高中等差等比数列高考真题

万智春季高考数学一轮复习

5.4等差等比数列的综合应用

知识梳理

数列应用题常见模型

（1） 等差模型：如果增加（或减少）的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加（或减少）的量就是公差 （2） 等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比， 生长模型：如果某一个量，每一期以一个固定的百分数增加（或减少），同时又以一个固定的具体量增加（或减少）如：分期付款问题，树木的生长与砍伐问题等。 典型例题

题型一 等差数列模型

例1. 为了减少沙尘暴对本城市环境的影响，某市政府决定在城市外围构筑一道新的防护林，计划从2011年起每年都植树20000

棵，2011年底发现防护林内损失了1000棵，假设以后每一年损失的树都比上一年多300棵，照此计算： （1）2020年这一年将损失多少棵？

（2）到2020年底，该防护林内共存活多少棵树？

题型二 等比数列模型

例2.某人于2000年1月在银行存入10000元，2001年1月再次存入10000元，此后，每年1月份都存入10000元，设银行利率为a，该人于2010年1月将本息和全部取出，问本息和共多少？

题型三 涉及等差、等

等差数列等比数列综合练习题

一．选择题

1. 已知an?1?an?3?0，则数列?an?是 （ ）

A. 递增数列 B. 递减数列 C. 常数列 D. 摆动数列 2.等比数列{an}中，首项a1?8，公比q?，那么它的前5项的和S5的值是（ ） A．

31333537 B． C． D． 2222123. 设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S7=35，则a4=( ) A. 8 B.7

C.6

D.5

4. 等差数列{an}中，a1?3a8?a15?120,则2a9?a10?（ ） A．24

B．22

C．20

D．-8

5. 数列?an?的通项公式为an?3n2?28n，则数列?an?各项中最小项是 （ ） A. 第4项 B.第5项 C. 第6项 D. 第7项

2a?b等于（ ） 2c?d111 A．1 B． C． D．

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专题三 数 列

第一讲 等差、等比数列的计算与证明

一、选择题

1．(2010·全国Ⅱ)如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋?＋a7＝( )

A．14 B．21 C．28 D．35 解析：由等差数列性质得a3＋a4＋a5＝3a4，

7?a1＋a7?

由3a4＝12，得a4＝4，所以a1＋a2＋?＋a7＝＝7a4＝28.

2答案：C

2．(2010·福建)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最

小值时，n等于 ( ) A．6 B．7 C．8 D．9 解析：∵{an}是等差数列， ∴a4＋a6＝2a5＝－6，

a5－a1－3＋11

则a5＝－3，d＝＝＝2，得{an}是首项为负数的递增数列，所有的非正

5－14项之和最小．∵a6＝－1，a7＝1，∴当n ＝6时，Sn取最小．故选A. 答案：A

3．等比数列{an}前n项的积

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

等差等比数列综合应用

二. 重点、难点

1. 等差等比数列综合题

2. 数列与其它章节知识综合 3. 数列应用题

【典型例题】

[例1] 一个等比数列共有三项，如果把第二项加上4所得三个数成等差数列，如果再把这个等差数列的第3项加上32所得三个数成等比数列，求原来的三个数。

解：等差数列为a?d,a,a?d

2??(a?d)?(a?d)?(a?4)∴ ? 2??(a?d)(a?d?32)?a222??a?d?a?8a?16(1)∴ ?2 22??(a?d)?32(a?d)?a(2)∴ a?8a?16?32?32d?a

222?3a?4d?0代入（1）

1?d2??8?(4d?2)?16

33d2?32d?64?0 (3d?8)(d?8)?0 826 a? 3921050∴ 此三数为2、16、18或、?、

999① d?8 a?10 ② d?

q?(0,1)，[例2] 等差数列{an}中，a1??393，b1?2，a2?a3??768，{bn}是等比数列，

{bn}所有项和为20，求：

（1）求an,bn （2）解不等式

am?1???a2m??160b2

m?1解：（1）∵ 2

等差、等比数列综合

教学目标 1.熟练运用等差、等比数列的概念、通项公式、前n项和公式以及有关性质，分析和解决等差、等比数列的综合问题

2.突出方程思想的应用，能选择简捷合理的运算途径，提高运算速度和能力 3.用方程的观点认识等差、等比数列的基础知识，从本质上掌握公式

4.解决应用问题时，分清是等差数列还是等比数列问题；分清an和Sn弄清项数n

双基联系 1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2?a5?a7?a9?a12是一个确定的常数，则下列表达式也是一个确定的常数的是 ( ) A.S5 B.S7 C.S9 D.S13

2.已知等比数列{an}，若a2a5a9a12?16，则a6a7a8? ( ) A．4 B．8 C．±4 D．±8

3.命题p：若2b=a＋c，则a，b，c成等差数列；命题q：若b?ac，则a

高中数学第一轮复习学案 数 列

第01讲 数列的概念和简单表示法

广东高考考试大纲说明的具体要求：

① 了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）; ② 了解数列是自变量为正整数的一类函数.

（一）基础知识回顾：

1.数列的概念:按照一定______排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的______.

数列的第一项a1也称为_______项，an是数列的第n项，也叫数列的_______项。

如果数列{an}的第n项an与项数n之间的关系可以用一个公式来表示，即an?f(n)，那么这个式子就叫做这个数列的___________.数列的通项公式就是相应函数的解析式。

数列{an}中，Sn?a1?a2???an，叫做数列{an}的_____________.

2.数列的分类：项数有限的数列称为_________数列，项数无限的数列称为_________数列。

递增数列：对于任意的n?1,n?N，都有an?1?an； 递减数列：对于任意的n?1,n?N，都有an?1?an； 常数列：对于任意的n?1,n?N，都有an?1?an。 3.常见数列：分别写出以下几个数列的一个通项公式：

（1）1,2,3,4,5

等差数列的性质总结

1.等差数列的定义：an?an?1?d（d为常数）（n?2）；

2．等差数列通项公式：

an?a1?(n?1)d?dn?a1?d(n?N*) ， 首项:a1，公差:d，末项:an 推广： an?am?(n?m)d． 从而d?

3．等差中项

（1）如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．即：A?a?b或2an?am；

n?m2A?a?b

（

2

）

等

差

中

项

：

数

列

?an?是等差数列

?2an?an-1?an?1(n?2)?2an?1?an?an?2

4．等差数列的前n项和公式：

Sn?n(a1?an)n(n?1)d1?na1?d?n2?(a1?d)n?An2?Bn 2222（其中A、B是常数，所以当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0）

特别地，当项数为奇数2n?1时，an?1是项数为2n+1的等差数列的中间项

S2n?1??2n?1??a1?a2n?1??2?2n?1?an?1（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数

乘以中间项）

5．等差数列的判定方法

（1） 定义法：若an?an?1?d或an?1?an?d(常数n?N)? ?an?是等差数列．

?（2） 等差中项：数列

?a

专题九 等差数列与等比数列 一、高考考点

1.等差数列或等比数列定义的应用：主要用于证明或判断有关数列为等差（或等比）数列. 2.等差数列的通项公式，前几项和公式及其应用：求 3.等比数列的通项公式，前n项和及其应用：求 4.等差数列与等比数列的（小）综合问题.

5.等差数列及等比数列的主要性质的辅助作用：解决有关问题时，提高洞察能力，简化解题过程. 6.数列与函数、方程、不等式以及解析几何等知识相互结合的综合题目：以高中档试题出现，重点考察运用有关知识解决综合问题的能力。 二、知识要点 （一）、等差数列

1.定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差. 认知：｛

－

｝为等差数列

=d (n

－

※

；求 ；解决关于

或

或 的问题.

；求 ；解决有关 的问题.

=d (n∈N且d为常数)

※

2, n∈N且d为常数)

此为判断或证明数列｛ 2.公式 （1）通项公式： 引申： 认知：｛

=

=

｝为等差数列的主要依据.

+（n－1）d：

+（n－m）d （注意：n=m+(n－m) ） ｝为等差数列

专题9 等差数列与等比数列

一、高考考点

1.等差数列或等比数列定义的应用：主要用于证明或判断有关数列为等差（或等比）数列. 2.等差数列的通项公式，前几项和公式及其应用：求问题.

3.等比数列的通项公式，前n项和及其应用：求 4.等差数列与等比数列的（小）综合问题.

5.等差数列及等比数列的主要性质的辅助作用：解决有关问题时，提高洞察能力，简化解题过程.

6.数列与函数、方程、不等式以及解析几何等知识相互结合的综合题目：以高中档试题出现，重点考察运用有关知识解决综合问题的能力。

二、知识要点 （一）、等差数列

1.定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差.

认知：｛

－

｝为等差数列

－

※

；求 ；解决关于 或 的

；求 ；解决有关 或 的问题.

=d (n∈N且d为常数)

※

=d (n 2, n∈N且d为常数)

｝为等差数列的主要依据.

此为判断或证明数列｛

2.公式

（1）通项公式： 引申： 认知：｛

)

=

=

+（n－1）d：

+（n－m）d （注意：n=m+(n－m

高三 好材料!数学

与等差(比)数列有关的基本运算一般是求数列中某一项 或几项的值的问题，通常利用数列的通项公式或数列的前n 项和公式列出方程组，求出a1、d(q)或者根据已知条件进行 简单代换.

高三 好材料!数学

[例1] 设正项等比数列{an}的前n项和为Sn,已知a3=4, a4a5a6=212. (1)求首项a1和公比q的值； (2)若Sn=210-1,求n的值.

高三 好材料!数学

[思路点拨] (1)可列出关于a1、q的方程组解之. (2)通过a4a5a6=a可得a5,再由a3即可求得q及a1.

高三 好材料!数学

[自主解答] (1)法一：∵{an}是等比数列， ∴4=a3=a1q2 212=a4a5a6=a 3 q3+4+5=a 3 q12 1 1 由①②可解得q2=4. 又∵{an}为正项等比数列. ∴q=2. ① ②

将q=2代入①或②可得a1=1.

高三 好材料!数学

法二：由题设有a4a5a6=a3=212 a5=24=16(a5>0), 5 a5 2 ∴ =q =4 q=2,代入a3=a1q2=4, a3 解得a1=1. a1 qn-1 n (2)由Sn=210-1,Sn= =2 -1, q-1 得2n-1=210-1 2n=210