数学建模与竞赛案例选讲答案

数学建模常用软件选讲

第3章 lingo的使用

LINGO是Linear Interactive and General Optimizer的缩写，即“交互式的线性和通用优化求解器”，由美国LINDO系统公司（Lindo System Inc.）推出的，可以用于求解非线性规划，也可以用于一些线性和非线性方程组的求解等，功能十分强大，是求解优化模型的最佳选择。其特色在于内置建模语言，提供十几个内部函数，可以允许决策变量是整数(即整数规划，包括 0-1 整数规划)，方便灵活，而且执行速度非常快。

3.1 Lingo程序特点：

（1）目标函数必须由“min =”或“max =”开头； （2）每条语句后必须使用分号“；”结束。 （3）变量与其系数间要有乘号。 3.2 线性规划问题

例 如何在LINGO中求解如下的LP问题：

mins.t.2x1?3x2x1?x2?350x1?1002x1?x2?600x1,x2?0

在模型窗口中输入如下代码： min=2*x1+3*x2; x1+x2>=350; x1>=100; 2*x1+x2<=600;

然后点击工具条上的按钮 即可。

3.3 二次规划问题

目标函数是二次函数，约束条件是线性的规划问题 例如：

高中数学竞赛讲座2

2数学方法选讲（2）

四、从反面考虑

解数学题，需要正确的思路。对于很多数学问题，通常采用正面求解的思路，即从条件出发，求得结论。但是，如果直接从正面不易找到解题思路时，则可改变思维的方向，即从结论入手或从条件及结论的反面进行思考，从而使问题得到解决。 1．某次数学测验一共出了10道题，评分方法如下：

每答对一题得4分，不答题得0分，答错一题倒扣1分，每个考生预先给10分作为基础分。问：此次测验至多有多少种不同的分数？

2．一支队伍的人数是5的倍数，且超过1000人。若按每排4人编队，则最后差3人；若按每排3人编队，则最后差2人；若按每排2人编队，则最后差1人。问：这支队伍至少有多少人？

3．在八边形的8个顶点上是否可以分别记上数1，2，?，8，使得任意三个相邻的顶点上的数的和大于13？

4．有一个1000位的数，它由888个1和112个0组成，这个数是否可能是一个平方数？

五、从特殊情况考虑

对于一个一般性的问题，如果觉得难以入手，那么我们可以

先考虑它的某些特殊情况，从而获得解决的途径，使问题得以“突破”，这种方法称为特殊化。

对问题的特殊情况进行研究，一方面是因为研究特殊情况比研究

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初中数学竞赛专题选讲

线段、角的相等关系

一、内容提要

证明线段、角的相等，在直线形中，最常用的方法是找全等三角形或等腰三角形，若没有现成的，则要引辅助线，构造全等三角形或等腰三角形。

构造全等三角形，要充分利用已知条件中的对应相等关系，添引辅助线要有利于增加对应相等的元素，要注意总结辅助线的规律，观察两个三角形全等时的一般位置特点（如翻转、旋转、平移等）

一. 证明两条线段相等常用的定理

1. 在同一个三角形中，证明等角对等边。 2. 在两个三角形中，证明全等。

3. 在平行线图形中①应用平行四边形的性质

②用平行线等分线段定理 4.运用比例式证明相等：若

xyxy? 则x=y；若?则x=y

yxaa5.应用等量代换、等式性质

二.证明两个角相等常用的定理

1. 在同一个三角形中，证明等边对等角。 2. 在两个三角形中，证明全等或相似。 3.在平行线图形中

① 用平行四边形的对角相等

② 行线的同位角相等，内错角相等

③ 边分别互相平行（或垂直）的两个锐角（或两个钝角）相等 ④ 角（或等角）的余角（或补角）相等 ⑤ 用等量代换、等式性质

二、例题

例1.

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初中数学竞赛专题选讲

线段、角的相等关系

一、内容提要

证明线段、角的相等，在直线形中，最常用的方法是找全等三角形或等腰三角形，若没有现成的，则要引辅助线，构造全等三角形或等腰三角形。

构造全等三角形，要充分利用已知条件中的对应相等关系，添引辅助线要有利于增加对应相等的元素，要注意总结辅助线的规律，观察两个三角形全等时的一般位置特点（如翻转、旋转、平移等）

一. 证明两条线段相等常用的定理

1. 在同一个三角形中，证明等角对等边。 2. 在两个三角形中，证明全等。

3. 在平行线图形中①应用平行四边形的性质

②用平行线等分线段定理 4.运用比例式证明相等：若

xyxy? 则x=y；若?则x=y

yxaa5.应用等量代换、等式性质

二.证明两个角相等常用的定理

1. 在同一个三角形中，证明等边对等角。 2. 在两个三角形中，证明全等或相似。 3.在平行线图形中

① 用平行四边形的对角相等

② 行线的同位角相等，内错角相等

③ 边分别互相平行（或垂直）的两个锐角（或两个钝角）相等 ④ 角（或等角）的余角（或补角）相等 ⑤ 用等量代换、等式性质

二、例题

例1.

高三数学竞赛讲座 －应用题选讲

应用题联系实际，生动地反映了现实世界的数量关系，能否从具体问题中归纳出数量关系，反映了一个人分析问题、解决问题的实际能力.

列方程解应用题，一般应有审题、设未知元、列解方程、检验、作结论等几个步骤.下面从几个不同的侧面选讲一部分竞赛题，体现解应用题的技能和技巧. 1.合理选择未知元

例1 .某人骑自行车从A地先以每小时12千米的速度下坡后，以每小时9千米的速度走平路到B地，共用55分钟.回来时，他以每小时8千米的速度通过平路后，以每小时4千米的速度上坡，从B地到A地共用

例2 .若一商人进货价便谊8%，而售价保持不变，那么他的利润（按进货价而定）可由目前的x%增加到(x+10)%，x等于多少？

小时，求A、B两地相距多少千米？

例3 在三点和四点之间，时钟上的分针和时针在什么时候重合？

例4.从两个重为m千克和n千克，且含铜百分数不同的合金上，切下重量相等的两块，把所切下的每一块和另一种剩余的合金加在一起熔炼后，两者的含铜百分数相等，问切下的重量是多少千克？

2.多元方程和多元方程组

例5 .A、B、C三人各有豆若干粒，要求互相

2016年周口师范学院第四届数学建模竞赛题目

（请先阅读“数学建模竞赛论文格式规范”）

A题 养老金发放问题

伴随着我国老龄化程度不断提高，老年人在我国人口中所占的比例越来越高，我国已经步入了老龄化社会。老龄化人口的增多对我国现行的社会保障制度带来了严峻的挑战，为应对这种挑战，备受关注的延迟退休年龄政策的步伐渐行渐明朗。党的十八届三中全会已敲定：实行渐进式延长退休年龄，直至达到65岁退休。在新的制度下大家对退休后的养老金能否满足生活需求存在疑问。

问题1：收集关于养老金发放的相关政策建立不同人群养老金发放数量的数学模型；部分企事业单位为提高岗位竞争力，为职工建立职业年金（职业年金是退休金的补充），建立含有企业年金的养老金发放数学模型；

问题2：收集周口市养老金发放相关资料，使用问题1建立的数学模型计算不同人群的养老金发放数量。

参考资料：

【1】周口市统计局网：http://www.zktj.gov.cn/； 【2】周口统计年鉴等。

2016年周口师范学院第四届数学建模竞赛题目

（请先阅读“数学建模竞赛论文格式规范”）

B题 周口市区住宅价格问题

随着周口市城市化进程的推进，城市住宅投资规模不断扩大，住宅销售面积逐年增加，住宅价格下

2016年周口师范学院第四届数学建模竞赛题目

（请先阅读“数学建模竞赛论文格式规范”）

A题 养老金发放问题

伴随着我国老龄化程度不断提高，老年人在我国人口中所占的比例越来越高，我国已经步入了老龄化社会。老龄化人口的增多对我国现行的社会保障制度带来了严峻的挑战，为应对这种挑战，备受关注的延迟退休年龄政策的步伐渐行渐明朗。党的十八届三中全会已敲定：实行渐进式延长退休年龄，直至达到65岁退休。在新的制度下大家对退休后的养老金能否满足生活需求存在疑问。

问题1：收集关于养老金发放的相关政策建立不同人群养老金发放数量的数学模型；部分企事业单位为提高岗位竞争力，为职工建立职业年金（职业年金是退休金的补充），建立含有企业年金的养老金发放数学模型；

问题2：收集周口市养老金发放相关资料，使用问题1建立的数学模型计算不同人群的养老金发放数量。

参考资料：

【1】周口市统计局网：http://www.zktj.gov.cn/； 【2】周口统计年鉴等。

2016年周口师范学院第四届数学建模竞赛题目

（请先阅读“数学建模竞赛论文格式规范”）

B题 周口市区住宅价格问题

随着周口市城市化进程的推进，城市住宅投资规模不断扩大，住宅销售面积逐年增加，住宅价格下

数学建模竞赛新手教程 向为¤

（国防科技大学，湖南长沙410073） 1 数学建模竞赛是什么？

路漫漫其修远兮，吾将上下而求索

数学建模竞赛，就是在每年叶子黄的时候（长沙的树叶好像一年到头都是绿的）开始的一项数学应

用题比赛。大家都做过数学应用题吧，不知道现在的教育改革了没有，如果没有大变化，大家都应该做

过。比如说，树上有十只鸟，开枪打死一只，还剩几只，这样的问题就是一道数学应用题（应该是小学生

的吧）。正确答案应该是9 只，是吧？这样的题照样是数学建模题，不过答案就不重要了，重要的是过程。 真正的数学建模高手应该这样回答这道题。 “树上有十只鸟，开枪打死一只，还剩几只？” “是无声手枪或别的无声的枪吗？” “不是。” “枪声有多大？” “80－100 分贝。”

“那就是说会震的耳朵疼？” “是。”

“在这个城市里打鸟犯不犯法？”

“不犯。”

“您确定那只鸟真的被打死啦？” “确定。”

“OK，树上的鸟里有没有聋子？” “没有。”

“有没有关在笼子里的？” “没有。”

“边上还有没有其他的树，树上还有没有其他鸟？” “没有。”

“有没有残疾的或饿的飞不动的鸟？” “没有。”

“算不算怀孕肚子里的小鸟y？” “不算。”

“打鸟的人眼有没有花？

数学建模竞赛时间汇总（仅供参考）

国家竞赛：

?

全国大学生数学建模竞赛

每年9月(一般在中旬某个周末的星期五至下周星期一共3天，72小时）举行

?

全国研究生数学建模竞赛

（从9月24日上午8时开始，至9月28日中午12时结束。

竞赛报名时间顺延至9月18日。）

?

数学中国数学建模挑战赛

数学中国数学建模网络挑战赛于4月-6月举行，竞赛分为“建模基础”及“模型改进、应用”两个阶段进行，第一阶段比赛于4月22日-4月25日进行，第二阶段比赛于5月20日-23日进行。

?

美国大学生数学建模竞赛

美国大学生数学建模竞赛将于：2012年2月9号晚上8:01分（美国东部时间）——2012年2月13号晚上8:00（美国东部时间）举行!(注明：北京时间2012年2月10日早上9：01分——2012年2月14日早上9:00截止)

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全国大学生电工建模竞赛

两年一次，竞赛于11月下旬

地区赛：

?

华东数学建模邀请赛

报名时间：3月21日—4月30日，各校组织报名；

比赛时间：5月4日—5月10日，正式比赛为三个题目，选做一个； 收题时间：5月11日，各校完成答卷回收工作。

? ? ?

苏北数学建模联盟赛 东北三省数学建模联赛 华中数学建模联盟赛

函数集训试题

一、考察函数的概念与性质

１（2010山东文数）（5）设f(x)为定义在R上的奇函数，当x?0时，f(x)?2x?2x?b（b为常数），则f(?1)?

（A）-3 （B）-1 （C）1 (D)3

２（2010山东文数）(3)函数f?x??log2?3x?1?的值域为

A. ?0,??? B. ??0,??? C. ?1,??? D. ??1,???

３（2010安徽文数）（7）设a?（）,b?（），c?（），则a，b，c的大小关系是

555555322322（A）a＞c＞b （B）a＞b＞c （C）c＞a＞b （D）b＞c＞a ４（2010重庆理数）(5) 函数f?x??4?12xx的图象

A. 关于原点对称 B. 关于直线y=x对称 C. 关于x轴对称 D. 关于y轴对称 ５（2010江西理数）9．给出下列三个命题： ①函数y?12ln1?cosx1?cosxx2与y?lntan是同一函数；

y?x对称，则函数

②若函数y?fy?f?2x?与y??x?与y?g?x?的图