高一数学函数单调性和奇偶性

1、函数y?x0?x?1的定义域是 2?x22、函数f(x)?的定义域是

1?xx?1x?2, g?x??，则f?x??g?x?= x?2x?1??x?1(x?0)?4、函数f(x)??0(x?0)，则f{f[f(3)]}=

?x?1(x?0)?3、设函数f?x??5、f(x)?(x?1)6、f(x)?1?x是（奇、偶） 函数 1?xx2?11?x2是（奇、偶） 函数

7、如果f?x?是定义在??3,3?上的偶函数，且当0?x?3时，f?x?的 图像如图所示，则不等式f?x??0的解是 。

8.若f（x）是奇函数,方程f(x)=0有5个根，求5根之和___________.

9.已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)?g(x)?x2?2x?3，则f(x)?g(x)? 10.下面命题是真命题的是

①“函数f(x)的定义域关于原点对称”是“f(x)具有奇偶性”的充分不必要条件 ②偶函

抽象函数的单调性和奇偶性应用

抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式的函数。它是高中数学中的一个难点，因为抽象，解题时思维常常受阻，思路难以展开，而高考中会出现这一题型，本文对抽象函数的单调性和奇偶性问题进行了整理、归类，大概有以下几种题型： 一、判断单调性和奇偶性

1. 判断单调性

根据函数的奇偶性、单调性等有关性质，画出函数的示意图，以形助数，问题迅速获解。

y 么f(x)在区间[?7，?3]上是

5 A. 增函数且最小值为?5 B. 增函数且最大值为?5 O C. 减函数且最小值为?5 D. 减函数且最大值为?5 -7 -3 3 7 x 分析：画出满足题意的示意图，易知选B。 -5 例1．如果奇函数f(x)在区间[3，7]上是增函数且有最小值为5，那

例2．偶函数f(x)在(0，??)上是减函数，问f(x)在(??，0)上是增函数还是减函数，并

高一数学函 数 练 习 题

一、

求函数的定义域 1、 求下列函数的定义域：

x2?2x?15x?12 ⑵y?1?() ⑶y?x?3?3x?1⑴y?11?1x?1?(2x?1)0?4?x2 （4）

y?23?x （5）

y?0.71x （6）

3x?1y?32x?1 （7）求函数f(x)?1?3x?1的定义域函数y?()

12的定义域 ，y?2x?4的定义域 。

2、设函数f(x)的定义域为[0，1]，则函数f(x)的定义域为_ _ _；函数f(x?2)的定义域为________； 3、若函数f(x?1)的定义域为[?2，则函数f(2x?1)的定义域是 ；函数f(?2)的定义域为 。 3]，4、 知函数f(x)的定义域为[?1, 1]，且函数F(x)?f(x?m)?f(x?m)的定义域存在，求实数m的取值范围。

21x二、求函数的值域

5、求下列函数的值域：

⑴y?x2?2x?3 (x?R) ⑵y?x2?2x?3 x?[1,2] ⑶y?3x?13x?1 ⑷y? (x?5) x?1x?

江苏省泗阳中学高一数学奥赛辅导材料一 编写人：施传庚 2009-11-1

第一讲 函数的单调性与

奇偶性

知识点金 1．单调性

⑴单调性的定义：对于给定区间上的函数f(x)，①如果对于属于这个区间的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1) ＜f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数；②如果对于属于这个区间的任意

江苏省泗阳中学高一数学奥赛辅导材料一 2 编写人：施传庚 2009-11-1

两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．

⑵证明函数单调性的方法：①定义法；②利用已知函数的单调性；③利用函数的图象；④依据符合函数单调性有关结论；⑤为增函数，

f(x1)?f(x2)?0?f(x)x1?x2f(x1)?f(x2)?0?f(x)x1?x2为减函数；⑥求导

法．

江苏省泗阳中学高一数学奥赛辅导材料一 3 编写人：施传庚 2009-11-1

⑶单调性的有关性质：

①若函数y=f(x)和y=g(x)在公共区间D内都是增(减)

一、问题的提出 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,但给出了函数满足的一部分性质或运算法则.由于此类函数问题既能全面地考查学生对函数概念的理解及性质的应用、推理和论证能力,又能综合考查学生对数学符号语言的理解和接受能力,体现了函数与方程、数形结合、一般与特殊等重要的数学思想,所以倍受命题者的青睐.

二、问题的探源 由于抽象型函只是给出一些特殊条件的函数问题,比较抽象,学生难以理解,接受困难；教材又没有讲解处理,因此,这类问题时常困惑着不少师生.但是这类问题对于发展学生的思维能力,进行数学思想方法的渗透,培养学生的创新思想,提高学生的数学素质,有着重要作用.为此,本文就这类问题的解题思路及方法谈点看法. 1.利用特殊模型的解题思想

在中学函数部分教材中可以找到一些抽象型函数的特殊模型（列表如下）,

特殊函数模型与抽象函数对照一览表

特殊函数模型 正比例函数f(x)=kx (k≠0) 抽象函数 f(x+y)=f(x) + f(y) （x、y∈R） xf(x)f(xy)=f(x)f(y) (x、y∈R) ;f ( )= (x、y∈yf(y)R,y≠0) f(x+y)=f(x)f(y), (x、y∈R) ;f(x-y)=R,f(y)≠

函数的奇偶性例题分析

例1 )证明

f(x) x

1x

在（0,1）上是减函数

证明：(1)设0

x1 x2 1,

11111) (x2 ) (x1 x2) ( ) (1 )(x1 x2) x1x2x1x2x1x2

1

x) 0 f(x0,f1(x )f2(1) f(x2) 即

x1x2

则

f(x1) f(x2) (x1

0 x1 x2 1 x1 x2 0,1

f(x)在（0,1）上是减函数

例 判断下列函数是否具有奇偶性 (1)(5)

f(x) x3 2x (2)f(x) 2x4 3x2 (3)f(x) x3 x2 (4)f(x) 0

f(x) (6)f(x) xn x n(n Z)

f(x) (x (8)

(7)

f(x) (1 x)3 3(1 x2) 2

(9)

1 x2,x 0 f(x) 0

x2 1,x 0

:(1)

函

数

的

定

义

域

3

解为R，关

3x 2

于原点对称。当

x R

时，

f( x) (3 x) 2x (

)x

x( ，所以x2 f(x))f x3x (2x是奇函数)

(2).定义域R关于原点对称，且x R时，

f( x) 2( x)4 3( x)2 2x4 3x2 f(x)

f(x) 2x4 3x2是偶函数.

(3)定义域

函数的奇偶性例题分析

例1 )证明

f(x) x

1x

在（0,1）上是减函数

证明：(1)设0

x1 x2 1,

11111) (x2 ) (x1 x2) ( ) (1 )(x1 x2) x1x2x1x2x1x2

1

x) 0 f(x0,f1(x )f2(1) f(x2) 即

x1x2

则

f(x1) f(x2) (x1

0 x1 x2 1 x1 x2 0,1

f(x)在（0,1）上是减函数

例 判断下列函数是否具有奇偶性 (1)(5)

f(x) x3 2x (2)f(x) 2x4 3x2 (3)f(x) x3 x2 (4)f(x) 0

f(x) (6)f(x) xn x n(n Z)

f(x) (x (8)

(7)

f(x) (1 x)3 3(1 x2) 2

(9)

1 x2,x 0 f(x) 0

x2 1,x 0

:(1)

函

数

的

定

义

域

3

解为R，关

3x 2

于原点对称。当

x R

时，

f( x) (3 x) 2x (

)x

x( ，所以x2 f(x))f x3x (2x是奇函数)

(2).定义域R关于原点对称，且x R时，

f( x) 2( x)4 3( x)2 2x4 3x2 f(x)

f(x) 2x4 3x2是偶函数.

(3)定义域

教学部专用

知 胜 教 育 个 性 化 教 学 专 用 教 案 学生姓名： 备课时间： 年 月 日 授课时间： 年 月 日 至 科目：数学 讲次：第 讲 高一年级 授课教师：周老师 上课后，学生签字： 年 月 日 教学类型： ■强化基础型 □引导思路型 ■错题讲析型 □督导训练型 □效率提升型 □单元测评型 □综合测评型 □应试指导型 □专题总结型 □其它： 教学目标：集合，函数的奇偶性，单调性总结。 集合 1、集合的含义：集合为一些确定的、不同的对象的全体。 2、集合的中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性。 3、集合的表示： （1）用大写字母表示集合：A,B? （2）集合的表示方法： a、列举法：将集合中的元素一一列举出来 {a

难点7 奇偶性与单调性(一)

函数的单调性、奇偶性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样.本节主要帮助考生深刻理解奇偶性、单调性的定义，掌握判定方法，正确认识单调函数与奇偶函数的图象.

●难点磁场

exa?(★★★★)设a>0,f(x)=是R上的偶函数，(1)求a的值；(2)证明： f(x)在(0，+aex∞)上是增函数.

●案例探究

［例1］已知函数f(x)在(－1，1)上有定义，f(意x、y∈(－1,1)都有f(x)+f(y)=f(

1)=－1,当且仅当0

命题意图：本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力.属★★★★题目.

知识依托：奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想.

错解分析：本题对思维能力要求较高，如果“赋值”不够准确，运算技能不过关，结果很难获得.

技巧与方法：对于(1)，获得f(0)的值进而取x=－y是解题关键；对于(2)，判定的范围是焦点.

证明：(1)由f(x)+f(y)=f(

x2?x11?x1x2x?xx?y),令x=y=0,得f(0)=0,令y=－x,得f(x)+f(－x)=f()=f(0)=0.1?xy1?x2∴f(x)=－f(－x).∴f(x)为奇函数.

(2)先证f(x)在(0，1)

函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性

湖南祁阳四中 何双桥整理 一、函数的单调性 1.单调性的定义 一般地，设函数

f(x)的定义域为I：

如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量值x1、x2，当x1?x2时，都有

f(x1)?f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数，区间D我们称为函数f(x)的

单调增区间；

如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量值x1、x2，当x1?x2时，都有

f(x1)?f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数，区间D我们称为函数f(x)的

单调减区间。

2.单调函数与严格单调函数 设

f(x)为定义在I上的函数，若对任何x1,x2?I，当x1?x2时，总有

特别当且仅当严格不等式f(x1)?f(x2)成f(x)为I上的增函数，

(ⅰ) f(x1)?f(x2)，则称立时称

f(x)为I上的严格单调递增函数。

特别当且仅当严格不等式f(x1)?f(x2)成f(x)为I上的减函数，

(ⅱ) f(x1)?f(x2)，则称立时称

f(x)为I上的严格单调递减函数。

2.函数单调的充要条件 ★若

f(x)为区间I上的单调递增函数，x1、x2为区间内两