线性代数矩阵的迹的性质

第2章 矩阵

授课序号01 a ??

，有时为了强调矩阵的行数和列数，也记为()n a ??.

12n n nn a a a ??

11212212

000n n nn a a a a a a ?? ? ???与上三角矩阵00nn a ??2000n λλ??????，n 阶对角矩阵也常记为12diag(,,,)Λ=λλλ.

0000a a a ??????

，简记为10

001

01? ??)?ij m n a ，若当>i j 时，恒有行数增大而增多，则称该矩阵为上梯形矩阵；若当，而关于主对角线对称的元素互为相反数

授课序号02 ()a =A 122

m m m mn mn b a b a b ?+++?矩阵，则

mn n

a x ++经过线性计算得到了m 线性变换的系数a

sj b ???第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数,两个矩阵的乘法才有意义，即应有A B C =次多项式.

1

2m m mn a a a ??12n n mn a a a ??

A 的转置矩阵,记作T A . 2．矩阵的转置满足的运算规律：设以下运算都有意义(1)()T T A A =； (2)(A +12m m A A A =?为非奇异矩阵，否则称为奇异矩阵. 12n n

nn A A A ?

线性代数《矩阵》相关习题

《线性代数》第二章练习题

102

9、设A是4 3矩阵且r(A) 2，B 020

，则r(AB)

103

一、填空题

10、设A 100

220

，则(A ) 1 1、设A 12 3 2 T

13 ，B 21

，则；；B 345

300 2、设矩阵A 15 13 B 31

则3A B ，11、设A 140

，则(A 2I) 1

， 20 ，

A 1B

。

003

3、设A为三阶矩阵，且A 2，则2A* A 1

5200

4、设矩阵A为3阶方阵，且|A|=5，则|A*|=______，|2A|=_____

12、设A 2

100

001 2 ，则A 1

3、设A 120 340 23 1 ABT

00

11

，B 121

240

，则= 13、已知A为四阶方阵，且A

1

112

，则(3A) 1 2A 4、设A 1 225

，且r(A) 2，则t

11t 214、设 A

3

,A2 _________，An=_________

1233 03 12 4

5、若

安庆师范学院数学与计算科学学院2013届毕业论文

矩阵迹的若干个性质与应用

姓名：某某 指导老师：某某

摘 要：根据矩阵迹的定义,首先给出了矩阵迹的性质,然后依据方阵的F?范数定义Cauchy —Schwarz

不等式,给出了零矩阵,不相似矩阵,数幂矩阵,列矩阵,幂等矩阵及矩阵不等式的证法。矩阵的迹在解题中的应用给出了实例。

关键词：迹 矩阵 范数 特征值

1 引言

矩阵的迹及其应用是高等数学的重要内容，也是工程理论研究中的重要工具。本文在前人研究的基础上，首先介绍了矩阵迹的相关性质，然后给出了零矩阵，不相似矩阵，数幂矩阵，列矩阵，幂等矩阵及矩阵不等式的证法，最后对矩阵的应用给出实例。

2 预备知识

定义1 设

A?(aij)?Cn?n,则trA??aii称为A 的迹。

i?1n定义2 设

nnA?(aij)?Cn?n,记与向量范数AX2相容的A 的F 一范数为: 212AF?(??aij)

i?1j?1(1)A?0?AF?0

(2) KAF?K?AF,?K?C(3) A?B(4) AB(5) AXF

?AF?BF,?A,B?Cn

F?AF?BF,?A,B?Cn?n ?AF2?X2

引理：矩阵迹的性质: 1

几代

维普资讯

第2 4卷V0. 4 12

第 7期

四川教育学院学报J URNAL OFS C O I HUAN C L GE OF E OL E DUC I AT ON

20 0 8年 7月J12。 8 u 00.

矩阵的初等变换在《线性代数》中的应用倪臣敏，孙逊32 1) 60 4 (仰恩大学数学系概率统计教研室，福建泉州

摘

要：文章总结了初等变换在求矩阵的秩、向量组的秩、逆矩阵，求解线性方程组和多项式的最大公因式

等方面的应用，并通过实例加以说明，而介绍了广义初等变换的思想方法和应用。进 关键词：初等变换；阵的秩；矩逆矩阵；最大公因式；广义初等变换Ap l a o s o e e t y Tr n f r a i n o a rx i Li e r Al e r p i t n fElm n ar a s o m to fM t i n n a g b a c i

Absr c:T i a e t a t h sp p rs umma ie h p l a o so lme t r r n fr t no ma r n s l i gt e r n famarx o e f e— r st ea p i t n fee

第二章矩阵及其运算

1

1

向前

向后

返回

第一章

矩阵

一、矩阵概念的引入二、矩阵的定义三、小结、思考题

第二节矩阵及其运算2

向前

向后

返回

n n n n m m mn n m

a x a x a x

b a x a x a x b a x a x a x b +++=??+++=??

??+++=?1111221121122222

1122 1. 线性方程组的解取决于

(),,,;,,,,ij a i m j n ==1212 系数()

,,,i b i m =12 常数项一、矩阵概念的引入

3

向前

向后

返回

n n m m mn

m a a a b a a a b a a a b ????????????

11

12112122221

2

对线性方程组的研究可转化为对这张表的研究.

线性方程组的系数与常数项按原位置可排为

2. 某航空公司在A,B,C,D 四城市之间开辟了若干航线,如图所示表示了四城市间的航班图,如果从A 到B 有航班,则用带箭头的线连接A 与B.

A

B

C

D

4

向前

向后返回

四城市间的航班图情况常用表格来表示:

发站

到站A

B C D A

B C D

其中表示有航班.

为了便于计算,把表中的改成1,空白地方填上

0,就得到一个数表:

5

向前

向后

返回

111111

概念、性质、定理、公式必须清楚，解法必须熟练，计算必须准确

?A可逆 ??r(A)?n ?A的列（行）向量线性无关 ??A的特征值全不为0 ??Ax??只有零解 ? ?x??，Ax?? A?0?? n???R,Ax??总有唯一解 ??ATA是正定矩阵 ??A?E ?A?pp???p p是初等阵12si???存在n阶矩阵B,使得AB?E 或 AB?E注：全体n维实向量构成的集合R叫做n维向量空间. ○

n?A不可逆 ?r(A)?n ??A?0??A的列（行）向量线性相关

?0是A的特征值 ???Ax??有

线性代数 第 1 次课

章节§1.1二阶与三阶行列式 §1.2全排列及其逆序数 名称 §1.3 n阶行列式的定义 目的要求 掌握二阶与三阶行列式的计算 理解n阶行列式的定义 序号 主 要 内 容 与 时 间 概 算 1 2 3 4 共计 主要内容 二元线性方程组与二阶行列式 三阶行列式 全排列及其逆序数 理解n阶行列式的定义 时间概算 20分钟 15分钟 15分钟 45分钟 95分钟 重点 用对角线法则进行二阶、三阶行列式的计算. 难点 理解n阶行列式的定义. 方法 板书 手段 课堂 二元线性方程组消元法. 三阶行列式的课堂练习计算结果 思 考 题 作 业 题 《最新线性代数习题全解》同济四版配套辅导. 王治军 主编 中国建材参考 工业出版社2003.8 资料 《线性代数》重点内容重点题 杨泮池 赵彦晖 褚维盘 编著 西安交通大学出版社，2004.3

提 问 本次课内学员基本掌握了本次课的内容, 达到了教学目的. 容总结 x已知f(x)?121xx3112x213,求x3的系数. 2x 练习册 练习一 线性代数 第 2 次课

章节§1.4对

《线性代数》模拟试卷（一）

一. 一. 填空题(20/5)

1.已知A是5阶方阵,且|A|?2,则|A*|?____________.

2.设A?(aij)1?3,B?(bij)3?1,则B?A??______________.

3.设?1?(3,3,3),?2?(?1,1,?3),?3?(2,1,3),则?1,?2,?3线性_____关.

4.若A100?0,则(I?A)?1?_____________.

?12?5.设|A|?0,??2为A的特征值,则A有一特征值为_________,?A??3?有一特征值为__________.

二. 二. 选择填空(20/5)

?.1.设A,B为n阶对称矩阵,则下面四个结论中不正确的是?2?1A.A?B也是对称矩阵B.AB也是对称矩阵D.AB??BA?也是对称矩阵

C.Am?Bm(m?N?)也是对称矩阵

?A?0?2.设A和B都是n阶可逆矩阵,则(?2)??1????0B?A.(?2)2n|A||B|?1B.(?2)n|A||B|?1C.?2|A?||B|D.?2|A||B|?1

3.当n个未知量m个方程的齐次线性方程组满足条件??.

?时,此方程组一定有非零解.A.n

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2017考研已经拉开序幕，很多考生不知道如何选择适合自己的考研复习资料。中公考研辅导老师为考生准备了【线性代数-逆矩阵与初等矩阵知识点讲解和习题】，希望可以助考生一臂之力。同时中公考研特为广大学子推出考研集训营、专业课辅导、精品网课、vip1对1等课程，针对每一个科目要点进行深入的指导分析，欢迎各位考生了解咨询。

模块四逆矩阵与初等矩阵

Ⅰ教学规划

【教学目标】

1、全面复习逆矩阵的基本概念和常用性质、公式

2、系统掌握矩阵可逆性的讨论及逆矩阵的计算方法

3、系统掌握伴随矩阵的概念、性质和常用公式

4、掌握初等矩阵与初等变换的基本关系

5、理解初等矩阵与逆矩阵的本质联系

【主要内容】

1、逆矩阵的概念和性质

2、伴随矩阵的概念、性质和常用公式

3、矩阵可逆性的讨论

4、逆矩阵的计算

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中公考研，让考研变得简单！ 查看更多考研数学辅导资料 5、矩阵方程的求解

6、初等变换与初等矩阵

【重难点】

1、伴随矩阵相关的计算与证明

2、矩阵可逆性的讨论

3、矩阵方程的求解

Ⅱ 知识点回顾

一．逆矩阵

1.定义

对于一个n 阶方阵A ，如果存在一个n 阶方阵B ,使得AB =

用Matlab学习线性代数 线性方程组与矩阵代数

实验目的：熟悉线性方程组的解法和矩阵的基本运算及性质验证。 Matlab命令：

本练习中用到的Matlab命令有：inv，floor，rand，tic，toc，rref，abs，max，round，sum，eye，triu，ones，zeros。

本练习引入的运算有：+，-，*，’，，\\。其中+和-表示通常标量及矩阵的加法和减法运算；*表示标量或矩阵的乘法；对所有元素为实数的矩阵，’运算对应于转置运算。若A为一个n?n非奇异矩阵(det!=0)且B为一个n?r矩阵，则运算A\\B等价于A?1B。 实验内容：

1． 用Matlab随机生成4?4的矩阵A和B。求下列指定的C,D,G,H，并确定那些矩阵是相等的。你可以利用Matlab计算两个矩阵的差来测试两个矩阵是否相等。

（1）C=A*B,D=B*A,G=(A’*B’)’,H=(B’*A’)’ C=H;D=G； （2）C=A’*B’,D=(A*B)’,G=B’*A’,H=(B*A)’ C=H;D=G； （3）C=inv(A*B),D=inv(A)*inv(B),G=inv(B*A),H=inv(B)*inv(A)

（4）