二次函数与相似三角形知识点总结

综合题讲解 函数中因动点产生的相似三角形问题

例题 如图1，已知抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B。 ⑴求抛物线的解析式；（用顶点式求得抛物线的解析式为y x2 x） ．．．

⑵若点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形，求D点的坐标；

⑶连接OA、AB，如图2，在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使得△OBP与△OAB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。

1

4

．．．．．．．

分析:1.当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论:按OB为边和对角线两种情况

2. 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径

① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特．．殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。

推导边的大小。

相似来列方程求解。

例题2：如图，已知抛物线y=ax2+4ax+t（a＞0）交x轴于A、B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴交x轴于点E，点B的坐标为（-1，0）． （1）求抛物线的对称轴及点A的坐标；

（2）过点C作x轴的平行线交抛

二次函数与相似三角形

例1 如图1，已知抛物线y??x2?x的顶点为A，且经过原，与x轴交于点O、B。 （1）若点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形，求D点的坐标；

（2）连接OA、AB，如图2，在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使得△OBP与△OAB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。

．．．．．．．

分析:1.当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线为四边形的边和对角线来考虑问题以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论:按OB为边和对角线两种情况

2. 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径

① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三．．角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。 ②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。

③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。

解:⑴如图1,当OB为边即四边形OCDB是平行四边形时,CD∥＝O

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知识点1 有关相似形的概念 知识点2 比例线段的相关概念

（1）如果选用同一单位量得两条线段a,b的长度分别为m,n，那么就说这两条线段的比是 ，或写成 ．注：在求线段比时，线段单位要 。

（2）注：①比例线段是有顺序的，如果说a是b,c,d的第四比例项，那么应得比例式为： ．②

ac?(a：b?c：d)中，a、d叫 ，b、c叫 , a、c叫 ，b、d叫 ，d叫 ，bd如果b=c，即 a：b?b：d那么b叫做a、d的 ， 此时有 。 在比例式（3）黄金分割： 。

0

注：黄金三角形：顶角是36的等腰三角形。黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形

知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0）

（1） 基本性质：

注：由一个比例式只可化成一个

二次函数函数的存在性问题（相似三角形）

1、（09贵州安顺）如图，已知抛物线与x交于A(－1，0)、E(3，0)两点，与y轴交于点B(0，3)。 （1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线顶点为D，求四边形AEDB的面积； （3）△AOB与△DBE是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由。

0)，C(0，?3)， 2、（09青海）矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图所示，A、C两点的坐标分别为A(6，直线y??3x与BC边相交于D点． 42（1）求点D的坐标； （2）若抛物线y?ax?9x经过点A，试确定此抛物线的表达式； 4（3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线OD交于点M，点P为对称轴上一动点，以P、O、M为顶点的三角形

y 与△OCD相似，求符合条件的点P的坐标．

1

O ?3 C A 6 D B y??3x4x 3、（09广西钦州）如图，已知抛物线y＝

过点C的直线y＝且0＜t＜1．

32

x＋bx＋c与坐标轴交于A、B、C三点， A点的坐标为（－1，0）43x－3与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PH⊥OB于点H．若PB＝5t， 4t（1）填空：点C的坐标是_ _，b＝

二次函数和相似三角形的综合应用

1、如图，已知抛物线y=?1（x+2）（x﹣m）（m＞0）与x轴相交于点B、C，与y轴相交m于点E，且点B在点C的左侧。 （1）若抛物线过点M（2，2），求实数m的值； （2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；

（3）在第四象限内，抛物线上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由。

2、如图，已知抛物线y?k(x?2)(x?4)（k为常数，且k?0）与x轴从左至右依次交8于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y??（1）若点D的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式；

3 x?b与抛物线的另一交点为D。

3（2）若在第一象限的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求k的值；

（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止。当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？

3、如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA=1，tan∠BAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得

一．解答题（共21小题）

1．如图，正方形ABCD中，F为AB上一点，E是BC延长线上一点，且AF=EC，连接EF，DE，DF，M是FE中点，连接MC，设FE与DC相交于点N． （1）在以下结论①∠FDB=∠FEB；②MC垂直平分BD；③△DFN∽△EBD中正确的有 _________ ，请选择一个你认为正确的结论进行证明．

（2）若MC=，求BF的长．

2．（2011?聊城）如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm．点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G

2

重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，△EFG的面积为S（cm） （1）当t=1秒时，S的值是多少？

（2）写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；

（3）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由．

3．（2010?崇川区模拟）用一副三角板拼成如图①所示的四边形ABCD，其中∠ADC=∠ACB=90°，∠B=60°，AD=DC=cm．若把△ADC的顶点C

九年级数学专项训练《二次函数》

二次函数综合（动点与三角形）问题

一、知识准备：

抛物线与直线形的结合表现形式之一是，以抛物线为载体，探讨是否存在一些点，使其能构成某些特殊三角形，有以下常见的基本形式。 （1）抛物线上的点能否构成等腰三角形； （2）抛物线上的点能否构成直角三角形； （3）抛物线上的点能否构成相似三角形；

解决这类问题的基本思路：假设存在，数形结合，分类归纳，逐一考察。

二、例题精析

㈠【抛物线上的点能否构成等腰三角形】

例一．（2013?铜仁地区）如图，已知直线y=3x﹣3分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y=x+bx+c经过A、B两点，点C是抛物线与x轴的另一个交点（与A点不重合）． （1）求抛物线的解析式； （2）求△ABC的面积；

（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出点M的坐标．

2

分析： （1）根据直线解析式求出点A及点B的坐标，然后将点A及点B的坐标代入抛物线解析式，可得出b、c的值，求出抛物线解析式； （2）由（1）求得的抛物线解析式，可求出点C的坐标，继而求出AC的长度，代入三角形的面积公式即可计算；

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二次函数的综合应用㈠

一、典例精析

考点一：二次函数与方程 1.（2011广东）已知抛物线y?12x?x?c与x轴有交点． 2(1)求c的取值范围；(2)试确定直线y＝cx+l经过的象限，并说明理由． 解：（1）∵抛物线与x轴没有交点 ∴⊿＜0，即1－2c＜0 解得c＞

1 211 ∴直线y=x＋1随x的增大而增大，∵b=1 221∴直线y=x＋1经过第一、二、三象限

2(2)∵c＞

2.(2011南京)已知函数y=mx－6x＋1（m是常数）．

⑴求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点； ⑵若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值． 解：⑴当x=0时，y?1．

2所以不论m为何值，函数y?mx?6x?1的图象经过y轴上的一个定点（0，1）．

2

⑵①当m?0时，函数y??6x?1的图象与x轴只有一个交点；

②当m?0时，若函数y?mx?6x?1的图象与x轴只有一个交点，则方程mx2?6x?1?0有两个相等的实数根，所以(?6)?4m?0，m?9．

2综上，若函数y?mx?6x?1的图象与x轴只有一个交点，则m的值为0或9． 考点二：二次函数与最大问题

223、如图，二次函数y??12x?

第一部分 三角形

考点一、三角形 1、三角形的概念

由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。

2、三角形中的主要线段

（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。 （2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。

（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。 3、三角形的稳定性

三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。三角形的这个性质在生产生活中应用很广，需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。

4、三角形的特性与表示 三角形有下面三个特性： （1）三角形有三条线段

（2）三条线段不在同一直线上 三角形是封闭图形 （3）首尾顺次相接

三角形用符号“?”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“?ABC”，读作“三角形ABC”。 5、三角形的分类

三角形按边的关系分类如下： 不等边三角形

三角形 底

二次函数

抛物线与三角形问题

--------面积类 面积类

二次函数

已知抛物线y=- 例 1: 已知抛物线 - x2+2x+3与 x轴交 与 轴交 两点， 点位于B点的左侧 于A,B两点，其中 点位于 点的左侧， 两点 其中A点位于 点的左侧， 轴交于C点 顶点为P, 与y轴交于 点，顶点为 ， 轴交于 (1,4) x 3 P 2 S△ AOC=______________4

9 S△ BOC=_______ 2

(0,3) C3 2

1

(-1,0)

A O2

B(3,0)y

二次函数

S△ COP S△ PAB

3 2 =_______

y

(1,4)4

P

8 =_______

(0,3) C3 2

1

(-1,0)A O2

B

(3,0)x

二次函数

y

S△ PCB=_______

3

D E E (0,3) C4 3 2

(1,4)P

S△ ACP=_______(-1,0) F FA

1

1

B O2

(3,0)

二次函数

y

(1,4) H为直线BC上方在 抛物线上的动点， 求△BCH面积的最 △ 面积的最 大值4

P

(0,3) C3 2

H (x,-x2+2x+3)

1

(x,-x+3) M2

(-1,0)A O

B

(3,0)x

S△BCH=S△MHC+S△MHB

二次函数

练习1:如图所示，已知抛物线y=a