专题6.2 平面向量及其应用章末检测

一、数形结合思想 向量的加、 向量的加、减、数乘等线性运算有着丰富的几何背景， 数乘等线性运算有着丰富的几何背景， 同时，向量的坐标表示又为向量运算的代数化提供了可能 同时，向量的坐标表示又为向量运算的代数化提供了可能. 因此，向量融数、形于一体，具有几何形式与代数形式的 因此，向量融数、形于一体，具有几何形式与代数形式的“ 双重身份”,自然处于中学数学知识的重要交汇点.显然，形 双重身份 ，自然处于中学数学知识的重要交汇点 显然， 显然 成并自觉运用数形结合的思想方法是解决向量与其他问题 的关键. 的关键

【示例1】 已知向量 2=b2=1,且a·b= 示例 】 已知向量a , = (1)|a+b|;(2)a与(b-a)的夹角. (1)|a+b|;(2)a与(b-a)的夹角. 的夹角

求

[解] 法一：(数形结合法 解 法一： 数形结合法 数形结合法) 作 由a2=b2=1及a·b= 及 = 以 得 为邻边作 为邻边作 ABCD,如图所示 ，如图所示.

又∠BAD∈[0°,180°],∴∠ ∈ ° ° ,∴∠BAD=120°. = ° 所以四边形ABCD为边长为 且一

专题复习：平面向量

一、本章知识结构：

二、重点知识回顾

1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向.

??a2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母、b等表示；③平面向量的坐标表示：分

???yjaix别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底。任作一个向量，由平面向量基

????xiy?yj，(x,y)叫做向量a的（直角）坐标，本定理知，有且只有一对实数x、，使得a?yya记作?(x,y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，叫做a在轴上的坐标， 特别地，

????22ai?(1,0)，j?(0,1)，0?(0,0)。?x?y；若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则

AB??x2?x1,y2?y1?，

AB?(x2?x1)2?(y2?y1)2 3.零向量、单位向量：①长度为0的向量叫零向量，记为0； ②长度为1个单位长度的向量，

a叫单位向量.（注：|a|就是单位向量）

??a04.平行向量：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定与任一向量平行.向量、?????b、c平行，记作a∥b∥c.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量.

5.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.

6.向量的加法、减法：

①求

高中数学课件教案 高三复习

§5.4 平面向量应用举例 基础知识 自主学习要点梳理 1.向量在平面几何中的应用 . 平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量 积解决平面几何中的平行、垂直、平移 、全等、相似、长度、 积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、 长度、 夹角等问题. 夹角等问题. (1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量 证明线段平行或点共线问题，包括相似问题， 证明线段平行或点共线问题

bb 定理： 定理：a∥b a=λb(b≠0)

x 1 y 2 - x2 y1 = 0 .

a⊥b a·b=0 x1x2+y1y2=0 (3)求夹角问题，利用夹角公式 求夹角问题， 求夹角问题

(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质 证明垂直问题， 证明垂直问题 .

x1x2+y1y2 的夹角). cos θ= = = 2 2 2 2 (θ为a与b的夹角 . 为 x1+ y1 x2+ y2 |a||b| a b

a ·b b

高中数学课件教案 高三复习

2.平面向量在物理中的应用 . (1)由于物理学中的力、速度、位移都是 矢量，它们的 由于物理学中的力、速度、 由于物理学中的力

第26讲 平面向量的数量积与平面向量应用举例

考纲要求 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义． 2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系． 3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算． 4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． 5．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题． 6．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.

1．平面向量的数量积

若两个__非零__向量a与b，它们的夹角为θ，则__|a||b|cos θ__叫做a与b的数量积(或内积)，记作__a·b＝|a||b|cos θ__.

规定：零向量与任一向量的数量积为__0__.

两个非零向量a与b垂直的充要条件是__a·b＝0__，两个非零向量a与b平行的充要条件是__a·b＝±|a||b|__.

2．平面向量数量积的几何意义

数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影__|b|cos θ__的乘积． 3．平面向量数量积的重要性质 (1)e·a＝a·e＝__|a|cos〈a，e〉__； (2)非零向量a，b，a⊥b?__a·b＝0__；

(3)当a与b同向时，a·b＝__|a||b|__；当a与b反向时，a·b＝_

专题9 平面向量及应用

★★★自我提升

????1．如图1所示，D是?ABC的边AB上的中点，则向量CD?（ ）

??2．已知向量a?(3,1)，b是不平行于x轴的单位向量，且a?b?3，则b?（）

3113133） C．（,） D．（1,0） ,） B．（,222244??3. ?ABC的三内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c设向量p?(a?c,b),

????q?(b?a,c?a),若p//q,则角C的大小为（ ） ???2?A. B. C. D. 6323???????24．已知|a|?2|b?|0,且关于x的方程x?|a|x?a?b?0有实根,则a与b的夹角的取值范围是

A．（( )

????1????????1????????1????????1????A.?BC?BA B. ?BC?BA C. BC?BA D. BC?BA

222???2???2??] D.[,?] ] B.[,?] C.[,63336115．若三点A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab?0)共线，则?的值等于___

2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义

预习课本P103～105，思考并完成以下问题

(1)怎样定义向量的数量积？向量的数量积与向量数乘相同吗？

(2)向量b在a方向上的投影怎么计算？数量积的几何意义是什么？

(3)向量数量积的性质有哪些？

(4)向量数量积的运算律有哪些？

[新知初探]

1．向量

板块四.平面向量的应用

典例分析

题型一：向量综合

?????????①(a?b)c?(c?a)b?0 ??????③(b?c)a?(c?a)b

【例1】 设a，b，c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则：

垂直

????②a?b?a?b

2?不与c?????④(3a?2b)?(3a?2b)?9a??4b2中，

真命题是（ ） A．①② B．②③ C．③④ D．②④

【例2】 设向量a，b满足：|a|?3，|b|?4，a?b?0．以a，b，a?b的模为边长构成三

??????????角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6

????????【例3】 ⑴ 已知A(1,3)，B?3,7?，C(6,0)，D(8,?1)，求证：AB?CD．

⑵ 已知a⑶ 已知a

???(?3,?2)，b?(4,4)．求2a?3b，cos?a,b?．

，若2a?3b，求x、y的值．

?????????(x?y?1,2x?y)，b?(x?y,x?2y?2)???b，c【例4】 关于平面向量a，．有下列三个命题：

．

????????

第8章 平面向量

知识网络

向量的概念 向量的加、减法 向量 向量的运算 实数与向量的积 向量的数量积 平面向量的基本定理及坐标表示 几何中的运用 向量的运用 物理学中的运用 两点间的距离 向量的夹角 两向量平行的充要条件 向量的坐 标运算 两向量垂直的充要条件 向量的模

第1讲 向量的概念与线性运算

★ 知 识 梳理 ★

1．平面向量的有关概念：

（1）向量的定义：既有____大小又有方向_________的量叫做向量.

（2）表示方法：用有向线段来表示向量.有向线段的____长度_____表示向量的大小，用_____箭头所指的方向____表示向量的方向.用字母a，b，?或用AB，BC，?表示.

特别提醒：

1) 模：向量的长度叫向量的模，记作|a|或|AB|. 2) 3) 4) 5)

零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向不确定. 单位向量：长度为1个长度单位的向量叫做单位向量.

共线向量：方向相同或相反的向量叫共线向量，规定零向量与任何向量共线. 相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等的向量.

用心 爱心 专心

2．向量的线性运算 1.向量的加法：

（1）定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.

?????

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向量

1、在△ABC中，AB=AC，D、E分别是AB、AC的中点,则（ ）

???????1??????????????????????????A、AB与AC共线 B、DE与CB共线C、ADsin?与AE相等 D、AD与BD相等

2、下列命题正确的是（ ）

????????A、向量AB与BA是两平行向量

????aaB、若、b都是单位向量,则=b

????????C、若AB=DC,则A、B、C、D四点构成平行四边形

D、两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同 3、在下列结论中，正确的结论为（ ）

????????????(1)a∥b且|a|=|b|是a=b的必要不充分条件；(2)a∥b且|a|=|b|是a=b的既不充分也不必要条件；????????????(3)a与b方向相同且|a|=|b|是a=b的充要条件；(4)a与b方向相反或|a|≠|b|是a≠b的充分不必要条

件A、(1)(3) B、(2)(4) C、(3)(4) D、(1)(3)(4)

4、把平行于某一直线的一切向量归结到共同的始点,则终点所构成的图形是 ；若这些向量为单位向

第四节

平面向量及其加减法

22.7 平面向量上海市民办文绮中学 杨卓远

试一试：

在上新课之前，

谈谈你对向量的了解！ 越多越好哟！

课题引入如图，从点A向东走5米到达点B,与从点A向

北走5米到达点C,两者有什么区别？再看从点A向东走5米到达点B,与从点A向西 走5米到达点D,两者又有什么区别？C

5米 5米D

5米AB

向量的定义由以上的讨论可以看出，世界上确实存在着“既有大小、又有方向的量” . 表明我们有必 要对这种量进行学习和研究.

既有大小、又有方向的量叫做向量(vector) .C

5米 5米D

5米AB

向量的表示方法 图中向量可表示为：有向线段 AB ,其中 A为始点，B为终点.B

AB的大小，称为向量的模，记作 AB ;

始点 A和终点 B间的距离表示向量

A

自始点 A指向终点 B的方向表示向量的方向.

比较：线段 AB与线段 BA一样吗？向量 AB 与向量 BA一样吗？

向量的表示方法向量还可以用小写的粗体英文字母表示，如 a、b、c、…;手写时，在字母上方加箭头，

如 a 、b 、c 、…(见下图),它们的模分别 b c 记作 a 、 、 、… .

a

b

c

练习：如图，