平面向量的线性运算

2.2.1向量加法运算及 其几何意义

新课导入1. 物理学中，两次位移 同的。 的结果和位移 是相 OA, AB OB

2. 物理学中，作用于物体同一点的两个不共线的合 力如何求得？ 3. 两个向量的合成可用“平行四边形法则”和“三 角形法则”求出，本节将研究向量的加法。

向量的加法

已知向量a,b,在平面内任取一点A,作 BC b,则向量 AC 叫做a与b的和，记作a+b,即 a+b= AB BC AC

a AB ,

求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 这种求作两个向量和的方法叫做三角形法则，简记 “首尾相连，首是首，尾是尾”。

向量的加法 以同一点O为起点的两个已知向量a,b为邻边作平 行四边形ABCD则以O为起点的对角线 OC 就是a与 b的和。

我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的 平行四边形法则。

向量的加法

对于零向量与任一向量a,规定a+0=0+a=a

例 题 已知向量a,b,用两种方法求作向量a+b。

解：

思 考 当在数轴上表示两个共线向量时，它们的加 法与数的加法有什么关系？

归

纳

两个向量的和仍

2.2.1向量加法运算及 其几何意义

新课导入1. 物理学中，两次位移 同的。 的结果和位移 是相 OA, AB OB

2. 物理学中，作用于物体同一点的两个不共线的合 力如何求得？ 3. 两个向量的合成可用“平行四边形法则”和“三 角形法则”求出，本节将研究向量的加法。

向量的加法

已知向量a,b,在平面内任取一点A,作 BC b,则向量 AC 叫做a与b的和，记作a+b,即 a+b= AB BC AC

a AB ,

求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 这种求作两个向量和的方法叫做三角形法则，简记 “首尾相连，首是首，尾是尾”。

向量的加法 以同一点O为起点的两个已知向量a,b为邻边作平 行四边形ABCD则以O为起点的对角线 OC 就是a与 b的和。

我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的 平行四边形法则。

向量的加法

对于零向量与任一向量a,规定a+0=0+a=a

例 题 已知向量a,b,用两种方法求作向量a+b。

解：

思 考 当在数轴上表示两个共线向量时，它们的加 法与数的加法有什么关系？

归

纳

两个向量的和仍

平面向量的概念及其线性运算

A级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

→

1．(2013·合肥检测)已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，且2OA→＋OC→＝0，那么 ＋OB→＝OD→ A.AO

→＝3OD→ C.AO

( )．

→＝2OD→

B.AO→＝OD→ D．2AO

→＋OB→＋OC→＝0可知，O是底边BC上的中线AD的中点，故AO→

解析 由2OA→. ＝OD答案 A

→＝a，→＝b，→＝c，→＝d，

2．已知OAOBOCOD且四边形ABCD为平行四边形，则 ( )． A．a－b＋c－d＝0 C．a＋b－c－d＝0

B．a－b－c＋d＝0 D．a＋b＋c＋d＝0

→＝DC→，故AB→＋CD→＝0，即OB→－OA→＋OD→－OC→＝0，即有解析 依题意，得AB

→－OB→＋OC→－OD→＝0，则a－b＋c－d＝0.选A. OA答案 A

→＋2OC→

3．(2013·长安一中质量检测)已知平面上不共线的四点O，A，B，C.若OA→|

|BC→

＝3OB，则的值为

→|AB|1A.2

1

B.3

1D.6

( )．

1

C.4

→||BC→→→→→→

§5.1 平面向量的概念及线性运算

一、选择题

1. 已知两个非零向量a，b满足|a+b|=|a?b|，则下面结论正确的是（ ） A.a∥b B. a⊥b C.{0,1,3} D.a+b=a?b

答案 B

2．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的( )． A．充分不必要条件 C．充要条件

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

解析 若a＋b＝0，则a＝－b. ∴a∥b；

若a∥b，则a＝λb，a＋b＝0不一定成立． 答案 A

3．设P是△ABC所在平面内的一点，→BC＋→BA＝2→BP，则( )． A.→PA＋→PB＝0 C.→PB＋→PC＝0

B.→PC＋→PA＝0 D.→PA＋→PB＋→PC＝0

解析 如图，根据向量加法的几何意义，→BC＋→BA＝2→BP?P是AC的中点，

∴→PA＋→PC＝0.答案 B

4．已知向量a＝(x,2)，b＝(3，－1)，若(a＋b)∥(a－2b)，

第1节 平面向量的概念及线性运算

最新考纲 1.了解向量的实际背景；2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；3.理解向量的几何表示；4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.

知 识 梳 理

1.向量的有关概念

(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模). (2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的. (3)单位向量：长度等于1个单位的向量.

(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共线向量.规定：0与任一向量平行.

(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量. (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量. 2.向量的线性运算 向量运算 定 义 法则(或几何意义) 运算律 (1)交换律：a＋b＝b加法 求两个向量和的运算 求a与b的相反向量－减法 b的和的运算叫做a与b的差 a－b＝a＋(－b) ＋a. (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) (1)|λa|＝|λ||a|； (2)当λ＞0时，λa的方数乘 求实数λ与向量a的积向与a的方向相同；当λ的运算 ＜0时，λa的方向与a

2.3.3 平面向量的坐标运算

在平面直角坐标中， 在平面直角坐标中，向量如何用坐 标来表示？ 标来表示？

→

→

a = x i+ y j

→

→

a = ( x, y )

1.已知 a= (x1, y1) , b= (x2, y2 ) , 求 a + b 的坐标.→ →

a+ b = (x1 + x2 , y1 + y2 )

两个向量和的坐标等于这两向量相应坐标的和 .

2.已知 a = (x1, y1) , b= (x2, y2 ) ,求 a b 的坐标.→ →

a b = (x1 x2 , y1 y2 )

两个向量差的坐标等于这两向量相应坐标的差 . 3.已知 a = ( x1, y1 ) ,求 λ a 的坐标.

λ a = ( λ x1 , λ y1 )实数与向量的积的坐标等于这个实数 乘原来的向量的相应坐标 乘原来的向量的相应坐标 .

→

(1)已知向量 a = ( 2,4), b = (5,2),求 a + 3b的坐标; (2)已知向量 a = ( 4,3), b = ( 3,8),求5a 2b的坐标.

4、如图,已知点A(x1,y1),B(x2,y2),求向 如图,已知点A(x 的坐标。 量 AB 的坐标。A(x1,y1)

yB(x2,y2

2010年高考数学一轮复习精品学案（人教版A版）

平面向量的概念及运算

一．【课标要求】

（1）平面向量的实际背景及基本概念

通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示；（2）向量的线性运算

①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义；

②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义；③了解向量的线性运算性质及其几何意义.（3）平面向量的基本定理及坐标表示①了解平面向量的基本定理及其意义；②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算；④ 理解用坐标表示的平面向量共线的条件.

二．【命题走向】

本讲内容属于平面向量的基础性内容，与平面向量的数量积比较出题量较小。以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察向量的概念、向量的几何表示、向量的加减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算等。此类题难度不大，分值5~9分。

预测2010年高考：

（1）题型可能为1道选择题或1道填空题；

（2）出题的知识点可能为以平面图形为载体表达平面向量、借助基向量表达交点位置或借助向量的坐标形式表达共线等问题。

三．【要点精讲】

版权所有@津桥教育集

夫人之相与，俯仰一世，或取诸怀抱，悟言一室之内；或因寄所托，放浪形骸之外。虽趣舍万殊，静躁不同，当其欣于所遇，暂得于己，快然自足，不知老之将至。及其所之既倦，情随事迁，感慨系之矣。向之所欣，俯仰之间，已为陈迹，犹不能不以之兴怀。况修短随化，终期于尽。古人云：“死生亦大矣。”岂不痛哉！不知老之将至一作：曾不知老之将至§5.1 平面向量的概念、线性运算及平面向量的坐标表示

命题探究

答案:3

解析:解法一:∵tan α=7,α∈[0,π], ∴cos α=,sin α=∵

与

的夹角为α,

,

∴==,②

又cos∠AOB=cos(45°+α)=cos αcos 45°-sin αsin 45° =

|=|

|=1,|

|=,

∴

×-·

=|

×=-, |·|

|·cos∠AOB=-,

又∵

与

的夹角为45°,

∴=∵

=m

+n

, ,|

将其代入①②得m-n=,-m+n=1,

∴=

,①

两式相加得m+n=,

夫人之相与，俯仰一世，或取诸怀抱，悟言一室之内；或因寄所托，放浪形骸之外。虽趣舍万殊，静躁不同，当其欣于所遇，暂得于己，快然自足，不知老之将至。及其所之既倦，情随事迁，感慨系之矣。向之所欣，俯仰之间，已为陈迹，犹不能不以之兴怀。况修短随化，终期于尽。古人云：“死生

2．2.2 向量减法运算及其几何意义

学习目标 1.理解相反向量的含义，向量减法的意义及减法法则.2.掌握向量减法的几何意义.3.能熟练地进行向量的加、减运算．

知识点一 相反向量

思考 实数a的相反数为－a，向量a与－a的关系应叫做什么？ 答案 相反向量．

梳理 (1)定义：如果两个向量长度相等，而方向相反，那么称这两个向量是相反向量． (2)性质：①对于相反向量有：a＋(－a)＝(－a)＋a＝0. ②若a，b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0. ③零向量的相反向量仍是零向量． 知识点二 向量的减法

思考 根据向量减法的定义，已知a，b如图，如何作出向量a，b的差向量a－b?

答案 (1)利用平行四边形法则．

→→→→→

如图，在平面内任取一点O，作OA＝a，OB＝b，OC＝－b，以OA，OC为邻边作平行四边形OAEC， →

则OE＝a－b.

(2)利用三角形法则．

→

如图，在平面内任取一点O，作OA＝a， →

OB＝b，则BA＝a－b.

→

知识点三 |a|－|b|，|a±b|，|a|＋|b|三者的关系

思考 在三角形中有两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，结合这一性质及向量加、减法的几何意义，|a|－|b|，|a±b|，|a|＋

平面向量的概念与线性运算

知识梳理： 1. 向量的有关概念

(1).向量:既有 ,又有 的量叫向量;通常记为 ;长度为 的向量是零向量,记作: ; 的向量,叫单位向量.

(2).平行向量(或共线向量)记作: ;规定:零向量与任何向量 . (3).相等向量: (4).相反向量: 2.向量 加法与减法

(1).向量加法按 法则或 法则;

向量加运算律:交换律: ;结合律: (2).向量减法作法: 3.实数与向量的积

(1). 实数错误！未找到引用源。与向量a的积是一个向量,记作错误！未找到引用源。,它的长度与方向规定如下：

长度：

方向： (2)．运算律