1元2次方程的解法

浙教版七年级上册 第5章 一元一次方程

5.3 一元一次方程的解法 （第二课时）

古希腊数学家丢番图(约公元250年前后),被人们称为 代数学之父.对于他的生平事迹,人们知道得很少,但在一 本《希腊诗文选》中收录了他的墓志铭：

“坟中安葬着丢番图，多么令人惊讶，它忠实地纪 录了所经历的道路.上帝给予的童年占六分之一，又过十 二分之一，两颊长胡，再过七分之一，点燃起结婚的蜡 烛.五年之后天赐贵子，可怜迟到的宁馨儿，享年仅及其 父之半，便进入冰冷的墓.悲伤只有用数论的研究去弥补， 又过四年，他也走完了人生的旅途.”

问题1：你知道丢番图活了多少岁吗？ 问题2：若设丢番图活了x岁，根据墓志铭的描 述，你能列出怎样的方程呢？

上帝给予的童年占六分之一 又过十二分之一,两颊长胡 再过七分之一,点燃起结婚的蜡烛 五年之后天赐贵子 可怜迟到的宁馨儿,享年仅其父之半, 便进入冰冷的墓 又过四年,他也走完了人生的旅途

1 x 6 1 x 12 1 x 7

5

1 x 2

x

4

请你算一算， 丢番图一共活 了多少岁？

1 1 1 1 x x x 5 x 4 x 6 12 7 2

1 1 1 1 x x x 5 x 4 x 6 12 7 2

这个方程你会解吗

2012-2013学年度第一学期初一数学 导学案 主备：李海芹 审核人： 签审人： 使用时间：

导 学 案 装 订 线 《解一元一次方程（2）》导学案 学习目标： 1、在解含有括号的一元一次方程中，能够正确的去括号； 2、综合运用去括号、移项、系数化成1等知识解较复杂的一元一次方程； 3、初步体会转化的数学思想。 学习重点： 1、正确的去（括号外面含有负因数的）括号； 2、选择适当的方法解方程。 学习难点; 正确的去（括号外面含有负因数的）括号 学法指导： 自主学习，合作探究 知识链接：（2分钟） 1、等式的基本性质是什么？ 2、去括号法则是什么？ 3、上节课我们学习了移项，移项时要注意什么？ 4、解方程2x+6=1的步骤是什么？ 学习过程： 知识探究一：1、自主学习课本P128最上边的图案内容，从中你能得出哪些等量关系？（4分钟） 买果奶的钱+ = 20-3 ??????

一元二次方程的解法 一元二次方程的解法

一、知识要点：

一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是今后学习数学的基

础，应引起同学们的重视。

一元二次方程的一般形式为：ax2+bx+c=0, (a≠0)，它是只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2

的整式方程。

解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解

法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。

二、方法、例题精讲：

1、直接开平方法：

直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的

方程，其解为x=m± .

例1．解方程（1）(3x+1)2=7 （2）9x2-24x+16=11

分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=11>0，所以

此方程也可用直接开平方法解。

（1）解：(3x+1)2=7×

∴(3x+1)2=5

∴3x+1=±(注意不要丢解)

∴x=

∴原方程的解为x1=,x2=

（2）解： 9x2-24x

一元二次方程的解法 一元二次方程的解法

一、知识要点：

一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是今后学习数学的基

础，应引起同学们的重视。

一元二次方程的一般形式为：ax2+bx+c=0, (a≠0)，它是只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2

的整式方程。

解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解

法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。

二、方法、例题精讲：

1、直接开平方法：

直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的

方程，其解为x=m± .

例1．解方程（1）(3x+1)2=7 （2）9x2-24x+16=11

分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=11>0，所以

此方程也可用直接开平方法解。

（1）解：(3x+1)2=7×

∴(3x+1)2=5

∴3x+1=±(注意不要丢解)

∴x=

∴原方程的解为x1=,x2=

（2）解： 9x2-24x

课 后 小 结 课 堂 练 习 新 课 讲 解 复 习 引 入

消 元 ( ( 2 )

我们知道,可以用代入法解方程组 我们知道 可以用代入法解方程组x+y=22 2x+y=40

解的试试看! 解的试试看 回顾一下 我们解二元一次方程的基本思想是什么? 我们解二元一次方程的基本思想是什么?你够细心吗? 你够细心吗

这个方程组的两个方程中,y的系数有什么关系 利用 这个方程组的两个方程中 的系数有什么关系?利用 的系数有什么关系 这种关系你能发现新的消元方法吗? 这种关系你能发现新的消元方法吗

x+y=22 ① 2x+y=40 ② 这两个方程中未知数y的系数相同 的系数相同, 这两个方程中未知数 的系数相同 ②-①可消去未知数 ① y,得 得 x=18 代入① 把x=18代入①,得 代入 得 y=4.像这样,通过对方程组中的两个方程进行加或减的运算就 像这样 通过对方程组中的两个方程进行加或减的运算就 可以消去一个未知数,得到一个一元一次方程 得到一个一元一次方程,这种方法叫做 可以消去一个未知数 得到一个一元一次方程 这种方法叫做 加减消元法,简称加减法. 简称加减法 加减消元法 简称加减法

①-②也能消去 ② 未知数y,求得 未知数 求

课 后 小 结 课 堂 练 习 新 课 讲 解 复 习 引 入

消 元 ( ( 2 )

我们知道,可以用代入法解方程组 我们知道 可以用代入法解方程组x+y=22 2x+y=40

解的试试看! 解的试试看 回顾一下 我们解二元一次方程的基本思想是什么? 我们解二元一次方程的基本思想是什么?你够细心吗? 你够细心吗

这个方程组的两个方程中,y的系数有什么关系 利用 这个方程组的两个方程中 的系数有什么关系?利用 的系数有什么关系 这种关系你能发现新的消元方法吗? 这种关系你能发现新的消元方法吗

x+y=22 ① 2x+y=40 ② 这两个方程中未知数y的系数相同 的系数相同, 这两个方程中未知数 的系数相同 ②-①可消去未知数 ① y,得 得 x=18 代入① 把x=18代入①,得 代入 得 y=4.像这样,通过对方程组中的两个方程进行加或减的运算就 像这样 通过对方程组中的两个方程进行加或减的运算就 可以消去一个未知数,得到一个一元一次方程 得到一个一元一次方程,这种方法叫做 可以消去一个未知数 得到一个一元一次方程 这种方法叫做 加减消元法,简称加减法. 简称加减法 加减消元法 简称加减法

①-②也能消去 ② 未知数y,求得 未知数 求

21.6（2）二元二次方程组的解法

教学目标

1、掌握用“因式分解法”解由两个二元二次方程组成的方程组；

2、在学习过程中体会解此类特殊二元二次方程组的基本思路是“降次”；

3、通过对二元二次方程组解法的剖析，领悟事物间可以相互转化的数学思想； 教学重点及难点

会用“因式分解法”解由两个二元二次方程组成的方程组；

正确分析方程组的特点，从而找到合理的解法．

教学媒体：多媒体

教学过程设计

一、 复习引入

我们已经会用代入消元法解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组

x 3y 4练习：解方程组： 2 2x 2y 1

这节课我们将学习由两个二元二次方程组成的二元二次方程组的解法.

二、学习新课

22 x 3xy 2y=0 (1)1、观察：方程组 2 2 x y 5 (2)

（1）能直接使用“代入消元法”解答吗？

（2）方程组中的两个方程有什么特点？

学生思考作答，教师进行指导和补充.

【说明】前一节课有对特殊方程进行因式分解的例子，所以在直接用“代入法”解决未果的情况下，学生会想到将方程（1）进行因式分解，但后面的操作就需要教师的指导和教授了.

解：将（1）左边分解因式，可变形为 x y x 2

一元一次方程和它的解法

作者：佚名 点击数：

2074 2006-8-14 来源:初中生同步辅导网

?

学习目标

1．了解一元一次方程的概念，灵活运用等式的基本性质和移项法则解一元一次方程，会对方程

的解进行检验；

2．通过对一元一次方程的解法步骤的灵活运用，培养学生的运算能力； 3．通过解方程的教学，了解“未知”可以转化为“已知”的思想．

知识讲解

一、重点、难点分析

本节的重点是移项法则，一元一次方程的概念及其解法，难点是对一元一次方程解法步骤的灵活运用．掌握移项要变号和去分母、去括号的方法是正确地解一元一次方程的关键．学习中应注意

以下几点： 1．关于移项．

方程中的任何一项都可以在改变符号后，从方程的一边移到另一边，即可以把方程右边的项改变符号后移到方程的左边．也可以把方程左边的项改变符号后移到方程的右边．移项中常犯的错误是忘记变号．还要注意移项与在方程的一边交换两项的位置有本质的区别．如果等号同一边的项的位置发生变化，这些项不变号，因为改变某一项在多项式中的排列顺序，是以加法交换律与给合律为根据的一种变形，但如果把某些项从等号的一边移到另一边时，这些项都要变号．

2．关于去分母

去分母就是根据等式性质2

用配方法解一般形式的一元二次方程

ax + bx + c = 02

解: 把方程两边都除以 a 移项，得 移项，

b c x + x+ =0 a a b c 2 x + x= a a2

配方， 配方，得

b b c b x + x+ = + a a 2a 2a 2

2

2

即

b b2 4ac x + 2a = 4a 2 2

用配方法解一般形式的一元二次方程

ax + bx + c = 02

当 b2 + 4ac ≥ 0 时 Q 4a > 0 ∴2

b b 4ac x+ =± 2a 4a 22

特别提醒

即

b b 4ac x+ = ± 2a 2a2

b ± b 4ac ∴ x= 2a2

一元二次方程的 求根公式

b ± b 2 4ac x= 2a

解方程： 例 1 解方程： x 7 x 18 = 02

解： 这里 a = 1 b = 7 c = 18

Q b 4ac =( 7 4 × 1 × 18 = 121 ) ( )2 2

7 ± 121 7 ± 11 ∴ x= = 2×1

用配方法解一般形式的一元二次方程

ax + bx + c = 02

解: 把方程两边都除以 a 移项，得 移项，

b c x + x+ =0 a a b c 2 x + x= a a2

配方， 配方，得

b b c b x + x+ = + a a 2a 2a 2

2

2

即

b b2 4ac x + 2a = 4a 2 2

用配方法解一般形式的一元二次方程

ax + bx + c = 02

当 b2 + 4ac ≥ 0 时 Q 4a > 0 ∴2

b b 4ac x+ =± 2a 4a 22

特别提醒

即

b b 4ac x+ = ± 2a 2a2

b ± b 4ac ∴ x= 2a2

一元二次方程的 求根公式

b ± b 2 4ac x= 2a

解方程： 例 1 解方程： x 7 x 18 = 02

解： 这里 a = 1 b = 7 c = 18

Q b 4ac =( 7 4 × 1 × 18 = 121 ) ( )2 2

7 ± 121 7 ± 11 ∴ x= = 2×1