实变函数证明题题库及答案

实变函数试题库及参考答案 本科

一、题

1．设A,B为集合，则?A\\B??B?A?B（用描述集合间关系的符号填写） 2．设A是B的子集，则A?B （用描述集合间关系的符号填写） 3．如果E中聚点都属于E，则称E是闭集 4．有限个开集的交是开集

5．设E1、E2是可测集，则m?E1?E2??mE1?mE2（用描述集合间关系的符号填写） 6．设E??是可数集，则mE=0

17．设f?x?是定义在可测集E上的实函数，如果?a??，E??xf?x??a??是可测集，则称f?x?在E上可测

n*8．可测函数列的上极限也是可测函数

9．设fn?x??f?x?，gn?x??g?x?，则fn?x??gn?x??f?x??g?x? 10．设f?x?在E上L可积，则f?x?在E上可积

11．设A,B为集合，则?B\\A??A?A（用描述集合间关系的符号填写） 12．设A?2k?1k?1,2,?，则A=a（其中a表示自然数集N的基数） 13．设E??，如果E中没有不属于E，则称E是闭集 14．任意个开集的并是开集

15．设E1、E2是可测集，且E1?E2，则mE1?mE2 16．设E中只有孤立点，则mE=0

117．设f?x?是定义在可测集E上的实函数，如

考

试卷三（参考答案及评分标准）

生一、一 单项选择题（3分×5=15分）

答11、设An?[,2?(?1)n],n?1,2,?，则（ B ）

n(A) limAn?[0,1] （B）limAn?(0,1]

n??n??(C) limAn?(0,3] （D）limAn?(0,3)

n??n??题2、设E是?0,1?上有理点全体，则下列各式不成立的是（ D ） （A）E?[0,1] (B) E?? (C) E=[0，1] (D) mE?1

'o不3、下列说法不正确的是（ C ）

(A) 若A?B，则m*A?m*B （B） 有限个或可数个零测度集之和集仍 为零测度集 (C) 可测集的任何子集都可测 （D）凡开集、闭集皆可测 4、设{En}是一列可测集，E1?E2???En??，且mE1???，则有（ A ）

得??????（A）m??En??limmEn (B) m??En??limmEn

?n?1?n???n?1?n????? （C）m??En??limmEn;（D）以上都不对

?n?1?n??超5、设f(x)是[a,b]上绝对连续函数，则下面不成立的是（ B

实变函数练习及答案

一、选择题

1、以下集合，（ ）是不可数集合。

A.所有系数为有理数的多项式集合； B.[0,1]中的无理数集合；

C.单调函数的不连续点所成集合； D.以直线上互不相交的开区间为元素的集。

2、设E是可测集，A是不可测集，mE?0，则E?A是（ ）

A.可测集且测度为零； B.可测集但测度未必为零； C.不可测集； D.以上都不对。

3、下列说法正确的是（ ）

A.f(x)在[a,b]L—可积?f(x)在[a,b]L—可积； B.f(x)在[a,b]R—可积?f(x)在[a,b]R—可积；

C.f(x)在[a,b]L—可积?f(x)在[a,b]R—可积； D.f(x)在?a,???R—广义可积?f(x)在[a,b]L—可积

4、设{En}是一列可测集，E1?E2?...?En...,则有（ ） A. m(??E)?limmE； B.m(?E)?limmE；

nn?1n??nnn?1n??nn????C.m(?En)?limmEn； D.以上都不对。

n?1

习题1.1

1．证明下列集合等式．

(1) A??B\\C???A?B?\\?A?C?； (2) ?A?B?\\C??A\\C???B\\C?； (3) A\\?B\\C???A\\B???A?C?． 证明 (1) A?(B\\C)?A?(B?C)

c ?(A?B?Ac)?(A?B?Cc) ?(A?B)?(A?C)c

?(A?B)\\(A?C) .

(2) (A?B)\\C?(A?B)?C

c?(A?Cc)?(B?Cc)

=(A\\C)?(A\\C).

(3) A\\(B\\C)?A\\(B?C) ?A?(B?C)

ccc?A?(Bc?C) ?(A?Bc)?(A?C)

?(A\\B)?(A?C).

2．证明下列命题．

(1) ?A\\B??B?A的充分必要条件是：B?A； (2) ?A?B?\\B?A的充分必要条件是：A?B??； (3) ?A\\B??B??A?B?\\B的充分必要条件是：B??．

证明 (1) (A\\B)?B?(A?B)?B?(A?B)?(B?B)?A?B?A的充要条 是：B?A.

(2) (A?B)\\B?(A?B)?B?(A?B)?(B?B)?A?B

c必

§3.3 有关变限积分和积分证明题

一、求变限积分的导数 【08】设函数f(x)

x2

ln(2 t)dt，则f (x)的零点个数为

（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 选B 二、极限与无穷小

【04】把x 0时的无穷小

x

costdt，

t， t3dt排

2

x2

列起来，排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是（）

(A) , , （B） , , （C） , , （D） , , 选B 三、变上（下）限积分 【例1】 设f x

x

1

lnt

dt(x 0)求f x 1 t

1 f x

1

xlntlnt 1

dt xdt 解 令 g x f x f ，则g x 111 t1 t x

1

lnx 1 lnx

于是 g x 2

1 x1 1 x x

x

lnx1

dx ln2x C 因此 g x x2

ln

∵ g 1 f 1 f 1 0，∴C=0 则 g x f x f 【例2】 设f x

1 12

lnx x 2

a0

a x

et 2a t dt （a为常数）求I f x dx

a

解 I xf x

a

xf

实变函数试题库及参考答案（5） 本科

一、填空题

1．设A,B为集合，则A?B___(B\\A)?A

2．设E?R，如果E满足E?E（其中E表示E的内部），则E是

n00)必为G3．设G为直线上的开集，若开区间(a,b)满足(a,b)?G且a?G,b?G，则(a,b的

4．设A?{x|x?2n,n为自然数}，则A的基数a(其中a表示自然数集N的基数) 5．设A,B为可测集，B?A且mB???，则mA?mB__m(A\\B)

6．设f(x)是可测集E上的可测函数，则对任意实数a,b(a?b)，都有E[xa?f(x)?b]是

7．若E(?R)是可数集，则mE__0 8．设

?fn(x)?为可测集E上的可测函数列，f(x)为E上的可测函数，如果

fn(x)?f(x)二、选择题

1a.e(x?E)，则fn(x)?f(x)x?E（是否成立）

1、设E是R中的可测集，?(x)是E上的简单函数，则 （ ） （A）?(x)是E上的连续函数 （B）?(x)是E上的单调函数 （C）?(x)在E上一定不L可积 （D）?(x)是E上的可测函数 2．下列集合关系成立的是（ ）

（A）A?(B?C)?(A?B)?(A?C) （B）(

《常微分方程》证明题及答案 54

证 明 题（每题10分）

1、设函数f (t)在[0,??)上连续且有界，试证明方程

dx?x?f(t)的所有解均在[?,??)上dtx有界.

证明：设x=x(t)为方程的任一解，它满足某初始条件x(t0)=x0,t0?[0+?)

由一阶线性方程的求解公式有

y(x)?y0e?(x?x0)??f(s)e(s?x)ds

x0现只证x(t)在[t0,+?)有界，设|f(t)|?M ,t?[0+?) 于是对t0?t<+?有

x?M(x?x0)M(s?t)|f(s)|eds 0x|y|?|y|e??0 ?|x0|+Me

-t

?eds

t0(t?t)ts ?|x0|+M[1?e0]

?|x0|+M 即证

2、设函数f (x),p(x)在[0,??）上连续，且limp(x)?a?0且x???|f(x)|?b(a,b,为

3、设函数f (x)在[0,??）上连续，且limf(x)?b又a>0

x???4、设函数y (x)在[0,??)上连续且可微，且lim[y'(x)?y(x

第1篇：初中数学证明题

1.如图1，△ABC中，AB=AC，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D，∠ADC=130°，求∠BAC的度数．

2.如图，△ABC中，AD平分∠CAB，BD⊥AD，DE∥AC。求证：AE=BE。

．3.如图，△ABC中，AD

平分∠BAC，BP⊥AD于P，AB=5，BP=2，AC=9。求证：∠ABP=2∠ACB。

B 图1 P B C

4.如图1，△ABC中，AB=AC，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D，∠ADC=130°，求∠BAC的度数．

图

15.点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE 求证：BD＝CE

6.△ABC中,AB=AC,PB=PC．求证：AD⊥

BC A B D E C

7.已知：如图,BE和CF是△ABC的高线,BE=CF,H是CF、BE的交点．求证：

HB=HC

8 如图,在△ABC中,AB=AC,E为CA延长线上一点,ED⊥BC于D交AB于F.求证:△AEF为等腰三角

形.9.如图，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN是等边三角形，直线AN、MC交于点E，

直线BM、CN交于点F。

（1） 求证：AN=BM;

（2） 求证：△CEF是等边三角形

A

10 如图,△ABC中,D在BC延长线上,且AC=CD,CE

轴对称

一．选择题（共6小题） 1．（2014?贵港）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（ ） 4 A．B． C． D．5

第1题 第2题 第3题 2．（2012?毕节地区）如图．在Rt△ABC中，∠A=30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接CD，若BD=1，则AC的长是（ ） 2 4 A．B． C． D． 2 4 3．如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于E，垂足为D．若ED=5，则CE的长为（ ） 10 8 5 2.5 A．B． C． D． 4．（2012?铜仁地区）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为（ ） 6 7 8 9 A．B． C． D．

轴对称

一．选择题（共6小题） 1．（2014?贵港）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（ ） 4 A．B． C． D．5

第1题 第2题 第3题 2．（2012?毕节地区）如图．在Rt△ABC中，∠A=30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接CD，若BD=1，则AC的长是（ ） 2 4 A．B． C． D． 2 4 3．如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于E，垂足为D．若ED=5，则CE的长为（ ） 10 8 5 2.5 A．B． C． D． 4．（2012?铜仁地区）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为（ ） 6 7 8 9 A．B． C． D．