高斯光束公式

第四章 高斯光束理论

一、 学习要求与重点难点 学习要求

1． 掌握高斯光束的描述参数以及传输特性； 2． 理解q参数的引入，掌握q参数的ABCD定律； 3． 掌握薄透镜对高斯光束的变换；

4． 了解高斯光束的自再现变换，及其对球面腔稳定条件的推导； 5． 理解高斯光束的聚焦和准直条件； 6． 了解谐振腔的模式匹配方法。

重点

1. 高斯光束的传输特性； 2. q参数的引入； 3. q参数的ABCD定律； 4. 薄透镜对高斯光束的变换； 5. 高斯光束的聚焦和准直条件； 6. 谐振腔的模式匹配方法。

难点

1. q参数，及其ABCD定律； 2. 薄透镜对高斯光束的变换； 3. 谐振腔的模式匹配。

二、知识点总结

2r2??2??zw(z)?振幅分布：按高斯函数e从中心向外平滑降落。光斑半径w(z)?w01?????f?? ???w2?2???0高斯光束基本性质?等相位面：以R为半径的球面，R(z)?z?1?????z?????????远场发散角：基模高斯光束强度的1点的远场发散角，??lim2w(z)?2??2?0?z??e2z?w0?f???????w（或f）及束腰位置?0?1/2?????w2(z)?2???w?w(z)?1? ????

第四章 高斯光束理论

一、 学习要求与重点难点 学习要求

1． 掌握高斯光束的描述参数以及传输特性； 2． 理解q参数的引入，掌握q参数的ABCD定律； 3． 掌握薄透镜对高斯光束的变换；

4． 了解高斯光束的自再现变换，及其对球面腔稳定条件的推导； 5． 理解高斯光束的聚焦和准直条件； 6． 了解谐振腔的模式匹配方法。

重点

1. 高斯光束的传输特性； 2. q参数的引入； 3. q参数的ABCD定律； 4. 薄透镜对高斯光束的变换； 5. 高斯光束的聚焦和准直条件； 6. 谐振腔的模式匹配方法。

难点

1. q参数，及其ABCD定律； 2. 薄透镜对高斯光束的变换； 3. 谐振腔的模式匹配。

二、知识点总结

2r2??2??zw(z)?振幅分布：按高斯函数e从中心向外平滑降落。光斑半径w(z)?w01?????f?? ???w2?2???0高斯光束基本性质?等相位面：以R为半径的球面，R(z)?z?1?????z?????????远场发散角：基模高斯光束强度的1点的远场发散角，??lim2w(z)?2??2?0?z??e2z?w0?f???????w（或f）及束腰位置?0?1/2?????w2(z)?2???w?w(z)?1? ????

一、高斯光束：

半径，是指在高斯光的横截面考察，以最大振幅处为原点，振幅下降到原点处的1/e倍的地方，由于高斯光关于原点对称，所以1/e的地方形成一个圆，该圆的半径，就是光斑在此横截面的半径；如果取束腰处的横截面来考察，此时的半径，即是束腰半径。沿着光斑前进，各处的半径的包络线是一个双曲面，该双曲面有渐近线。高斯光束的传输特性，是在远处沿传播方向成特定角度扩散，该角度即是光束的远场发散角，也就是一对渐近线的夹角。

基模高斯光束的光束发散角：θ=2 λ/π? 又因：f=πwo2/λ 所以：θ=2λ/πwo

所以说远场发散角与波长成正比，与其束腰半径成反比，故而，束腰半径越小，光斑发散越快；束腰半径越大，光斑发散越慢。 我们用感光片可以看到，在近距离时，准直器发出的光在一定范围内近似成平行光，距离稍远，光斑逐渐发散，亮点变弱变大；可是从光纤出来的光，很快就发散；这是因为，准直器的光斑直径大约有400微米，而光纤的光斑直径不到10微米。同时，对于准直器最大工作距离的定义，往往可理解为该准直器输出光斑的共焦参数，该参数与光斑束腰半径平方成正比，与波长成反比，计算式是：3.1415926*束腰半径*束腰半径/波长= f=πwo2/λ。所以要做成长工作距

B1：高斯光束传播轨迹的模拟

设计任务：

作图表示高斯光束的传播轨迹

（1）基模高斯光束在自由空间的传播轨迹； （2）基模高斯光束经单透镜变换前后的传播轨迹； （3）基模高斯光束经调焦望远镜变换前后的传播轨迹。

function varargout = B1(varargin) % B1 M-file for B1.fig

% B1, by itself, creates a new B1 or raises the existing % singleton*. %

% H = B1 returns the handle to a new B1 or the handle to % the existing singleton*. %

% B1('CALLBACK',hObject,eventData,handles,...) calls the local

% function named CALLBACK in B1.M with the given input arguments. %

% B1('Property','Value',...) creates a ne

高斯投影坐标正反算

一、基本思想：

高斯投影正算公式就是由大地坐标（L，B）求解高斯平面坐标（x，y），而高斯投影反算公式则是由高斯平面坐标（x，y）求解大地坐标（L，B）。

二、计算模型：

基本椭球参数： 椭球长半轴a 椭球扁率f

椭球短半轴：b?a(1?f)

a2?b2椭球第一偏心率 ：e?

aa2?b2椭球第二偏心率 ：e?? b高斯投影正算公式：此公式换算的精度为0.001m

x?X??NN2??sinBcosB?l?simBcos3B(5?t2?9?2?4?4)l??4242???24???

N5246??sinBcosB(61?58t?t)l720???6y?NN3223??cosB?l???cosB(1?t??)l???6???3N5242225???cosB(5?18t?t?14??58?t)l120???5

其中：角度都为弧度

B为点的纬度，l???L?L0，L为点的经度，L0为中央子午线经度；

N为子午圈曲率半径，N?a(1?esinB)； t?tanB；

22?12?2?e?2cos2B

????180??3600

其中X为子午线弧长：

1616??X?a0B?sinBcosB?(a2?a4?a6)?(2a4?a6)sin

高斯投影坐标正反算

一、相关概念

大地坐标系由大地基准面和地图投影确定，由地图投影到特定椭圆柱面后在南北两极剪开展开而成，是对地球表面的逼近，各国或地区有各自的大地基准面，我国目前主要采用的基准面为：

1.WGS84基准面，为GPS基准面，17届国际大地测量协会上推荐，椭圆柱长半轴a=6378137m，短半轴b=6356752.3142451m；

2.西安80坐标系，1975年国际大地测量协会上推荐，椭圆柱长半轴a=6378140m，短半轴b=6356755.2881575m;

3.北京54坐标系，参照前苏联克拉索夫斯基椭球体建立,椭圆柱长半轴a=6378245m, 短半轴b=6356863.018773m;

通常所说的高斯投影有三种，即投影后：

a) 角度不变（正角投影），投影后经线和纬线仍然垂直； b) 长度不变； c) 面积不变；

大地坐标一般采用高斯正角投影，即在地球球心放一点光源，地图投影到过与中央经线相切的椭圆柱面上而成；可分带投影，按中央经线经度值分带，有每6度一带或每3度一带两种(起始带中央经线经度为均为3度，即：6度带1带位置0-6度，3度带1带位置1.5-4.5 度)，即所谓的高斯-克吕格投影。

图表 11高斯投影和分带

§8.3高斯投影坐标正反算公式

任何一种投影①坐标对应关系是最主要的；②如果是正形投影，除了满足正形投影的条件外（C-R偏微分方程），还有它本身的特殊条件。 8.3.1高斯投影坐标正算公式： B,l x,y

高斯投影必须满足以下三个条件：

①中央子午线投影后为直线；②中央子午线投影后长度不变；③投影具有正形性质，即正形投影条件。

由第一条件知中央子午线东西两侧的投影必然对称于中央子午线，即(8-10)式中，x为l的偶函数，y为l的奇函数；l 30

30 ，即l /

1/20，如展开为l的级数，收敛。

x m24

6

0 m2l m4l m6l y m3

5

（8-33）

1l m3l m5l

式中

m0,m1, 是待定系数，它们都是纬度B的函数。

由第三个条件知：

xx y

q

y l, l q

(8-33)式分别对l和q求偏导数并代入上式

m1 3m24

dm0dm22

dm44

3l 5m5l

dq

dql dql 2ml3

6m5

6l

dm1 (8-34)

dq

l

dm355

2l 4m4dq

l3

dmdq

l

上两式两边相等，其必要充分条件是同次幂l前的系数应相等，即

mdm01

dq

m 1dm1

22

dq

(8-35)

m1dm2

3 3

§8.3高斯投影坐标正反算公式

任何一种投影①坐标对应关系是最主要的；②如果是正形投影，除了满足正形投影的条件外（C-R偏微分方程），还有它本身的特殊条件。 8.3.1高斯投影坐标正算公式： B,l x,y

高斯投影必须满足以下三个条件：

①中央子午线投影后为直线；②中央子午线投影后长度不变；③投影具有正形性质，即正形投影条件。

由第一条件知中央子午线东西两侧的投影必然对称于中央子午线，即(8-10)式中，x为l的偶函数，y为l的奇函数；l 3030 ，即l / 1/20，如展开为l的级数，收敛。

x m0 m2l2 m4l4 m6l6 y m1l m3l3 m5l5

（8-33）

式中m0,m1, 是待定系数，它们都是纬度B的函数。 由第三个条件知：

x y x y

, q l l q

(8-33)式分别对l和q求偏导数并代入上式

dm0dm22dm44

m1 3m3l 5m5l l l

dqdqdq

(8-34) dm33dm55dm135

2m2l 4m4l 6m6l l l l

dqdqdq

2

4

上两式两边相等，其必要充分条件是同次幂l前的系数应相等，即

61

dm0

m1

dq

1dm1

m2

2dq

1dm2

Green公式、Stokes公式、Gauss公式在专业学科中

的应用

摘要

格林（Green）公式，斯托克斯（Stokes）公式和高斯（Gauss）公式是多元函数积分学中的三个基本公式，它们分别建立了曲线积分与二重积分、曲面积分与三重积分、曲线积分和曲面积分的联系。它们建立了向量的散度与通量、旋度与环量之间的关系，除了在数学上应用于计算多元函数积分，在其他领域也有很多重要的应用。本文将主要从这三个公式与物理学之间的联系展开介绍它们的其他应用，其中包括应用于GPS面积测量仪，确定外部扰动重力场，应用于保守场以及推证阿基米德定律和高斯定理等，帮助人们加深对格林公式、斯托克斯公式和高斯公式的理解，从而能够更准确地应用此三个公式。

关键词：格林公式斯托克斯公式高斯公式散度旋度应用

目录

一、引言 ......................................... 1 二、格林（Green）公式的应用 ...................... 1

（一）格林公式的定义 .............................. 1 1、单连通区域的概念 ..................

第七节 Gauss公式与Stokes公式

一Gauss公式

Green公式建立了沿平面封闭曲线的线积分与二重积分的关系. 类似地,沿空间闭曲面的第二类曲面积分和三重积分之间也有类似的关系. 下面的Gauss公式建立了这种关系.

定理13.3(Gauss公式) 设空间区域?由分片光滑的双侧封闭曲面?所围成. 若函数

P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在?上连续, 且有一阶连续偏导数, 则

???(??P?Q?R??)dv??x?y?z??Pdydz?Qdzdx?Rdxdy

?或

???(??P?Q?R??)dv??x?y?z??(Pcos??Qcos??Rcos?)dS

?其中?是整个边界曲面的外侧, cos?,cos?,cos?是?上点(x,y,z)处的法向量的方向余弦.

证明 设闭曲面?在面xoy上的投影区域为Dxy.

?由?1,?2,?3三部分组成?1:z?z1(x,y), ?2:z?z2(x,y), ?3:是以Dxy的边界曲线为准线而

母线平行于z轴的驻面上的一部分，取外侧.

根据三重积分的计算法可得

z?2?3?1o?yz2(x,y)?R?Rdv???{?dz}dxdy ???z1(x,y)?z?z?DxyDx