平行公理推出第五公设

第6章 几何公理法简介

6.3 第五公设问题

6.3.1普雷菲定理

1795年普雷菲提出一条跟欧氏第五公设等价的命题，它的直观明显性比第五公设好些，通称欧几里得几何平行公理：通过直线外一点有唯一直线与该线平行．

先证第五公设蕴涵平行公理．

设u为平面上一已知直线，M是不在u上的任一已知点，求证有唯一直线通过M而与u不相交．

''作MN?u于点N，用u表示在M与MN垂直的直线，则u不可能与u相交，否则''与外角定理矛盾．平行线的存在性证明了．再设u是通过M与u,u',MN将构成一三角形，

u'相异的任一直线，那么u''必然在直线MN的某一侧跟MN组成锐角．应用眼前的假设第

五公设于两直线u,u''及截线MN，可知u必与u在这一侧相交．

再证平行公理蕴涵第五公设．

设直线a,b被直线c所截，在c一侧的内角之和

， ?2??1?2d （d表直角）

''从而另一侧内角和

?1??2?2d．

'通过a跟c的交点引直线a，使其与c所成的角?1,?2满足

''?2??1?2d,?1'??2?2d．

''''于是?1?2d??2??1，所以ab，因为若a跟b相交，要得出与外角定理相矛盾的结果．

由假设通过a

第五章 相交线与平行线复习导学案

学习目标

1通过对知识的梳理，进一步加深对所学概念的理解，进一步熟悉和掌握几何语言，能用语言说明几何图形。

2、使学生认识平面内两条直线的位置关系，在研究平行线时，能通过有关的角来判断直线平行和反映平行的性质

二、自主学习

1、知识结构网络图：

D C B Al 2、从直线外一点到已知直线的的垂线段的长度叫＿＿＿＿ 如图，点A到直线l的距离就是垂

线段＿＿＿＿的长度。

3、 判断一件事情的句子叫 ,它由 和 两部分构成 4、 指出下列命题的题设和结论，并把它写成“如果。。。。。。。，那么。。。。。”的形式。 (1)如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

(2)等式两边都加上同一个数，结果仍是等式。 E5．三条直线AB、CD、EF相交于点O，如图⑦所示，?AOD的对 CB顶角是 ，?FOB的对顶角是 ，?EOB的邻补角

AO是 。

D6、如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角的关系是_________.F图⑦

7、一辆汽车在笔直的公

相交线与平行线全章复习 助学稿

班级: 姓名: 学号：

一、本章知识结构图

二、本章知识梳理

1.邻补角的定义： ． 对顶角的定义： ． 对顶角的性质： ． A 2.当两条直线相交所成的四个角中有一个为直角时，叫做这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫 ，它们的交点叫 ．

C O D 如图，用几何语言表示：

方式⑴∵ ∠AOC=90° ∴ AB_____CD，垂足是_____ B 方式⑵∵ AB⊥CD于O ∴ ∠AOC=______

3.在同一平面内，过一点有且只有_____条直线与已知直线垂直．

a

注意：垂线是 ，垂线段是一条 ，是图形.点到直线的[来源:学科网]b 距离是 的长度，

第五章 相交线与平行线巩固训练1

一、选择题.（每空5分，共10分） 1. 如图,直线AB、CD相交于点O,若

∠1+∠2=100°,则∠BOC等于 ( )

A.130° B.140° C.150° D.160° 2.如图,把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上,如果∠1=20°,那么∠2等于( )

A．30° B.25° C.20° D.15°

二、填空题（每空5分，共10分）

3.一大门的栏杆如右图所示,BA⊥AE，若CD∥AE， 则∠ABC+∠BCD=____度.

4.如右图,有下列判断:①∠A与∠1是同位角；②∠A与∠B

是同旁内角；③∠4与∠1是内错角；④∠1与∠3是同位角。其中正确的是______(填序号).

三、解答题.

5.(15分）如右图,先填空后证明.

已知: ∠1+∠2=180° 求证：a∥b

证明：∵ ∠1=∠3（ ），

∠1+∠2=180°（ ） ∴ ∠3+∠2=180°（ ） ∴ a∥b （ ）

请你再写出一种证明方法.

第五章 相交线与平行线巩固训练1

一、选择题.（每空5分，共10分） 1. 如图,直线AB、CD相交于点O,若

∠1+∠2=100°,则∠BOC等于 ( )

A.130° B.140° C.150° D.160° 2.如图,把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上,如果∠1=20°,那么∠2等于( )

A．30° B.25° C.20° D.15°

二、填空题（每空5分，共10分）

3.一大门的栏杆如右图所示,BA⊥AE，若CD∥AE， 则∠ABC+∠BCD=____度.

4.如右图,有下列判断:①∠A与∠1是同位角；②∠A与∠B

是同旁内角；③∠4与∠1是内错角；④∠1与∠3是同位角。其中正确的是______(填序号).

三、解答题.

5.(15分）如右图,先填空后证明.

已知: ∠1+∠2=180° 求证：a∥b

证明：∵ ∠1=∠3（ ），

∠1+∠2=180°（ ） ∴ ∠3+∠2=180°（ ） ∴ a∥b （ ）

请你再写出一种证明方法.

新世纪教育网 www.xsjjyw.com 精品资料 版权所有@新世纪教育网

同类项（一）

教学目标

1． 使学生了解同类项的定义；并能准确找出同类项。 2．理解合并同类项法则；并能用法则合并同类项。 3．向学生渗透由特殊到一般，具体到抽象的思维方式。

教学重点和难点

重点：正确理解概念；会用法则合并同类项。 难点：识别同类项；用法则合并同类项。

课堂教学过程设计 一、复习

1. 练习 下列整式中，哪些是单项式，哪些是多项式，并指出单项式的系数，多项式的各项。

(1) 10x2 (2) ab-ab2 (3) -5xy (4) 4-m2n-2mn2

二、新授：1、同类项定义

（提问）(投影)下列各式能否合并：

(1) 3a-2a (2)3ab+4ab (3) 3a+b (4) ab+2 (5) 4b2+5b2 (6) 3a2-2a (7) 2x2y+x2y (8)3a2b-2ab2

引导学生观察上述可以化简的式子,得出含字母相同, 并且相同字母的指数也相同的项可以合并。

从而，引出“同类项”课

第五章 相交线和平行线典型例题及强化训练

课标要求

①了解对顶角，知道对项角相等。

②了解垂线、垂线段等概念，了解垂线段最短的性质，体会点到直线距离的意义。

③知道过一点有且仅有一条直线垂直干已知直线，会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线。 ④知道两直线平行同位角相等，进一步探索平行线的性质

⑤知道过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线，会用角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线。

⑥体会两条平行线之间距离的意义，会度量两条平行线之间的距离。 典型例题 1.判定与性质 例1 判断题：

1)不相交的两条直线叫做平行线。 ( ) 2)过一点有且只有一条直线与已知直线平行。 ( ) 3)两直线平行，同旁内角相等。 ( ) 4)两条直线被第三条直线所截，同位角相等。 ( ) 答案：(1)错，应为“在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”。 (2)错，应为“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”。 (3)错，应为“两直线平行，同旁内角互补 ”。

(4)错，应为“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”。 例2 已知：如图，AB∥CD，求证：

第五章 相交线与平行线单元测试附解析

一、选择题

1．在下列命题中，为真命题的是（ ）

A ．相等的角是对顶角

B ．平行于同一条直线的两条直线互相平行

C ．同旁内角互补

D ．垂直于同一条直线的两条直线互相垂直 2．能说明命题“若a ＞b ，则3a ＞2b “为假命题的反例为（ ）

A ．a ＝3，b ＝2

B ．a ＝﹣2，b ＝﹣3

C ．a ＝2，b ＝3

D ．a ＝﹣3，b ＝﹣2 3．下列选项中，不是运用“垂线段最短”这一性质的是（ ）

A ．立定跳远时测量落点后端到起跳线的距离

B ．从一个村庄向一条河引一条最短的水渠

C ．把弯曲的公路改成直道可以缩短路程

D ．直角三角形中任意一条直角边的长度都比

斜边短

4．如图，直线//m n ，在Rt ABC 中，90B ∠=?，点A 落在直线m 上，BC 与直线n 交于点D ，若2130∠=?，则1∠的度数为（ ）.

A ．30°

B ．40°

C ．50°

D ．65°

5．定义：平面内的直线l 1与l 2相交于点O ，对于该平面内任意一点M ，点M 到直线l 1、l 2的距离分别为a 、b ，则称有序非负实数对（a ，b ）是点M 的“距离坐标”，根据上述定义，

命题、定理、公理

一、定义界定某个对象含义的句子叫做定义。如，三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首 尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形 。 因式分解(分解因式),把一个多项式化为几个整式 的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解， 也叫作分解因式。

关键词：叫做，称为。

二、命题

判断一件事情的句子叫做命题。 判断为正确的命题叫做真命题。 3,4,5 判断为错误的命题叫做假命题。 2

不是命题

1.下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？ ⑴对顶角相等； 是 ⑵画一个角等于已知角； 不是

⑶两直线平行，同位角相等； 是 ⑷a、b两条直线平行吗？ 不是 ⑸温柔的李明明。 不是⑹玫瑰花是动物。 是 ⑺若a2=4,求a的值。 不是 ⑻若a2= b2,则a=b。 是

三、公理通过操作实验，归纳出以下基本事实： 两点确定一条直线

两点之间线段最短。过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。

过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直。两直线平行，同位角相等。

人们从长期实践中总结出来的真命题叫做公理。

公理可以作为判断其他命题真假的原始依据。

四、定理从公理和其他真命题出发，用推理的方法证明为正确 的，并进一步作为判断其他命题的真假的依据，这样 的真命题叫做定理。

七年级测试题 第 1 页 共 4 页

5

4D

3E 21

C B

A

第五章《相交线与平行线》单元检测题

班级 姓名

一、选择题:(每小题4分，共40分)

1.若三条直线交于一点，则共有对顶角(平角除外)( ) A.6对 B.5对 C.4对 D.3对

2.如图1所示，∠1的邻补角是( )

A.∠BOC

B.∠BOE 和∠AOF

C.∠AOF

D.∠BOC 和∠AOF

图2

3. 如右图2，下列能判定AB ∥CD 的条件有( )个.

(1) ?=∠+∠180BCD B ； (2)21∠=∠； (3) 43∠=∠； (4) 5∠=∠B .

A.1

B.2

C.3

D.4 图1

4. 一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么

两次拐弯的角度是（ ）

A ．第一次右拐50°，第二次左拐130°

B ．第一次左拐50°，第二次右拐50°

C ．第一次左拐50°，第二次左拐130°

D ．第一次右拐50°，第二次右拐50° 5. 如图3，AB ∥CD ，那么∠A ，∠P ，∠C 的数量关系是( ) A.∠A+∠P+∠C=90°