和Sn＝(1－qn)＝A(qn－1)．其中

1－q

a1A＝.

q－1

3．推导等比数列前n项和的方法叫错位相减法．一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和．

4．拆项成差求和经常用到下列拆项公式：

111(1)＝－； n?n＋1?nn＋1

n

一、选择题

S51．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则等于( )

S2

A．11 B．5 C．－8 D．－11 答案 D

解析 由8a2＋a5＝0得8a1q＋a1q4＝0，

5

S5a1?1＋2?

∴q＝－2，则＝＝－11.

S2a1?1－22?

S102．记等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝2，S6＝18，则等于( )

S5

A．－3 B．5 C．

数列中裂项相消的常见策略

化娟 （甘肃省临泽一中 734000）

裂项相消是数列中常见的求解策略，裂项的本质是把数列中的乘积形式变成2项差的形式.近几年的数学高考试题频频用到此法，本文就解决这类问题的策略结合常见的试题给予概括总结，以供参考.

1 利用分式的通分进行裂项

通分在小学和初中阶段都是常见的内容，而裂项主要是逆用通分，把乘积式转化为2式的差.例如可以利用

1111?(?)进行裂项.

n(n?k)knn?k111?????＿ 1?21?2?31?2?3???n例1 求和1+

分析 因为

121??1??2???，

1?2?3???nn(n?2)nn?1??1111111?2n ??????????22334nn?1?n?1所以 原式=2?1?例2

??已知等差数列?an?满足： a3=7,a5+a7=26, ?an?的前n项和为Sn

（1） 求a4及Sn （2） 令bn?1?(n?N),求数列?bn?的前n项和为Tn. 2an?1分析 （1）略.

2(2)由an?2n?1，得an?1?4n(n?1),

从而 bn?1111?(?),

4n(n?1)4nn?111111111n(1???????)=(1?)=.

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数列裂项求和

一.裂项求和基本问题

1.求和：)

1(1541431321211+++?+?+?+?=n n S n 1

111)111()5141()4131()3121()211(+=+-=+-++-+-+-+-=n n n n n S n 。 2.求和：)12)(12(1971751531311+-++?+?+?+?=

n n S n 1

2)1211(21)121121(21)7151(21)5131(21)311(21+=+-=+--++-+-+-=n n n n n S n 3.求和：)13)(23(11071741411+-++?+?+?=

n n S n 。 )1

31231(31)10171(31)7141(31)411(31+--++-+-+-=n n S n 1

3)1311(31+=+-=n n n 。 4.求和：)2(1641531421311+++?+?+?+?=

n n S n 。 )1

111(21)6141(21)5131(21)4121(21)311(21+--++-+-

计算（裂项、换元与通项归纳）

第一部分 裂项

11111＋2＋3＋4＋……＋20 26122042011111 ＝（1＋2＋3＋……＋20）＋（＋＋＋＋……＋）

26122042011111 ＝210＋（＋＋＋＋……＋）

1?22?33?44?520?21111111111 ＝210＋（1－＋－＋－＋－－ ）

223344520211 ＝210＋（1－ ）

2120 ＝210

21【1】 计算 1

【2】

123－15－17－19－111－113－1111111 ＝＋＋＋＋＋

6?88?1010?1212?142?44?61111111111111 ＝（－＋－＋－＋－＋－＋－）×

244668810101212142111 ＝（－）×

2142613 ＝× ＝

14214＋

12＋

1

2

＋

1

2

＋

12＋

12

365791113【3】计算 ＋＋＋＋＋＋

57612204230361111111111 ＝＋＋（＋）＋（＋）＋（＋） ＋（＋）＋（＋

计算（裂项、换元与通项归纳）

第一部分 裂项

11111＋2＋3＋4＋……＋20 26122042011111 ＝（1＋2＋3＋……＋20）＋（＋＋＋＋……＋）

26122042011111 ＝210＋（＋＋＋＋……＋）

1?22?33?44?520?21111111111 ＝210＋（1－＋－＋－＋－－ ）

223344520211 ＝210＋（1－ ）

2120 ＝210

21【1】 计算 1

【2】

123－15－17－19－111－113－1111111 ＝＋＋＋＋＋

6?88?1010?1212?142?44?61111111111111 ＝（－＋－＋－＋－＋－＋－）×

244668810101212142111 ＝（－）×

2142613 ＝× ＝

14214＋

12＋

1

2

＋

1

2

＋

12＋

12

365791113【3】计算 ＋＋＋＋＋＋

57612204230361111111111 ＝＋＋（＋）＋（＋）＋（＋） ＋（＋）＋（＋

分数乘法与分数裂项法

【专题解读】

我们知道，分数乘法的运算是这样的：分数乘分数，应该分子乘分子，分母乘分母（当然能约分的最好先约分在计算）。

分数乘法中有许多十分有趣的现象与技巧，它主要通过些运算定律、性质和一些技巧性的方法，达到计算正确而迅速的目的。

1、运用运算定律：这里主要指乘法分配律的应用。对于乘法算式中有因数可以凑整时，一定要仔细分析另一个因数的特点，尽量进行变换拆分，从而使用乘法分配律进行简便计算。

2、充分约分：除了把公因数约简外，对于分子、分母中含有的公因式，也可直接约简为1。

进行分数的乘法运算时，要认真审题，仔细观察运算符号和数字特点，合理进行简算。需要注意的是参加运算的数必须变形而不变质，当变成符合运算定律的形式时，才能使计算既对又快。

【典型例题】——乘法分配律的妙用

4467例1．计算：（1）×37 （2）2004×

4520034444分析与解：观察这两道题的数字特点，第（1）题中的与1只相差1个分数单位，如果把写成（1－

454544）的差与37相乘，再运用乘法分配律可以使计算简便。同样，第（2）题中可以把整数2004写成（2003+1）4567的和与相乘，再运用乘法分配律计算比较简便。

20

奥数专题——裂项法（一）

同学们知道：在计算分数加减法时，两个分母不同的分数相加减，要先通分化成同分母分数后再计算。

（一）阅读思考 例如

111??，这里分母3、4是相邻的两个自然数，公分母正好是它们的乘积，3412把这个例题推广到一般情况，就有一个很有用的等式：

11n?1n???nn?1n(n?1)n(n?1)

n?1?n1??n(n?1)n(n?1) 即

111?? nn?1n(n?1)111??

n(n?1)nn?1 或

下面利用这个等式，巧妙地计算一些分数求和的问题。

【典型例题】

例1. 计算：

1111???……?

1985?19861986?19871987?19881994?1995111??? 1995?19961996?19971997 分析与解答：

111??1985?198619851986111??1986?198719861987111 ??1987?198819871988……111??1994?199519941995- 1 -

111??1995?199619951996

111??1996?199719961997 上面12个式子的右

二项式定理的复习 1.二项展开式：

c a + c a b +L+ c a b +L+ c b0 n n

( a + b)

n

=r n r r n n n n

1 n 1 n

这个公式叫做二项式定理,等号后面的 式子叫做(a+b)n的二项展开式,其中 Cnk(k=0,1,2,…,n)叫做二项式系数。 二项展开式中的第k+1项为Cnkan-kbk 叫做二项展开式的通项, 通项公式:TK+1=Cnkan-kbk

2.二项展开式的特点 2.二项展开式的特点 (1) 项数： 展开式有共n+1项 项数： 展开式有共n+1项 n+1 都是组合数， (2) 系数 ： 都是组合数， 依次为C 依次为Cn0,Cn1,Cn2,Cn3,…Cnn C (3) 指数的特点 ： a的指数 (降幂 降幂) 1) a的指数 由n 0 (降幂) 2) b的指数由0 b的指数由0 n (升幂) (升幂) 的指数由 升幂 a和 的指数和为n 3) a和b的指数和为n

3.二项式定理的几个变式：

(a +b)(a-b)n

n

= c a + c a b +L+ c a b +L+ c b0 n n

1 n 1 n

r n r r n

n n n

1 2 k = an Cnan 1b + Cn an 1b2

新《消法》考试题及答案

一、单选题(下列四组答案中只有一个是正确的，请选择正确答案填在〔〕内，每题1分)

1、新消法于（ ）开始实施〔D〕 A.2015年1月1日 B.2013年6月31日 C.2014年3月1日 D.2014年3月15日

解析：中华人民共和国主席令第七号，《全国人民代表大会常务委员会关于修改<中华人民共和国消费者权益保护法>的决定》已由中华人民共和国第十二届全国人民代表大会常务委员会第五次会议于2013年10月25日通过，现予公布，自2014年3月15日起施行。

2、《消法》明确消费者有（）项权利。〔A〕 A.9 B.7 C.12 D.8

3、消费者向有关行政部门投诉的，该部门应当自收到投诉之日起（）个工作日内，予以处理并告知消费者。〔D〕

A.9

1

B.5 C.15 D.7

解析：新《消法》第四十六条规定，“消费者向有关行政部门投诉的，该部门应当自收到投诉之日起七个工作日内，予以处理并告知消费者。”

4、经营者以预收款方式提供商品或者服务的，应当按照约定提供。未按照约定提供的，应当按照消费者的要求履行约定或者退回预付款；并应当承担预付款的（ ）、消费者必须支付的合理费用。〔D〕

A.本金 B.罚金