数学(一)

笔记

高等数学

高中公式

三角函数公式

和差角公式 和差化积公式

sin( ) sin cos cos sin sin sin 2sin cos

cos( ) cos cos sin sin 22tg( ) tg tg

sin sin 2cos sin

1tg tg

22

ctg( )

ctg ctg 1cos cos 2cos cos

ctg ctg 22cos cos -2sin

2sin

2积化和差公式 倍角公式

sin2 2sin cos

2tan

sin cos 11 tan2

2

[sin( ) sin( )]cos2 2cos2

1 1 2sin2

cos sin 12

[sin( ) sin( )] cos2 sin2

1 tan2 1 tan2 cos cos 12

[cos( ) cos( )]tg2 2tg 1 tg2 ctg2 ctg2

12ctg sin sin 12[cos( ) cos( )]

sin3 3sin 4sin3

cos

编号：

《高等数学（一）》课 程 自 学 辅 导 材 料 配套教材： 《高等数学（一）微积分》 主 编： 章学诚 出 版 社： 武汉大学出版社 版 次： 2004年版 适应层次： 本 科 内 部 使 用 2012年9月 ●●●●●

目 录 第一部分 自学指导 第1章：函数及其图形…………………………………………………………………3 第2章：极限和连续……………………………………………………………………3 第3章：一元函数的导数和微分………………………………………………………3 第4章：微分中值定理和导数的应用…………………………………………………3 第5章：一元函数积分学………………………………………………………………3 第6章：多元函数微积分………………………………………………………………3 第二部分 复习思考题 一．单选题 ……………………………………………………………………………4 二．填空题 ……………………………………………………………………………24 三．计算题 ………………………

实验一、汽车刹车距离问题的曲线拟合

一、问题

美国的某些司机培训课程中的驾驶规则：正常驾驶条件下, 车速每增10英里/小时，后车与前车的距离应增一个车身的长度。实现这个规则的简便办法是 “2秒准则” ：后车司机从前车经过某一标志开始默数2秒钟后到达同一标志。但事实上，刹车距离与车速有关10英里/小时(≈16公里/小时)车速下2秒钟行驶29英尺(≈9米)>>车身的平均长度15英尺(=4.6米)“2秒准则”与“10英里/小时加一车身”规则不同。于是通过如下假设，建立数学模型，寻求更好的驾驶规则。

(1) 刹车距离 d 等于反应距离 d1 与制动距离d2 之和，即 d?d1?d2； (2) 反应距离 d1与车速 v成正比，即d1?t1v，其中t1为反应时间；

(3) 刹车时使用最大制动力F，F作功等于汽车动能的改变，即F d2= m v2/2，并且我们知道F与车的质量m成正比，于是，得到d2?kv

综上，得到车速v与刹车距离d之间关系的数学模型为d?t1v?kv. 跟据经验， t1

的估计值一般为0.75秒。下面，利用交通部门提供的如下一组实际数据拟合k.

下表第三列括号外的数值是平均距离、括号里的数值是刹车最大距离 。

表1 交通部门统计的

数学模拟试题一

一、选择题

1. 已知式子

(x?8)(x?1)的值为0，则x的值为( )

x?1 A．±1 B．－l C．8 D．－1或8

2. 已知圆锥侧面展开图的圆心角为90°，则该圆锥的底面半径与母线长的比为

A．1∶2 B．2∶1 C．1∶4 D．4∶1 ( ) 3. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，连接CD， A 若⊙O的半径r?3，AC?2，则cosB的值是（ ） 2Ｂ．

Ａ．

3 2

5 3Ｃ．

25 2Ｄ．

2 32 O B D C 4. 设x1、x2是关于x的一元二次方程x?x?n?2?mx的两个实数根，且x1＜0，x2－3x1＜0，则（ ） A．?3?m?1?m?1?m?1?m?1 B．? C．? D．?

n?2n?2n?2n?2????25. 若x?x?x?1?0，则x?27?x?26+ ? +x?1?1?x+ ? +x26?x27的值是

（ ）

A. 1 B. 0 C. -1 D. 2 6. 先作半径为

2的圆的内接正方形，接着作

内容摘要：探究性学习的开展是当前我国在新课标的环境下，基础教育课程深化的新尝试，是面对21世纪知识经济的挑战，也是培养学生创新精神、实践能力的重要举措。本文就探究性学习在高中数学领域中的应用做了粗浅的探索，在教学中引领学生探究，培养学生探究能力。

关键词：数学探究 探究性学习 高中数学 课题

普通高中数学课程标准（实验）指出：数学探究即数学探究性课题学习，是指教学过程中在教师的启发诱导下，学生围绕某个数学问题，自主探究、学习的过程。这个过程包括：观察分析数学事实，提出有意义的数学问题，猜测、探求适当的数学结论或规律，给出解释或证明。

数学探究是高中数学课程中引入的一种新的学习方式，有助于学生初步了解数学概念和结论产生的过程，初步理解直观和严谨的关系，初步尝试数学研究的过程，体验创造的激情，建立严谨的科学态度和不怕困难的科学精神；有助于培养学生勇于质疑和善于反思的习惯，培养学生发现、提出、解决数学问题的能力；有助于发展学生的创新意识和实践能力。

再此指导下，我结合数学课程内容，以学生动手动脑、主动探索实践和相互交流为主要学习方式，开展基础性、拓展性的学习探究活动──数学探究性学习。现结合平时开展数学探究性学习的途径，浅谈几点。

一、注重激发学生

人生最大的幸福，是发现自己爱的人正好也爱着自己。 初高中教学先进的几个问题思考

袁海峰

回顾这半个学期的教学

我有一种沉重的感觉

我所任教的重点班

有些学生逐渐失去学习数学的兴趣

问数学问题的同学在逐渐减少

成绩拔尖的同学也很少.是什么原因造成呢？ 这些让我想了很久 心里有一点看法:

1. 初

高中教材间的跨度过大

初中教材偏重于实数集内的运算

缺少对概念的严格定义或对概念的定义不全

如函数的定义

三角函数的定义更是如此；对不少数学定理没有严格论证 或用公理形式给出

而回避了证明

比如不等式的许多性质就是这样处理的；教材坡度较缓 直观性强

对每一个概念都配备了足够的例题和习题

而高一教材第一章就是集合、映射等近世代数知识

紧接着就是函数的问题（在函数中

又分二次函数

指数函数

对数函数

它们具有不同的性质和图象）

函数单调性的证明又是一个难点

学习有一定难度.教材概念多、符号多、定义严格

论证要求又高

高一新生学起来相当困难

此外

内容也多

每节课容量远大于初中数学

这些都是高一数学成绩大面积下降的客观原因

2．高一新生普遍不适应高中数学教师的教学方法

私下里与学生交流

了解学习情况

同学们普遍反映数学课能听懂但作业不会做

不少学生说

平时自认为学得不错

考试成绩就是上不去

究其原因是初中数学教师的课堂教学重视直观、

【一年级】

从右往左数，○排第5，○右边还要添几个△？把它们画出来。△△△△○△ （解题思路及答案）

【二年级】计算:(l) 32+23+68; (2) 39+46+54。

【三年级】有5个数，这5个数的平均数是69，其中前3个数的平均数是70，后3个数的平均数是58，第三个数是多少？

【四年级】张、李两人同时从A,B两地相向走来，张的行进路程规律是：第一天走2千米，第二天走3千米，第三天走4千米??李的行进路程规律是：第一天走1千米，第二天走4千米，第三天走9千米??两人都按自己行进的规律走，到第六天相遇。求A,B两地相距多少千米？

【五年级】小马在计算有余数的除法时,把被除数385错写成835,这样商比原来多了30,而余数正好相同,求这道除法算式的除数、商、余数分别是多少? 【六年级】小奥到商店买了相同数量的红球和白球，红球原价2元3个，白球原价3元5个。新年优惠，两种球都按1元2个卖，结果小奥少花了8元钱。问小奥共买了多少个球？

【一年级】在每一行中圈出不同的物品。

【二年级】把3，4，5，6，7，8，9，10，11填在方格里，使每一横行、竖行、斜行的三个数的和都是21

【三年级】(1)图(1)有几个奇数点？ (2)图(2)有几个偶数点

认识更大的数（一）

（大数的读法和写法）

一、认识数级、数位、计数单位，并了解它们之间的对应关系。

（1）、十进制计数法。相邻两个计数单位之间的进率是十，也就是十 进制关系。

（2）、数数。能一万一万地数，十万十万地数，一百万一百万地数… （3）、计数单位：由低至高依次是“个”、“十”、“百”、“千”、“万…” “十万”、“百万”、“千万” ······ 二、数的读写。

1、亿以内数的读数方法。

含有个级、万级和亿级的数，必须先读亿级，再读万级，最后读 个级。（即从高位读起）亿级或万级的数都按个级读数的方法，在后 面要加上亿或万。每级末尾的零不读，在级中间的零必须读。中间 不管有几个零，只读一个零。 2、亿以内数的写数方法。

从高位写起，按照数位的顺序写，中间或末尾哪一位上一个也没有， 就在那一位上写0。 三、例题。

例1、读出下列的数

24658读作： 22459读作：

4389700读作： 5960000读作：

87690012读作：

数学史复习一

1 源自河谷的古老文明——数学的萌芽

数学也和其他人类文明一样，最早出现于尼罗河中下游的古埃及、幼发拉底河与底格里斯河两河流域的古巴比伦、黄河流域的中国和恒河流域的印度．但就国外数学发展的源头而言，客观地讲，一般还应首推古埃及与古巴比伦． 1.1 古埃及的数学

从公元前3000年起，古埃及人就已经有了象形文字，其中最具代表性的是僧侣们所使用的僧侣文（又称祭祀文）.流传至今的古埃及文献，大部分是以这种僧侣文书写在纸草上保存下来的，人们通常称其为纸草书.

保存至今有关数学的纸草书主要有两种：一种是陈列于英国伦敦大不列颠博物馆东方展室中的兰德纸草书，这是由英国人兰德1858年搜集到的；另一种收藏于俄国莫斯科美术博物馆，被称为莫斯科纸草书，这是由俄罗斯人郭列尼舍夫于1893年搜集到的.这两份纸草书都是公元前2000年前后的作品，为古埃及人记录一些数学问题的问题集.兰德纸草书长544cm,宽33cm,共载有85个问题，莫斯科纸草书长544cm,宽8cm，共载有25个问题.人们对古埃及数学的了解主要来自这些纸草书以及其他保留至今的历史文献. 1.1.1 古埃及的记数制与算术

古埃及人使用的是十进记数制，并且有数字的专门符号.在当一

高一数学,必修一,复习学案,分三章

高一数学必修一复习学案

第一章 【知识点回忆】

1．元素与集合的关系:用 2．集合中元素具有、、3．集合的分类：

①按元素个数可分： 限集、 限集 ； ②按元素特征分：数集，点集等 4．集合的表示法：

①列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如N={0，1，2，3，…}； ②描述法：

③字母表示法:常用数集的符号：自然数集 ；正整数集 ；整数集 ； 有理数集 ；实数集 。 5．集合与集合的关系 6．熟记：①任何一个集合是它本身的子集；

②空集是任何集合的子集；空集是任何非空集合的真子集；

1.1集合

那么A C； ③如果A B，同时B A，那么A = B；如果A B，B C，

④n个元素的集合子集有 个，真子集有 个，非空真子集有 个. 7．集合的运算（用数学符号表示）

交集A∩B= ； 并集A∪B= ；

补集CUU表示全集. 8.集合运算中常用结论:

A B AB A;A B AB B

【实践练习】

一、 集合及集合间的关系

高一数学,必修一,复