平行公理推出第五公设
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第五公设与平行公理的等价证明
第6章 几何公理法简介
6.3 第五公设问题
6.3.1普雷菲定理
1795年普雷菲提出一条跟欧氏第五公设等价的命题,它的直观明显性比第五公设好些,通称欧几里得几何平行公理:通过直线外一点有唯一直线与该线平行.
先证第五公设蕴涵平行公理.
设u为平面上一已知直线,M是不在u上的任一已知点,求证有唯一直线通过M而与u不相交.
''作MN?u于点N,用u表示在M与MN垂直的直线,则u不可能与u相交,否则''与外角定理矛盾.平行线的存在性证明了.再设u是通过M与u,u',MN将构成一三角形,
u'相异的任一直线,那么u''必然在直线MN的某一侧跟MN组成锐角.应用眼前的假设第
五公设于两直线u,u''及截线MN,可知u必与u在这一侧相交.
再证平行公理蕴涵第五公设.
设直线a,b被直线c所截,在c一侧的内角之和
, ?2??1?2d (d表直角)
''从而另一侧内角和
?1??2?2d.
'通过a跟c的交点引直线a,使其与c所成的角?1,?2满足
''?2??1?2d,?1'??2?2d.
''''于是?1?2d??2??1,所以ab,因为若a跟b相交,要得出与外角定理相矛盾的结果.
由假设通过a
第五章 相交线与平行线复习导学案
第五章 相交线与平行线复习导学案
学习目标
1通过对知识的梳理,进一步加深对所学概念的理解,进一步熟悉和掌握几何语言,能用语言说明几何图形。
2、使学生认识平面内两条直线的位置关系,在研究平行线时,能通过有关的角来判断直线平行和反映平行的性质
二、自主学习
1、知识结构网络图:
D C B Al 2、从直线外一点到已知直线的的垂线段的长度叫____ 如图,点A到直线l的距离就是垂
线段____的长度。
3、 判断一件事情的句子叫 ,它由 和 两部分构成 4、 指出下列命题的题设和结论,并把它写成“如果。。。。。。。,那么。。。。。”的形式。 (1)如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行。
(2)等式两边都加上同一个数,结果仍是等式。 E5.三条直线AB、CD、EF相交于点O,如图⑦所示,?AOD的对 CB顶角是 ,?FOB的对顶角是 ,?EOB的邻补角
AO是 。
D6、如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角的关系是_________.F图⑦
7、一辆汽车在笔直的公
第五章 相交线与平行线全章复习
相交线与平行线全章复习 助学稿
班级: 姓名: 学号:
一、本章知识结构图
二、本章知识梳理
1.邻补角的定义: . 对顶角的定义: . 对顶角的性质: . A 2.当两条直线相交所成的四个角中有一个为直角时,叫做这两条直线互相垂直,其中的一条直线叫 ,它们的交点叫 .
C O D 如图,用几何语言表示:
方式⑴∵ ∠AOC=90° ∴ AB_____CD,垂足是_____ B 方式⑵∵ AB⊥CD于O ∴ ∠AOC=______
3.在同一平面内,过一点有且只有_____条直线与已知直线垂直.
a
注意:垂线是 ,垂线段是一条 ,是图形.点到直线的[来源:学科网]b 距离是 的长度,
第五章 相交线与平行线巩固训练1题目
第五章 相交线与平行线巩固训练1
一、选择题.(每空5分,共10分) 1. 如图,直线AB、CD相交于点O,若
∠1+∠2=100°,则∠BOC等于 ( )
A.130° B.140° C.150° D.160° 2.如图,把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上,如果∠1=20°,那么∠2等于( )
A.30° B.25° C.20° D.15°
二、填空题(每空5分,共10分)
3.一大门的栏杆如右图所示,BA⊥AE,若CD∥AE, 则∠ABC+∠BCD=____度.
4.如右图,有下列判断:①∠A与∠1是同位角;②∠A与∠B
是同旁内角;③∠4与∠1是内错角;④∠1与∠3是同位角。其中正确的是______(填序号).
三、解答题.
5.(15分)如右图,先填空后证明.
已知: ∠1+∠2=180° 求证:a∥b
证明:∵ ∠1=∠3( ),
∠1+∠2=180°( ) ∴ ∠3+∠2=180°( ) ∴ a∥b ( )
请你再写出一种证明方法.
第五章 相交线与平行线巩固训练1题目
第五章 相交线与平行线巩固训练1
一、选择题.(每空5分,共10分) 1. 如图,直线AB、CD相交于点O,若
∠1+∠2=100°,则∠BOC等于 ( )
A.130° B.140° C.150° D.160° 2.如图,把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上,如果∠1=20°,那么∠2等于( )
A.30° B.25° C.20° D.15°
二、填空题(每空5分,共10分)
3.一大门的栏杆如右图所示,BA⊥AE,若CD∥AE, 则∠ABC+∠BCD=____度.
4.如右图,有下列判断:①∠A与∠1是同位角;②∠A与∠B
是同旁内角;③∠4与∠1是内错角;④∠1与∠3是同位角。其中正确的是______(填序号).
三、解答题.
5.(15分)如右图,先填空后证明.
已知: ∠1+∠2=180° 求证:a∥b
证明:∵ ∠1=∠3( ),
∠1+∠2=180°( ) ∴ ∠3+∠2=180°( ) ∴ a∥b ( )
请你再写出一种证明方法.
期中总复习课件--第五章相交线与平行线
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同类项(一)
教学目标
1. 使学生了解同类项的定义;并能准确找出同类项。 2.理解合并同类项法则;并能用法则合并同类项。 3.向学生渗透由特殊到一般,具体到抽象的思维方式。
教学重点和难点
重点:正确理解概念;会用法则合并同类项。 难点:识别同类项;用法则合并同类项。
课堂教学过程设计 一、复习
1. 练习 下列整式中,哪些是单项式,哪些是多项式,并指出单项式的系数,多项式的各项。
(1) 10x2 (2) ab-ab2 (3) -5xy (4) 4-m2n-2mn2
二、新授:1、同类项定义
(提问)(投影)下列各式能否合并:
(1) 3a-2a (2)3ab+4ab (3) 3a+b (4) ab+2 (5) 4b2+5b2 (6) 3a2-2a (7) 2x2y+x2y (8)3a2b-2ab2
引导学生观察上述可以化简的式子,得出含字母相同, 并且相同字母的指数也相同的项可以合并。
从而,引出“同类项”课
第五章 相交线与平行线典型例题及拔高训练
第五章 相交线和平行线典型例题及强化训练
课标要求
①了解对顶角,知道对项角相等。
②了解垂线、垂线段等概念,了解垂线段最短的性质,体会点到直线距离的意义。
③知道过一点有且仅有一条直线垂直干已知直线,会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线。 ④知道两直线平行同位角相等,进一步探索平行线的性质
⑤知道过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线,会用角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线。
⑥体会两条平行线之间距离的意义,会度量两条平行线之间的距离。 典型例题 1.判定与性质 例1 判断题:
1)不相交的两条直线叫做平行线。 ( ) 2)过一点有且只有一条直线与已知直线平行。 ( ) 3)两直线平行,同旁内角相等。 ( ) 4)两条直线被第三条直线所截,同位角相等。 ( ) 答案:(1)错,应为“在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线”。 (2)错,应为“过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行”。 (3)错,应为“两直线平行,同旁内角互补 ”。
(4)错,应为“两条平行线被第三条直线所截,同位角相等”。 例2 已知:如图,AB∥CD,求证:
第五章 相交线与平行线单元测试附解析
第五章 相交线与平行线单元测试附解析
一、选择题
1.在下列命题中,为真命题的是( )
A .相等的角是对顶角
B .平行于同一条直线的两条直线互相平行
C .同旁内角互补
D .垂直于同一条直线的两条直线互相垂直 2.能说明命题“若a >b ,则3a >2b “为假命题的反例为( )
A .a =3,b =2
B .a =﹣2,b =﹣3
C .a =2,b =3
D .a =﹣3,b =﹣2 3.下列选项中,不是运用“垂线段最短”这一性质的是( )
A .立定跳远时测量落点后端到起跳线的距离
B .从一个村庄向一条河引一条最短的水渠
C .把弯曲的公路改成直道可以缩短路程
D .直角三角形中任意一条直角边的长度都比
斜边短
4.如图,直线//m n ,在Rt ABC 中,90B ∠=?,点A 落在直线m 上,BC 与直线n 交于点D ,若2130∠=?,则1∠的度数为( ).
A .30°
B .40°
C .50°
D .65°
5.定义:平面内的直线l 1与l 2相交于点O ,对于该平面内任意一点M ,点M 到直线l 1、l 2的距离分别为a 、b ,则称有序非负实数对(a ,b )是点M 的“距离坐标”,根据上述定义,
19.1(2)命题、公理、定理
命题、定理、公理
一、定义界定某个对象含义的句子叫做定义。如,三角形的定义:由不在同一直线上的三条线段首 尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形 。 因式分解(分解因式),把一个多项式化为几个整式 的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解, 也叫作分解因式。
关键词:叫做,称为。
二、命题
判断一件事情的句子叫做命题。 判断为正确的命题叫做真命题。 3,4,5 判断为错误的命题叫做假命题。 2
不是命题
1.下列句子中,哪些是命题?哪些不是命题? ⑴对顶角相等; 是 ⑵画一个角等于已知角; 不是
⑶两直线平行,同位角相等; 是 ⑷a、b两条直线平行吗? 不是 ⑸温柔的李明明。 不是⑹玫瑰花是动物。 是 ⑺若a2=4,求a的值。 不是 ⑻若a2= b2,则a=b。 是
三、公理通过操作实验,归纳出以下基本事实: 两点确定一条直线
两点之间线段最短。过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直。两直线平行,同位角相等。
人们从长期实践中总结出来的真命题叫做公理。
公理可以作为判断其他命题真假的原始依据。
四、定理从公理和其他真命题出发,用推理的方法证明为正确 的,并进一步作为判断其他命题的真假的依据,这样 的真命题叫做定理。
第五章相交线与平行线综合测试题
七年级测试题 第 1 页 共 4 页
5
4D
3E 21
C B
A
第五章《相交线与平行线》单元检测题
班级 姓名
一、选择题:(每小题4分,共40分)
1.若三条直线交于一点,则共有对顶角(平角除外)( ) A.6对 B.5对 C.4对 D.3对
2.如图1所示,∠1的邻补角是( )
A.∠BOC
B.∠BOE 和∠AOF
C.∠AOF
D.∠BOC 和∠AOF
图2
3. 如右图2,下列能判定AB ∥CD 的条件有( )个.
(1) ?=∠+∠180BCD B ; (2)21∠=∠; (3) 43∠=∠; (4) 5∠=∠B .
A.1
B.2
C.3
D.4 图1
4. 一辆汽车在笔直的公路上行驶,两次拐弯后,仍在原来的方向上平行前进,那么
两次拐弯的角度是( )
A .第一次右拐50°,第二次左拐130°
B .第一次左拐50°,第二次右拐50°
C .第一次左拐50°,第二次左拐130°
D .第一次右拐50°,第二次右拐50° 5. 如图3,AB ∥CD ,那么∠A ,∠P ,∠C 的数量关系是( ) A.∠A+∠P+∠C=90°