二次函数存在性问题

总结的较为充分,望参考

二次函数与几何综合类存在性问 题

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二次函数与三角形、四边形、圆和相似三角形常常综 合在一起运用，解决这类问题需要用到数形结合思想，把 “数”与“形”结合起来，互相渗透.存在探索型问题是 指在给定条件下，判断某种数学现象是否存在、某个结论 是否出现的问题.解决这类问题的一般思路是先假设结论 的某一方面存在，然后在这个假设下进行演绎推理，若推 出矛盾，即可否定假设；若推出合理结论，则可肯定假 设.

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第41课时┃二次函数与几何综合 类存在性问题

考向互动探究探究一 二次函数与三角形的结合

例1 如图41-1,对称轴为直线x=-1的抛物线y=ax2+bx

+c(a≠0)与x轴的交点为A、B两点，其中点A的坐标为(-3,0). (1)求点B的坐标； (2)已知a=1,C为抛物线与y轴的交点. ①若点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC,求点P的坐标； ②设点 Q 是线段 AC上的动点，作 QD⊥x 轴交抛物线于点 D, 求线段QD长度的最大值.考点聚焦 归类探究 回归教材

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第41课时┃二次函数与几何综合 类存在性问题

例题分层分析 (1)抛物线的解析式未知，不能通过解 方程的

二次函数的存在性问题（相似三角形）

1、已知抛物线的顶点为A(2，1)，且经过原点O，与x轴的另一交点为B。

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形，求D点的坐标；

(3)连接OA、AB，如图②，在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使得△OBP与△OAB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。

y y

A A x x B B O O

图① 图②

2、设抛物线y?ax?bx?2与x轴交于两个不同的点A(一1，0)、B(m，0)，与y轴交于点C.且∠ACB=90°．

2 1

(1)求m的值和抛物线的解析式；(2)已知点D(1，n )在抛物线上，过点A的直线y?x?1交抛物线于另一点E．若点P在x轴上，以点P、B、D为顶点的三角形与△AEB相似，求点P的坐标．(3)在(2)的条件下，△BDP的外接圆半径等于________________．

解：(1)令x=0，得y=－2 ∴C(0，一2)．∵ACB=90°，CO⊥AB,．∴ △AOC ∽△COB,．

OC222∴OA·OB=OC；∴OB=??4 ∴m=4．

OA12

y

6 4 2

二次函数与几何综合类存在性问题

二次函数与几何综合类存在性问题

二次函数与三角形、四边形、圆和相似三角形常常综合在一起运用，解决这类问题需要用到数形结合思想，把“数”与“形”结合起来，互相渗透。存在探索型问题是指在给定条件下，判断某种数学现象是否存在、某个结论是否出现的问题。解决这类问题的一般思路是先假设结论的某一方面存在，然后在这个假设下进行演绎推理，若推出矛盾，即可否定假设；若推出合理结论，则可肯定假设。

探究一 二次函数与三角形的结合

例1 如图，对称轴为直线x＝－1的抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的交点为A、B两点，其中点A的坐标为(－3，0)． (1)求点B的坐标；

(2)已知a＝1，C为抛物线与y轴的交点．

①若点P在抛物线上，且S△POC＝4S△BOC，求点P的坐标；

②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x 轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．

二次函数与几何综合类存在性问题

探究二 二次函数与四边形的结合

例2 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为(3，0)，与y轴交于C(0，－3)，点P是直线BC下方抛物线上的动点． (1)求这个二次函数的解析式；

(2)连接P

二次函数函数的存在性问题（相似三角形）

1、（09贵州安顺）如图，已知抛物线与x交于A(－1，0)、E(3，0)两点，与y轴交于点B(0，3)。 （1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线顶点为D，求四边形AEDB的面积； （3）△AOB与△DBE是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由。

0)，C(0，?3)， 2、（09青海）矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图所示，A、C两点的坐标分别为A(6，直线y??3x与BC边相交于D点． 42（1）求点D的坐标； （2）若抛物线y?ax?9x经过点A，试确定此抛物线的表达式； 4（3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线OD交于点M，点P为对称轴上一动点，以P、O、M为顶点的三角形

y 与△OCD相似，求符合条件的点P的坐标．

1

O ?3 C A 6 D B y??3x4x 3、（09广西钦州）如图，已知抛物线y＝

过点C的直线y＝且0＜t＜1．

32

x＋bx＋c与坐标轴交于A、B、C三点， A点的坐标为（－1，0）43x－3与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PH⊥OB于点H．若PB＝5t， 4t（1）填空：点C的坐标是_ _，b＝

二次函数与几何综合类存在性问题

二次函数与几何综合类存在性问题

二次函数与三角形、四边形、圆和相似三角形常常综合在一起运用，解决这类问题需要用到数形结合思想，把“数”与“形”结合起来，互相渗透。存在探索型问题是指在给定条件下，判断某种数学现象是否存在、某个结论是否出现的问题。解决这类问题的一般思路是先假设结论的某一方面存在，然后在这个假设下进行演绎推理，若推出矛盾，即可否定假设；若推出合理结论，则可肯定假设。

探究一 二次函数与三角形的结合

例1 如图，对称轴为直线x＝－1的抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的交点为A、B两点，其中点A的坐标为(－3，0)． (1)求点B的坐标；

(2)已知a＝1，C为抛物线与y轴的交点．

①若点P在抛物线上，且S△POC＝4S△BOC，求点P的坐标；

②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x 轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．

二次函数与几何综合类存在性问题

探究二 二次函数与四边形的结合

例2 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为(3，0)，与y轴交于C(0，－3)，点P是直线BC下方抛物线上的动点． (1)求这个二次函数的解析式；

(2)连接P

二次函数平行四边形存在性问题例题

一．解答题（共9小题）

1．如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标； （3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．

）三点．

2．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣3x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=x2+bx+c经过A，C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）．

（1）求抛物线的解析式及点B坐标；

（2）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交x轴于点F，交抛物线于点E．求ME长的最大值；

（3）试探究当ME取最大值时，在x轴下方抛物线上是否存在点P，使以M，F，B，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．

第1页（共29页）

3．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴的交点

分别为A、B两点，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C．

（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的

二次函数与三角形的存在性问题

一、预备知识

1、坐标系中或抛物线上有两个点为P（x1，y），Q（x2，y） (1)线段对称轴是直线

x?x1?x22

(2)AB两点之间距离公式：PQ?(x1?x2)2?(y1?y2)2

?x1?x2y1?y2?,??22????Px,y,Qx,y?。 1122，则线段PQ的中点M为?中点公式：已知两点

2、两直线的解析式为y?k1x?b1与 y?k2x?b2

如果这两天两直线互相垂直，则有k1?k2??1

3、平面内两直线之间的位置关系：两直线分别为：L1：y=k1x+b1 L2：y=k2x+b2 （1）当k1=k2，b1≠b2 ，L1∥L2 （2）当k1≠k2， ，L1与L2相交 （3）K1×k2= -1时， L1与L2垂直 二、三角形的存在性问题探究：

三角形的存在性问题主要涉及到的是等腰三角形，等边三角形，直角三角形 （一）三角形的性质和判定： 1、等腰三角形

性质：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）。

判定：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）的三角形是等腰三角形。 2、直角三角形

平行四边形性质：

1、边：对边平行且相等；2、角：对角相等，邻角互补； 3、对角线：互相平分。

1、在平面直角坐标中，有点O(0,0), A(-1,1),B(2,2). (1)求点C,使四边形OABC是平行四边形.y

Cx

(2)求点C,使以O、A、B、C为顶点的四边 形是平行四边形.y

C1

(2,2)

(-1,1)C2x

(0,0)C3

菱形性质：1、边：对边平行，邻边相等； 2、角：对角相等，邻角互补； 3、对角线：互相平分，互相垂直。

2、如图，D(4,0)和E(0,4),若点Q在 直线DE上，在平面直角坐标系中求点P,使 以O、D、P、Q为顶点的四边形是菱形.y

(0,4) E

.

(0,0)

. .A(4,0) D. .P

(一)当以已知线段OD为对角线 作OD的垂直平分线，交 直线DE于Q,x轴于A。 ∴OA=2,即A(2 , 0) Q(2,2) 设DE所在直线为：y=kx+bx

将D(4,0)和E(0,4)代入 ∴DE直线为：y = - x + 4 在y= - x + 4 中，令x=2, 解得y=2,∴Q(2 , 2)

2、如图，D(4,0)和E(0,4),若点Q在直线DE上，在 平面直角坐标系中求点P,使以O、D、P、Q为顶点的四 边形是菱形. y

P1

Q3

二次函数中直角三角形存在性问题

1. 找点：在已知两定点，确定第三点构成直角三角形时，要么以两定点为直角顶点，要么

以动点为直角顶点.以定点为直角顶点时，构造两条直线与已知直线垂直;以动点为直角顶点时，以已知线段为直径构造圆找点

2. 方法：以两定点为直角顶点时，两直线互相垂直，则k1*k2=-1

以已知线段为斜边时，利用K型图，构造双垂直模型，最后利用相似求解，或者 三条边分别表示之后，利用勾股定理求解

例一：如图，抛物线y?mx?2mx?3m?m?0?与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点.

2（1）请求出抛物线顶点M的坐标（用含m的代数式表示），A、B两点的坐标； （2）经探究可知，△BCM与△ABC的面积比不变，试求出这个比值；

（3）是否存在使△BCM为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；如果不存在，请说明 理由.

1

例二、如图，抛物线y=-x+mx+n与x轴分别交于点A（4，0），B（-2，0），与y轴交于点C． （1）求该抛物线的解析式； （2）M为第一象限内抛物线上一动点，点M在何处时，△ACM的面积最大； （3）在抛物线的对称轴上是否存在这样的点P，使得△

二次函数之平行四边形存在性问题攻略

祝林华

（四川省广安市邻水县邻水实验学校，638500）

二次函数综合题是全国各省市每年必考的中考题型，与二次函数有关的存在性问题更是必考题型。笔者就以平行四边形的存在性为例，谈谈研究这类题型的基本思路和解题技巧。

在平行四边形有关存在性问题中，常会遇到这样两类探究性的问题：（1）已知三点的位置，在二次函数上或在坐标平面内找一动点，使这四点构成平行四边形（下文出现时简称“三定一动”）；（2）已知两个点的位置，在二次函数上或在坐标平面内找两个动点，使这四点构成平行四边形（下文出现时简称“两定两动”）；平行四边形的这四个点有可能是定序的，也有可能没有定序；由于定序较为简单，所以笔者就不再举例说明。学生在拿到这类题型时常常无从下笔，比较典型的两种错误：一是确定动点位置时出现遗漏，而是在具体计算动点坐标时出现方法不当或错解。实际上，这类题型的解法是有章可循的，就是要掌握好解决这类题型的基本思路和解题技巧。 一、基本思路：

（1）分清题型（属于三定一动还是两定两动，因为这两种题型的分类标准有所

不同）；

（2）分类讨论且作图（利用分类讨论不重不漏的寻找动点具体位置）； （3）利用几何特征计算（不同的几何存在性要用不同