近世代数教学大纲

《近世代数》课程教学大纲

2011年制订，2014年修订

课程代码：031209

课程名称：近世代数/Modern Algebra 课程类别：专业主干课 开设学期：第六学期

开课单位：数学与计算机应用学院应用数学系 开课对象：数学与应用数学专业三年级 先修课程：高等代数

课 时：54学时，其中讲授48学时

选定教材：近世代数初步（第二版），石生明，北京，高等教育出版社，2006。 参 考 书：近世代数，熊全淹，武汉，武汉大学出版社，2004。

抽象代数学，谢邦杰，上海，上海科学技术出版社，1982。

近世代数，杨子胥，北京，北京师范大学出版社，2011。

课程概述：近世代数是以讨论代数系统的性质与结构为中心的一门学科，它是高等代数的延续，是现代数学的重要分支之一，是进入数学王国的必经之路，是培养学生严密的逻辑思维能力的重要课程之一。本课程的思想和方法已经渗透到数学的许多分支，形成新的数学领域。它的结果也已经应用到科学技术的许多领域（如计算机科学、理论物理、理论化学等）。

教学要求：通过教学使学生了解近世代数的基本概念和理论，掌握研究代数结构的一般方法，培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力，能为以后的代数学习或其他数学领域

陕西广播电视大学开放教育本科数学与应用数学专业

《近世代数》课程教学大纲

第一部分 大纲说明

一、课程的作用与任务

“近世代数”课程是陕西广播电视大学数学与应用数学专业的一门必修课。近世代数是现代数学的重要组成部分，它不仅在数学的其他分支而且在计算机科学及工程技术领域中有着广泛的应用。通过本课程的学习使学生系统掌握近世代数课程的基本概念、理论与方法并培养学生进行严格的逻辑推理及抽象思维的能力。

二、课程的目的与要求

开设本课程，主要是使学生在学习与掌握近世代数课程的基本概念、理论与方法上，对于学生建立良好的数学基础及学习其它课程有所帮助，并培养学生进行严格的逻辑推理及抽象思维的能力。

三、课程的教学要求层次

教学要求层次：有关定义、定理、性质等概念的内容按“知道、了解、理解”三个层次要求；有关计算、解法、公式和法则按“会、掌握、熟练掌握”三个层次要求。

第二部分 学时、教材与教学安排

一、学时分配

本课程共4学分，讲授72学时（包括习题课），学时分配如下：

第一章 基本概念 8学时 第二章 群论 20学时 第三章 环与域 18学时 第四章 整环里

近世代数复习

一、单项选择题(20分)

1、下面的代数系统（G，*）中，（ ）不是群。

A. G为整数集合，*为加法 B. G为偶数集合，*为加法 C.G为有理数集合，*为加法 D. G为有理数集合，*为乘法 2、设A={所有实数}，A的代数运算a?b=a+2b（ ） A.适合结合律但不适合交换律；B.不适合结合律但适合交换律； C.既适合结合律又适合交换律；D.既不适合结合律又不适合交换律 3、在整数加群Z中，不包含15Z的子群是（ ）。 (A) 3Z (B) 5Z (C) 3Z或5Z （D）13Z 4. 设a,b,c和x都是群G中的元素且xa?bxc,acx?xac，那么

2?1x?（ ）

A. bc?1a?1； B.c?1a?1； C.a?1bc?1； D.b?1ca。

5、设G＝Z，对G规定运算o，下列规定中只有（ ）构成群。 (A) aob=a+b-2 (B) aob=a? b 数的乘法）

6、设H

(B) ab1∈H (C) a1b∈H

－

－

(C) aob=2? a+3?

安徽大学2008—2009学年第一学期 《近世代数》考试试卷（B卷）

一、分析判断题（请判断下列命题对错，并简要说明理由） 1、模n的同余关系是一个等价关系．

2、整数集Z对于普通的数的乘法作成一个群． 3、?x?是Z[x]的一个极大理想．

4、在同态映射下，正规子群的象是正规子群． 5、数域F上的多项式环F[x]是一个欧氏环． 二、计算分析题

1、设两个六次置换：??(134652)，??(1235)(46)计算：??，?2?，????1． 2、求剩余类环Z12的所有可逆元和所有子环． 3、在Z8中计算：([4]x3?[3]x?[2])([5]x2?x?[3]) 三、举例题（对下列的各种情形，请各举一例） 1、环的素理想而非极大理想；

2、环和其一个子环均有单位元，但二者不相等； 3、正规子群的正规子群不是原来群的正规子群． 四、证明题（本题共6小题，每小题10分，共60分） 1、证明在一个有限群中：

1) 阶数大于2的元素的个数一定是偶数；

2) 偶数阶群里阶等于2的元素个数一定是奇数． 2、设H?G，证明：对?a?G,aHa?1?G且aHa?1?H．

????a2b??a,b?数域F3、证明：对集合R????关于普通的矩阵的加法和乘法

练 习 题

第一次作业

1、设A={x| x?R, |x|?5},B={x|x?R, -6?x<0}.求A?B，A?B，A?B，B?A。 2、设A，B是U的子集，规定A+B=(A?B)?(B?A)。证明： (1) A+B=B+A (2) A+?=A (3) A+A=?。

3、求下列集合的所有子集： (1) A={a, b, ?} (2) B={?} (3) C={1}

4、设f：A?B和g：B?C是映射，证明： (1) 如果f和g是单射，则gf是单射 (2) 如果f和g是满射，则gf是满射 (3) 如果gf是单射，则f是单射 (4) 如果gf是满射，则g是满射.

5、对于下面给出的整数集Z到整数集Z的映射f, g ,h: f: x?3x g: x?3x+1 h: x?3x+2 (1) 计算fg, gf, gh, hg, fgh (2) 分别求f, g, h的一个左逆映射 (3) 求f, g, h的一个共同的左逆映射

(4) 求f, g的一个共同的左逆映射，但不是h的左逆映射。 6、设R是实数集合，在R?R上规定二元关系“~”为：

（a, b）~ (c, d)?a+d=b+c

证明“~”是R上的一个等价关系。

7、设A={a, b, c, d, e}, S={{a},{b},{c, d, e}},求A上的一个等价关

近世代数复习

一、单项选择题(20分)

1、下面的代数系统（G，*）中，（ ）不是群。

A. G为整数集合，*为加法 B. G为偶数集合，*为加法 C.G为有理数集合，*为加法 D. G为有理数集合，*为乘法 2、设A={所有实数}，A的代数运算a?b=a+2b（ ） A.适合结合律但不适合交换律；B.不适合结合律但适合交换律； C.既适合结合律又适合交换律；D.既不适合结合律又不适合交换律 3、在整数加群Z中，不包含15Z的子群是（ ）。 (A) 3Z (B) 5Z (C) 3Z或5Z （D）13Z 4. 设a,b,c和x都是群G中的元素且xa?bxc,acx?xac，那么

2?1x?（ ）

A. bc?1a?1； B.c?1a?1； C.a?1bc?1； D.b?1ca。

5、设G＝Z，对G规定运算o，下列规定中只有（ ）构成群。 (A) aob=a+b-2 (B) aob=a? b 数的乘法）

6、设H

(B) ab1∈H (C) a1b∈H

－

－

(C) aob=2? a+3?

练 习 题

第一次作业

1、设A={x| x?R, |x|?5},B={x|x?R, -6?x<0}.求A?B，A?B，A?B，B?A。 2、设A，B是U的子集，规定A+B=(A?B)?(B?A)。证明： (1) A+B=B+A (2) A+?=A (3) A+A=?。

3、求下列集合的所有子集： (1) A={a, b, ?} (2) B={?} (3) C={1}

4、设f：A?B和g：B?C是映射，证明： (1) 如果f和g是单射，则gf是单射 (2) 如果f和g是满射，则gf是满射 (3) 如果gf是单射，则f是单射 (4) 如果gf是满射，则g是满射.

5、对于下面给出的整数集Z到整数集Z的映射f, g ,h: f: x?3x g: x?3x+1 h: x?3x+2 (1) 计算fg, gf, gh, hg, fgh (2) 分别求f, g, h的一个左逆映射 (3) 求f, g, h的一个共同的左逆映射

(4) 求f, g的一个共同的左逆映射，但不是h的左逆映射。 6、设R是实数集合，在R?R上规定二元关系“~”为：

（a, b）~ (c, d)?a+d=b+c

证明“~”是R上的一个等价关系。

7、设A={a, b, c, d, e}, S={{a},{b},{c, d, e}},求A上的一个等价关

《近世代数》复习

一、 群论：基本结构有循环群，对称群与商群。基本内容有：元素的周期，置换的表示，子群，陪集，正规子群，同态（映射），同构（映射），群的类方程，Lagrange定理。基本技术：o(a)=||; o(ab)=o(ba), 特别,在交换群中, o(ab)=[o(a), o(b)]; 置换的周期=非交轮换周期的最小公倍数; 中心为正规子群; |G/N|=|G|/|N|; 所有不同的共轭类做成G的一个划分,故有类方程|G|=Σ[G:C(a)](其中a取自不同的共轭类)=|C(G)| +Σ[G:C(a)](其中a取自不同的非中心元素所在的共轭类即元素个数大于等于2的共轭类); o(a)| |G|; 若H?G,则|H| | |G|; 对称群Sn中奇偶置换各占一半即n!/2; 所有偶置换组成交错群An且是Sn的非平凡的最大的正规子群; Sn中的n-轮换?的中心化子(即能与?交换的所有元素构成的子群)就是它生成的循环子群,由此可知与其共轭的元素共有(n?1)!个.

二、 环论：基本结构有交换环，无零因子环，整环，主理想整环，唯一分解环，多项式环，域与商环。基本内容有：理想，环同态（映射），环同构（映射），不可约元，整环中的因子分解，多项式环中

www.4juan.com 专注于收集历年试题试卷和答案

一、单项选择题(每小题3分，共12分)

1.设A=R(实数集)，B=R+(正实数集) υ:a→10a+1,?a∈A 则?是从A到B的( )。 A.满射而非单射 B.单射而非满射 C.一一映射 D.既非单射也非满射 2.剩余类加群Z6中，元素［１］的阶是( )。 A.1 B.2 C.3 D.6 3.7阶循环群的生成元个数是( )。 A.1 B.2 C.6 D.7

?a0??4.设R=??那么R关于矩阵的加法和乘法构成环，则这个矩阵环是( )。 ?0b?a、b?Z?，

????A.有单位元的可换环 B.无单位元的可换环 C.无单位元的非可换环 D.有单位元的非可换环 二、填空题(每小题3分，共24分)

1.设集合A含有m个元，则A的子集共有_____个. 2.每一个有限群都和一个_____群同构. 3.设a、b是群G的两个元，则(ab)-2=_____.

4.在3次对称群S3中与元(1 2 3)不可交换的元有_____个. 5.剩余类环Zm是无零因子环

第一章

集合A 的一个分类决定A的元间的一个等价关系； 集合A元间的一个等价关系~决定A的一个分类。

第二章

群的定义

a. 设G是一个非空集合，“?”是其上一个二元运算，若满足

1.“?”满足结合律；2.{G，?}中有单位元；3.{G，?}每个元都与逆元 则称{G，?}是一个群，简称G是一个群。

b. 若G是 一个有乘法的有限非空集合，且满足消去律。 群的性质

1.单位元唯一； 2.逆元唯一；

3.若G是群，则对G中的任意元a、b,方程ax = b和xa = b都有唯一的解 4.若G是群，则对任意G中的两个元素a、b, 有(ab)-1=b-1a-1

?1?1?1?1?1?a,a,...,a,?G?(aa...a)?aa...a12m12mmm?12a1 注：可以推广到无限：

5.单位元是群中唯一的等幂元素（满足x2 = x的元叫等幂元）

证：令x是等幂元，∴x=ex=(x-1x)x=x-1(xx)=x-1x=e。

6.群满足左右消去律。

推论：若G是有限群，则其运算表中的每一行（列）都是G中元的一个排列，而且不同行（列）的排列不同。

7.若群G的元a的阶是n（有限），则ak = e n|k。 8.群中的任意元素a和他的逆元a-1具有