一元二次方程第1课时教案

2.6 应用一元二次方程

基础题

1．(天水中考改编)一个三角形的两边长分别为5和3，第三边的边长是方程(x－2)(x－4)＝0的根，则这个三角形的面积是( )

A．6 B．3 C．4 D．12

2．如图，AB⊥BC，AB＝10 cm，BC＝8 cm，一只蝉从C点沿CB方向以每秒1 cm的速度爬行，蝉开始爬行的同时，一只螳螂由A点沿AB方向以每秒2 cm的速度爬行，当螳螂和蝉爬行x秒后，它们分别到达了M，N的位置，此时，△MNB的面积恰好为24 cm2，由题意可列方程( )

A．2x·x＝24

B．(10－2x)(8－x)＝24 C．(10－x)(8－2x)＝24 D．(10－2x)(8－x)＝48

3．(咸宁中考)用一条长为40 cm的绳子围成一个面积为a cm2的长方形，a的值不可能为( ) A．20 B．40 C．100 D．120

4．(佛山中考)如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2 m，另一边减少了3 m，剩余一块面积为20 m2的矩形空地，则原

学大教育个性化辅导教案

等于 0,得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解. (3)配方法： 例 3

x2 6 x 4 0

解：x 2 6 x 4 x 2 6 x 32 4 32 ( x 3) 2 5 x 3 5 x1 5 3, x2 5 3.就是把一元二次方程转化为可以直接直接开平方的方法。 教师提问三：那同学们又能说说步骤吗？ 用配方法解一元二次方程

ax 2 bx c 0 a 0

的一般步骤是： ①化二次项系数为 1, 即方程两边同时除以二次

项系数；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的 平方；④化原方程为 ( x m) n 的形式；⑤如果 n 0 ,就可以用直接开平方求出方程的解，如果 n<0,则原方2

程无解. (4)公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后公式计算。 一元二次方程 ax bx c 0(a 0) 的求根公式是：2

x

b b 2 4ac 2 (b 4ac 0). 2a

例4 解：

x2 x

22.2降次——解一元二次方程(第4课时)

教学目标：用b2-4ac大于、等于0、小于0判别ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情况及其运用．

教学重点：用b2-4ac判别ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情况及其运用根的判别式解决一些实际问题。

教学难点：推出一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的b2-4ac的情况与根的情况的关系及其应用于解题。

德育设计：培养学生的发现数学规律、应用数学规律解决实际问题。 教学方法：探索、讲授法；

教具学具：课本、小黑板、草稿纸等。

教学过程：

一、复习引入

（学生活动）用公式法解下列方程：

（1）2x2-3x=0 （2）3x2-23x+1=0（3）4x2+x+1=0 老师点评，（三位同学到黑板上作）

（1）b2

-4ac=9>0，?有两个不相等的实根； （2）b2-4ac=12-12=0，有两个相等的实根； （3）b2-4ac=1-4×4×1=-15<0，?方程没有实根

二、探索新知：

从前面的具体问题，我们已经知道b2-4ac>0（<0，=0）与根的情况，现在我们

从求根公式的角度来分析：求根公式：x=?b?b2?4ac2a，当b2-4ac>0时，根据平

方根的意义，b2?4ac等于一个具体数，所以一元一次方程的x?b?b2?4ac1=2a≠x?b?

第10课时：二次函数与一元二次方程（2）（教案）

班级 姓名

【学习目标】

1、经历根据a、b、c及b2－4ac的符号画二次函数的示意图的过程，感受数形结合的思想； 2、根据二次函数的示意图确定a、b、c及b2－4ac的符号，培养识图能力． 【探索活动】

1、 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像是一条抛物线，这条抛物线的形状（开口方向、开口大小）是由 决定的：（1）a＞0?抛物线开口 ，a＜0?抛物线开口 ；（2）｜a｜相同?抛物线形状 ．

2、抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴交点位置是由 决定的： c＞0?抛物线与y轴交于 ；c＝0?抛物线与y轴交于 ； c＜0?抛物线与y轴交于 ．

3、抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴的位置是由 决定的： a与b同号?对称轴在y轴 侧；a与b异号?对称轴在y轴 侧； b＝0?对

精品

教学目标：

1、了解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的公式解法和其他解法；能够根据方

程的特征，灵活运用一元二次方程的解法求方程的根．

2、理解一元二次方程的根的判别式，会运用它解决一些简单的问题．

3、进一步培养学生快速准确的计算能力．

4、进一步培养学生严密的逻辑推理与论证能力．3．进一步培养学生的分析问题、解决问题的能力．

教学重点：

一元二次方程的解法及判别式．

教学难点：

配方法．

教学过程：

本节课是一堂复习课，复习的内容是一元二次方程的解法及根的判别式．

1．熟练地解一元一次方程和一元二次方程是学好其他方程的关键，一元二次方程的解法是本章的重点，解法有四种，一种是直接开平方法，它以平方根的概念为基础．适合于形如（ax＋b）2＝c（a≠0，c≥0）类型的方程．第二种方法是配方法，用配方法推导求根公式，由此产生了第三种方法即公式法，它是解一元二次方程的主要方法，是解一元二次方程的通法．第四种方法是因式分解法，适用于方程左边易于分解，而右边是零的方程．由此可归纳出解一元二次方程时，一般先考虑直接开平方法，再考虑因式分解法，最后考虑公式法．一元二次方程根的判别式的意义在于不解方程可以判别根的情况，还可以根据根的情况确定未知值的取值范围．由此可以启发学生

问题: 如图以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方 向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空 气阻力，球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位： s)之间具有关系

h = 20t-5t 2

考虑以下问题： (1)球的飞行高度能否达到15m?如能，需要多少飞行时间？ (2)球的飞行高度能否达到20m?如能，需要多少飞行时间？ (3)球的飞行高度能否达到20.5m?为什么？

(4)球从飞出到落地需要用多少时间？

分析：由于球的飞行高度h与飞行时间t的关系是二次函 数 h=20t-5t 2 所以可以将问题中h 的值代入函数解析式，得到关于 t的一元二次方程，如果方程有合乎实际的解，则说明球 的飞行高度可以达到问题中h 的值；否则，说明球的飞行 高度不能达到问题中h的值.解：(1)解方程

15=20t-5t 2 t 2-4t+3=0 t1=1,t2=3 当球飞行1s和3s时，它的高度为15m.t1=1s 15m 15m t2=3s

(2)解方程 20=20t-5t 2 t 2-4t+4=0 t1=t2=2 当球飞行2s时，它的高 度为20m.t1=2s20m

(3)解方程 20.5=20t-5t

2

t 2-4t+4.1=0 因为(-4

一元二次方程学案

3.1

学习目标：

会根据具体问题列出一元二次方程，体会方程的模型思想，提高归纳、分析的能力。

理解一元二次方程的概念；知道一元二次方程的一般形式；会把一个一元二次方程化为一般形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。

课堂研讨：

探究新知

【例1】小明把一张边长为10c的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子，如果要求长方体的底面积为81c,那么剪去的正方形的边长是多少？

设剪去的正方形的边长为xc，你能列出满足条件的方程吗？你是如何建立方程模型的？

合作交流

动手实验一下，并与同桌交流你的做法和想法。

列出的方程是.

自主学习

【做一做】根据题意列出方程：

一个正方形的面积的2倍等于50,这个正方形的边长是多少？

一个数比另一个数大3,且这两个数之积为这个数，求这个数。

一块面积是150c长方形铁片，它的长比宽多5c,则铁片的长是多少？

观察上述四个方程结构特征，类比一元一次方程的定

义，自己试着归纳出一元二次方程的定义。

【我学会了】

只含有个未知数，并且未知数的最高次数是，这样的方程，叫做一元二次方程。

一元二次方程的一般形式：，其中二次项，是一次项，

是常数项，二次项系数，一次项系数。

展示反馈

【挑战自我】判

第2课时 图形面积问题和利润问题

教学目标

1．会列一元二次方程解决与面积、镶嵌、动点、区域规划等有关的几何类应用题． 2．能够在复杂的销售活动过程中，找出等量关系并列一元二次方程求解． 教学重点

实际问题中等量关系的确定． 教学难点

通过分析图形面积之间的等量关系以及商品销售过程中的数量关系建立一元二次方程的数学模型．

教学设计一师一优课 一课一名师 (设计者： )

教学过程设计

一、创设情景 明确目标

要设计一本书的封面，封面长27 cm，宽21 cm，正中央是一个矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下、左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？

学生思考回答：

归纳导入：根据题意可列方程(27－2x)(21－2x)＝1,4×27×21；一元二次方程也可以解决几何图形的面积问题，本节我们将探究如何利用几何图形的面积公式构建一元二次方程分析解决实际问题．

二、自主学习 指向目标

1．自学教材第20至21页．

2．学习至此：请完成学生用书“课前预习”部分． 三、合作探究 达成目标

探究点一 与图形面积有关的问题

活动一：出示教材第20页探究3，相互交流思考下面的问题： (1)题目中有什么数量关系？怎样设未知数？根

专题课件 2.5 一元二次方程的应用

第1课时 平均变化率和销售问题

知|识|目|标

1．通过自学、讨论，理解平均变化率问题中各个量之间的数量关系，并能建立一元二次方程解决实际问题．

2．回顾销售问题中常用的数量关系，并能用这些数量关系解决实际问题．

目标一 能利用一元二次方程解决平均变化率问题

例1 高频考题2017·烟台今年，我市某中学响应习总书记“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间”活动，现需要购进100个某品牌的足球供学生使用．经调查，该品牌足球2015年单价为200元/个，2017年单价为162元/个．

(1)求2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率； (2)选购期间发现该品牌足球在两个文体用品商场有不同的促销方案：

图2－5－1

则去哪个商场购买足球更优惠？

1

【归纳总结】 有关平均变化率问题中的数量关系

平均变化率问题―→a（1±x）＝b

说明：(1)公式中的a为基础数，x为平均增长(或降低)率，n为增长(或降低)次数，b为增长(或降低)后的量；

(2)注意检验方程的根是否符合题意．

目标二 能利用一元二次方程解决销售利润问题

例2 教材例2针对训练百货大楼服装柜台在销售中发现：“宝乐”牌童装平

用于期末复习

杨家中学2010-2011年度九年级上之一元二次方程复习

一、选择题 1．（2010江苏苏州）下列四个说法中，正确的是 A

．一元二次方程x2 4x 5

2有实数根；

B

．一元二次方程x2 4x 5 2 C

．一元二次方程x2 4x 5 3

有实数根；

D．一元二次方程x2+4x+5=a(a≥1)有实数根．

3．（2010安徽芜湖）关于x的方程(a －5)x2－4x－1＝0有实数根，则a满足（ ）

A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠5 4．

5．（10湖南益阳）一元二次方程ax2

bx c 0(a 0)有两个不相等．．．

的实数根，则b2

4ac满足的条件是

Ａ．b2 4ac＝0 Ｂ．b2 4ac＞0 Ｃ．b2 4ac＜0 Ｄ．b2 4ac≥0

6．（2010山东日照）如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=2，x2=1，那么p，q的值分别是

（A）－3，2 （B）3，-2 （C）2，－3 （D）2，3 7．(2010四川眉山）已知方程x2 5x 2 0的两个解分别为x1、x